排列组合例题与解析

1、排列组合例题与解析【公式】r n!P n= (n-r)!rr n!P nn-rC n= r!(n-r)!r! =C n例题分析：1 首先明确任务的意义例1.从1、2、3、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列 组合问题。设a,b,c成等差， 2b=a+c,可知 b由a,c决定，又 2b是偶数， a,c同奇或同偶，即：分别从 1 , 3, 5,19 或2, 4, 6，8，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等 差数列，C (2,10 ) *2*P (2,2 ) =90*2*2，因而本题为 36

2、0。例2.某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同， 如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法？分析：对实际背景的分析可以逐层深入(一) 从 M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。(二) 每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。(三) 事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定 走法数，本题答案为：=56。2 分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组 合例3.在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A, B两

3、种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A, B两种作物的间隔不少于 6垄,不同的选法共有种。分析：条件中“要求 A、B两种作物的间隔不少于 6垄”这个条件不容易 用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有一种选择，同理A、B位置互换，共12种。例4.从6双不同颜色的手套中任取 4只，其中恰好有一双同色的取法 有。（A）240 （B）180 （C）120 （D）60分析：显然本题应分步解决。（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。（

4、三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法;（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而 共240种。或分步（1） 从6双中选出一双同色的手套，有C（1,6）=6种方法；（2） 从剩下的5双手套中任选两双，有 C（2,5）=10种方法；（3） 从两双中手套中分别拿两只手套，有C（ 1,2）*C（ 1,2）=4种方法； 同样得出共（1）*（ 2）*（ 3）=240种。例5.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人 都比他同列的身后的人个子矮，贝U所有不同的排法种数为 。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每 一纵列的排

5、队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。例6.在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外 2人 能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法？分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类 的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分 类标准。第一类：这两个人都去当钳工，有10种；第二类：这两人有一个去当钳工，有100种；第三类：这两人都不去当钳工，有75种。因而共有185种。例7.现有印着0, I ,3，5, 7, 9的六张卡片，如果允许 9可以作6 用, 那么从中任意抽出三

6、张可以组成多少个不同的三位数？分析：有同学认为只要把 0, I , 3, 5, 7, 9的排法数乘以2即为所求， 但实际上抽出的三个数中有 9的话才可能用6替换，因而必须分类。抽出的三数含0,含9,有32种方法；抽出的三数含0不含9,有24种方法；抽出的三数含9不含0,有72种方法；抽出的三数不含9也不含0,有24种方法。因此共有 32+24+72+24=152种方法。例8 .停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位 连在一起，不同的停车方法是 种。分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有362880种停车方法。3 .特殊优先特殊元素，优先处理；特殊位置，

7、优先考虑例9 .六人站成一排，求(1) 甲、乙即不再排头也不在排尾数 甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：(1)按照先排出首位和末尾在排中间四位分步计数第一类：排出首尾和末尾、因为甲乙不再首尾和末尾、那么首尾和末尾 实在其它四位数选出两位进行排列、一共有p(4,2)=12种、第二类：由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾、因此中间四位是 吧剩下的四位元素进行排列，共 p(4,4 ) =24 种根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12*24=288种(2) 第一类：甲在排尾，乙在排头，有P(4,4)种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3XP(4,4)种方法。第三类：乙在排头，

8、甲不在排尾，有3XP(4,4)种方法。第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有 P(4,2)XP(4,4)种方法。共 P(4,4)+3XP(4,4)+3XP(4,4)+P(4,2)XP(4,4)=456 种。例10.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区 分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的 测试方法有多少种可能？分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品， 因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；第二步：前四次有一件正品有C(6.1)中可能。第三步：前四次有 P(4.4)种可能。共有576

9、种可能。4.捆绑与插空例11. 8人排成一队(1) 甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3) 甲乙必须相邻且与丙不相邻 甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：(1)甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑(甲乙可交换)和7人排列P(7.7)*2(2) 甲乙不相邻，P(8.8)-P(7.7)*2。(3) 甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻P(6.6)*2*2甲乙必须相邻且与丙不相邻P(7.7)*2-P(6.6)*2*2(4) 甲乙必须相邻，丙丁必须相邻P(6.6)*2*2(5) 甲乙不相邻，丙丁不相邻，P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2例12.某人射

10、击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同 的情况？分析：连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插 空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成 的5个空中选出2个的排列，即P(5.2)。例13.马路上有编号为I ,2, 3,10十个路灯，为节约用电又看 清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在 两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区 别，因而问题为在 7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。共 C(6.3)=20 种方

11、法。5 间接计数法.(1)排除法例14.三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，共76种。例15.正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体 ？ 分析：所求问题的方法数 =任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共 C(8.4)-12=70-12=58 个。例16. I，2，3，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组 成多少个不同数值的对数 ？分析：由于底数不能为1。(1) 当1选上时，1必为真数，有一种情况。(2) 当不选1时，从2-9中任取两个分别作为底数，真数，共，

