《备考2022中考数学总复习高效课堂夺分策略精品课件》微专题八 解直角三角形的实际应用的基本类型

1、微专题八解直角三角形的实际应用的基本类型【主干必备【主干必备】解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用1.1.根据题意根据题意, ,将实际问题抽象为解将实际问题抽象为解_三角形问题三角形问题, ,画出图形画出图形, ,弄清已知条件中各量之间的关系弄清已知条件中各量之间的关系.直角直角2.2.若三角形是直角三角形若三角形是直角三角形, ,根据边角关系进行计算根据边角关系进行计算; ;若若不是直角三角形不是直角三角形, ,可通过添加辅助线构造可通过添加辅助线构造_三角三角形来解决形来解决.直角直角【微点警示【微点警示】 解直角三角形的实际应用问题的关键是解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实

2、际情况建立数学模型根据实际情况建立数学模型, ,正确画出图形正确画出图形, ,找准三角找准三角形形. .【核心突破【核心突破】类型一仰角、俯角问题类型一仰角、俯角问题【例【例1 1】(2019(2019河南中考河南中考) )数学兴趣小组到黄河风景名数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像胜区测量炎帝塑像( (塑像中高者塑像中高者) )的高度的高度. .如图所示如图所示, ,炎炎帝塑像帝塑像dede在高在高55 m55 m的小山的小山ecec上上, ,在在a a处测得塑像底部处测得塑像底部e e的的仰角为仰角为3434, ,再沿再沿acac方向前进方向前进21 m21 m到达到达b b处处, ,

3、测得塑像顶测得塑像顶部部d d的仰角为的仰角为6060, ,求炎帝塑像求炎帝塑像dede的高度的高度. .( (精确到精确到1 m.1 m.参考数据参考数据:sin 34:sin 340.56,cos 340.56,cos 34= =0.83,tan 340.83,tan 340.67, 1.73)0.67, 1.73)3【自主解答【自主解答】ace=90ace=90,cae=34,cae=34,ce=55 m,ce=55 m,tancaetancae= 82.1 m,= 82.1 m,ab=21 m,bc=ac-ab=61.1 m,ab=21 m,bc=ac-ab=61.1 m,在在rtrt

4、bcdbcd中中,tan60,tan60= ,cd= bc1.73= ,cd= bc1.7361.1105.7 m,61.1105.7 m,cece55acactan340.67，cd3bc3de=cd-ec105.7-5551 m,de=cd-ec105.7-5551 m,答答: :炎帝塑像炎帝塑像dede的高度约为的高度约为51 m.51 m.类型二航海问题类型二航海问题【例【例2 2】(2019(2019资阳中考资阳中考) )如图如图, ,南海某南海某海域有两艘外国渔船海域有两艘外国渔船a,ba,b在小岛在小岛c c的正南的正南方向同一处捕鱼方向同一处捕鱼. .一段时间后一段时间后, ,

5、渔船渔船b b沿沿北偏东北偏东3030的方向航行至小岛的方向航行至小岛c c的正东方向的正东方向2020海里处海里处. .(1)(1)求渔船求渔船b b航行的距离航行的距离. .(2)(2)此时此时, ,在在d d处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船船, ,其中其中b b渔船在点渔船在点d d的南偏西的南偏西6060方向方向,a,a渔船在点渔船在点d d的的西南方向西南方向, ,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域. .请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离离.(.

6、(注注: :结果保留根号结果保留根号) )【自主解答【自主解答】(1)(1)由题意得由题意得,cab=30,cab=30,acb=90,acb=90, ,bc=20,ab=2bc=40bc=20,ab=2bc=40海里海里, ,答答: :渔船渔船b b航行的距离是航行的距离是4040海里海里. .(2)(2)过过b b作作beaebeae于于e,e,过过d d作作dhaedhae于于h,h,延长延长cbcb交交dhdh于于g,g,则四边形则四边形aebcaebc和四边形和四边形behgbehg是矩形是矩形,be=gh=ac=20 ,be=gh=ac=20 ,ae=bc=20,ae=bc=20,

7、设设bg=eh=x,ahbg=eh=x,ah=x+20,=x+20,由题意得由题意得,bdg=60,bdg=60,adh=45,adh=45, ,dg= x,dhdg= x,dh=ah,=ah,33320 + x=x+20,20 + x=x+20,解得解得:x=20 ,:x=20 ,bg=20 ,ah=20+20 ,bd= =40,bg=20 ,ah=20+20 ,bd= =40,ad= ah=20 +20 .ad= ah=20 +20 .333333bg32226答答: :中国渔政船此时到外国渔船中国渔政船此时到外国渔船b b的距离是的距离是4040海里海里, ,到外到外国渔船国渔船a a的

