3-(1-2)刚体、转动动能、转动惯量解析

1、1第三章 刚体的转动刚体的转动 飞轮的质量为什么大都分布于外边缘？飞轮的质量为什么大都分布于外边缘？23.1 3.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 花样滑冰里的一个动作叫陀转，在转动开始时演花样滑冰里的一个动作叫陀转，在转动开始时演员手臂和腿是展开的，此时转动速度较慢，而后演员手臂和腿是展开的，此时转动速度较慢，而后演员会突然把手臂抱紧，转速明显变快。员会突然把手臂抱紧，转速明显变快。引言引言 在整个过程中，演员改变了什么？背后的物理机在整个过程中，演员改变了什么？背后的物理机制是什么？制是什么？ 从物理的角度分析，演员受到三个力的作用：地从物理的角度分析，演员受到三个力的作用：地面的支持力，

2、冰面的摩擦力，空气的阻力。均面的支持力，冰面的摩擦力，空气的阻力。均不能不能对加快转速产生正面的影响。对加快转速产生正面的影响。3一一 刚体刚体二二 刚体的运动形式刚体的运动形式 刚体平动刚体平动1 平动：若刚体中所有点的平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。初始位置间的连线。3-1 3-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动定义定义：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组

3、）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）质点运动质点运动42 转动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动又转动又分定轴转动和非定轴转动。分定轴转动和非定轴转动。 刚体的平面运动刚体的平面运动5 刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+6三三 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1 概念概念：转轴固定不动的转动。：转轴固定不动的转动。 刚体内各质点都在其所在的与刚体转轴相垂直的平面内作刚体内各质点都在其所在的与刚体转轴相垂直的平面内作圆周运动，圆心在转轴的轴线上。圆周运动，圆心在转轴的轴线上。POvr zx2 特点特

4、点(1)任意质点均作圆周运动，任意质点均作圆周运动， 圆面为转动平面；圆面为转动平面；(2)任意质点角位移任意质点角位移d， 角速度角速度w，角加速度，角加速度相同；相同；(3)方向正负规定：方向正负规定： 符合右手螺旋关系为正。符合右手螺旋关系为正。3 角量公式角量公式dtd dtd tdd22 7刚体作刚体作匀角加速度匀角加速度定轴转动定轴转动20021tt t 0)(20202 rtevtanaadtd dtd tdd22 8角量与线量的关系角量与线量的关系rtevtanaarv ra van Rs Rv RRvan22 Rdtdvat 9一一 刚体的平动动能刚体的平动动能 niiikv

5、mE1221平平221cMv 刚体的平动动能应为各质刚体的平动动能应为各质元的动能之和元的动能之和vc为质心的速度为质心的速度3-2 3-2 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量10二二 转动动能转动动能 刚体的转动动能应为各质元动刚体的转动动能应为各质元动能之和，将刚体分割成能之和，将刚体分割成n个质元个质元m。222221)(2121 iiiiiirmrmvm 刚体的转动动能刚体的转动动能 niiiniiikrmrmE122122)(2121 ir rv 任取一质元任取一质元 mi ，距转轴，距转轴 ，则该质元动能：则该质元动能：ir11质量不连续分布（离散）质量不连续分布（离散）212)(

6、21 niiikrmE221021lim iininmkrmEi 22)(21 dmr221 IEk 质量连续分布质量连续分布0 im转动动能转动动能 dmrI2令令ir rv12221mvEk - 线分布线分布m/L- 面分布面分布m/S- 体分布体分布m/V221 IEk 转动动能转动动能平动动能平动动能三三 转动惯量转动惯量 dvdsdldm -离散分布离散分布-连续分布连续分布1 1 定义定义 ViniidmrIrmI22I单位单位： 千克千克米米213四四 决定转动惯量的三因素决定转动惯量的三因素O质质BhXir rvA(1) 刚体的质量；刚体的质量；如：同形状的石磙和木磙；如：同形

7、状的石磙和木磙；(2) 刚体的质量分布；刚体的质量分布；如：圆环与圆盘的不同如：圆环与圆盘的不同(3) 刚体转轴的位置。刚体转轴的位置。如：细棒绕中心、绕一端。如：细棒绕中心、绕一端。14例例1 质量为质量为m,长为长为L的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：(1) 转轴通过棒的中心转轴通过棒的中心O并与棒垂直；并与棒垂直；(2) 转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端B并与棒垂直；并与棒垂直；(3) 转轴通过棒上距质心为转轴通过棒上距质心为h的一点的一点A并与棒垂直。并与棒垂直。解：解：以棒中心为原点建立坐标以棒中心为原点建立坐标OX，将棒分割成许多质元将棒分割成

8、许多质元dmdxdm Lm / hO质质BAdmxX15(1)求：求：IO2312112mLL (2)求：求：IB dmxLdmrIB22)2(23313mLL 2/2/2)2/(LLdxxL dmrIO2 dmx2 2/2/2LLdxx hO质质BAdmxX16 dmrIA2LhL 2312 2/2/2)(LLdxxh 22121mhmL (3) 求：求：IAhO质质BAdmxX2121mLIO 231mLIB 17222)()2(12131LmmLmLIIOB 质心质心2222)(121)121(mhmLmhmLIIOA 质质心心或或2)2(LmIIOB 2mhIIoA 注意：注意：hO质

9、质BAdmxX18平行轴定理平行轴定理：刚体对任一轴：刚体对任一轴A的转动惯量的转动惯量IA和通过质心并与和通过质心并与A轴平行的转动惯量轴平行的转动惯量IO有如下关系：有如下关系： IA= Ic+ md2m为刚体的质量；为刚体的质量；d为轴为轴A与与C轴之间的垂直距离。轴之间的垂直距离。AdMC正交轴定理：正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）（仅适用于薄板状刚体） Iz= Ix+ Iyzxy轴所在刚体平面轴所在刚体平面Iz - 垂直于转动平面的转轴的转动惯量；垂直于转动平面的转轴的转动惯量；Ix , Iy - 在转动平面内两个正交轴的转动惯量。在转动平面内两个正交轴的转动惯量。zyx19例例2

10、 半径为半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。RR20R解：解：(1) 细圆环的转动惯量细圆环的转动惯量dl dldm LOdlRdmRI 222mR RRdlRL 222 问题问题: :若转轴在圆环上时，若转轴在圆环上时， 圆环的转动惯量？圆环的转动惯量？22mRmR 2CA mdII 21drrdmrdI322 rdrdsdm 2 (2) 盘面垂直的转轴的转动惯量。盘面垂直的转轴的转动惯量。drrdIIRmO302 424R 221mR 4242RRm 2mRI 细圆环221mRI 盘盘薄圆Rdrr2Rm 22例例3 求一质量为求一质量为m的均匀实心球对一条直径为轴的转动惯量。的均匀实心球对一条直径为轴的转动惯量。解：解：一球绕一球绕Z轴旋转，离球心轴旋转，离球心z处切处切一厚为一厚为dz的薄圆盘。其半径为的薄圆盘。其半径为22zRr dzzRdZrdV)(222 dzzRdVdm)(22 dzzRdmrdI2222)(2121 体积体积质量质量转动惯量转动惯量YXZORrdz23dmrdI221 334Rm dII RRdzzR222)(21dZZR222)(21 5158R 2