12、其中 Iog2为底4=log3为底9，Iog4为底2=log9为底3, Iog2 为底3=log4为底 9, Iog3 为底 2=Iog9 为底 4.因而一共有53个。(3) 补上一个阶段，转化为熟悉的问题例17.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法？如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢？分析：(一)实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具 有相同的排法数。因而有 =360种。(二)先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站 位，因而前面的排法数重复了种，二共=120种。例18. 5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少 种

13、不同的方法？分析：首先不考虑男生的站位要求，共P(9.9)种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9X 8X 7X 6=3024 种。若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种,综上，有6048种。例19.三个相同的红球和两个不同的 白球排成一行，共有多少种不同的 方法？分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置 相同的情况下，共有变化，因而共 =20种。6 挡板的使用例20. 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的 分配方法？分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中， 选

14、出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共 36种。7注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一 个阶段(排序)可转化为排列问题。例21.从0,1，2，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组 成多少个无重复数字的五位数？分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。(一) 两个选出的偶数含 0,贝U有种。(二) 两个选出的偶数字不含 0，则有种。例22.电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从 同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多 少种不同的下楼方法？分析：(一)先把 7位乘客分

15、成3人，2人，一人，一人四组，有种。(二)选择10层中的四层下楼有种。共有种。例23.用数字0, 1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，(1) 可组成多少个不同的四位数 ？(2) 可组成多少个不同的四位偶数 ？(3) 可组成多少个能被 3整除的四位数？ 将 中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？分析：(1)有个。(2) 分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。共+种。(3) 先把四个相加能被 3整除的四个数从小到大列举出来，即先选0, 1, 2, 30， 1, 3, 50, 2, 3, 40, 3, 4, 51, 2, 4, 5它们排列出来的数一定可以被 3整除

16、，再排列，有：4X ()+=96 种。(4) 首位为1的有=60个。前两位为20的有=12个。前两位为21的有=12个。因而第85项是前两位为23的最小数，即为23018 分组问题例24. 6本不同的书（1）分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法 ？（2）分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？（4）甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法？（5）分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少 种不同的分法？分析：（1）有中。（2）即在（1）的基础上除去顺序，有种。（3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺

17、序。（4）有种。同（3）,原因是甲，乙，丙持有量确定。（5）有种。例25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为分析：（一）考虑先把 6人分成2人和4人，3人和3人各两组。第一类：平均分成 3人一组，有种方法。第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。（二）再考虑分别上两辆不同的车。综合（一）（二），有种。例26. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至 少有一名学生参加，则分配方法共有 种分析：（一）先把 5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。其中涉及到平均分成四组，有 C（4，3） =4种分组方法。可以看成4个板三个板不空的隔板法（二）再考虑分配到四

18、个不同的科技小组，有A（4,4）=24种，由（一）（二）可知，共 =96种。【练习】：例1 .书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。（1 ）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法?（3 ）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有 3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3X5X

19、6=90 （种）。（3） 由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有 3类情况（数语各1本， 数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应 依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3X5+3X6+5X6=63 （种）。例2 已知两个集合 A=1，2，3，B=a,b,c,d，e，从A到B建立映射，问 可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的 这件事是指映射，何谓映射？即对 A中的每一个 元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。 因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，

20、据乘法原 理，共可建立不同的映射数目为：5X5X5=53 （种）。2 排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计 算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。连乘积的形式阶乘形式 等式成立。评述：这是一个排列数等式的证明问题， 选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的 性质：n!（n+1）=（n+1）!可使变形过程得以简化。例4 解方程解：原方程可化为：解得x=3。评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们 都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。3.排

21、列与组合的应用题历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某 些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容 和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。 常用的方法有：- 般方法和特殊方法两种。一般方法有：直接法和间接法。（1 ）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分 类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据的原理，采用排除的方法来 获得问题的解决。特殊方法：（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或 位置。（2 ）捆绑法：某些元素

22、必须在一起的排列，用 捆绑法”紧密结合粘成小组, 组内外分别排列。（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用 插空法”不需分离的站 好实位，在空位上进行排列。（4）其它方法。例5. 7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。（1）甲排中间； （2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；（4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5 ）甲，乙，丙连排;（6 ）甲，乙，丙两两不相邻。解：（1）甲排中间属 特元特位”优先安置，只有一种站法，其余 6人任意 排列，故共有：1X=720种不同排法。（2）甲不排两端，亦属于 特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任 何一个位置则有种，其余6人可任意排列有

23、种，故共有=3600种不同排法。（3）甲、乙相邻，属于 捆绑法”将甲、乙合为一个 元素”连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有=1400种不同的排法。（4） 甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：甲在乙左边” 与甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半， 故甲在乙的左边的不同排法共有=2520种。（5 ）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用 捆绑法” 先将甲、乙、丙合为一个 元素”连同其余4人共5个元素”任意排列，现由甲、 乙、丙交换位置，故共有=720种不同排法。（6 ）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用 插 空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个 空” 再将甲、乙、丙插入其中的三个 空”故共有=1440种不同的排法。例6 用0, 1, 2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出 下列各类数