8、距离是的距离是(20 +20 )(20 +20 )海里海里. .26类型三坡度问题类型三坡度问题【例【例3 3】(2019(2019天水中考天水中考) )某地的一座人行天桥如图所某地的一座人行天桥如图所示示, ,天桥高为天桥高为6 6米米, ,坡面坡面bcbc的坡度为的坡度为11,11,文化墙文化墙pmpm在天在天桥底部正前方桥底部正前方8 8米处米处(pb(pb的长的长),),为了方便行人推车过天为了方便行人推车过天桥桥, ,有关部门决定降低坡度有关部门决定降低坡度, ,使新坡面的坡度为使新坡面的坡度为1 .1 .( (参考数据参考数据: 1.414, 1.732): 1.414, 1.73

9、2)332(1)(1)若新坡面坡角为若新坡面坡角为,求坡角求坡角的度数的度数. .(2)(2)有关部门规定有关部门规定, ,文化墙距天桥底部小于文化墙距天桥底部小于3 3米时应拆米时应拆除除, ,天桥改造后天桥改造后, ,该文化墙该文化墙pmpm是否需要拆除是否需要拆除? ?请说明理由请说明理由. .【自主解答【自主解答】(1)(1)新坡面坡角为新坡面坡角为,新坡面的坡度为新坡面的坡度为1 ,1 ,tantan= ,= ,=30=30. .31333(2)(2)该文化墙该文化墙pmpm不需要拆除不需要拆除, ,理由理由: :作作cdabcdab于点于点d,d,则则cd=6cd=6米米, ,新坡

10、面的坡度为新坡面的坡度为1 ,tancad1 ,tancad= ,= ,解得解得,ad=6 ,ad=6 米米, ,坡面坡面bcbc的坡度为的坡度为11,cd=611,cd=6米米,bd=6,bd=6米米, ,ab=ad-bd=(6 -6)ab=ad-bd=(6 -6)米米, ,3cd61adad333又又pb=8pb=8米米,pa=pb-ab=8-(6 -6)=14-6 14-,pa=pb-ab=8-(6 -6)=14-6 14-6 61.7323.61.7323.6米米33米米, ,该文化墙该文化墙pmpm不需要拆除不需要拆除. .33【明【明技法技法】运用解直角三角形解决实际问题的一般步骤

11、运用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)(1)审明题意审明题意, ,画出图形画出图形, ,将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题. .(2)(2)分析图形分析图形, ,找到或通过作辅助线构造出直角三角形找到或通过作辅助线构造出直角三角形. .(3)(3)解直角三角形解直角三角形, ,必要时列出方程必要时列出方程, ,得到与实际问题有得到与实际问题有关的线段长度或角的度数关的线段长度或角的度数. .(4)(4)结合题意结合题意, ,写出实际问题的答案写出实际问题的答案. .【题组过关【题组过关】1.1.河堤横断面如图所示河堤横断面如图所示, ,堤高堤高bc=5bc=5米米, ,迎水

12、坡迎水坡abab的坡比的坡比是是1 (1 (坡比是坡面的铅直高度坡比是坡面的铅直高度bcbc与水平宽度与水平宽度acac之之比比),),则则acac的长是的长是 ( ( ) )a.5 a.5 米米b.10b.10米米 c.15c.15米米d.10 d.10 米米3a a332.(20192.(2019益阳中考益阳中考) )南洞庭大桥是南益南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁高速公路上的重要桥梁, ,小芳同学在校外小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动实践活动中对此开展测量活动. .如图如图, ,在桥外一点在桥外一点a a测得测得大桥主架与水面的交汇点大桥主架与水面的交汇点c c的俯角为的俯角

13、为,大桥主架的顶大桥主架的顶端端d d的仰角为的仰角为,已知测量点与大桥主架的水平距离已知测量点与大桥主架的水平距离ab=a,ab=a,则此时大桥主架顶端离水面的高则此时大桥主架顶端离水面的高cdcd为为( ( ) )c ca.asin+asina.asin+asinb.acos+acosb.acos+acosc.atan+atanc.atan+atand. d. aatantan3.(20183.(2018乌鲁木齐中考乌鲁木齐中考) )如图如图, ,小强想小强想测量楼测量楼cd cd 的高度的高度, ,楼在围墙内楼在围墙内, ,小强只小强只能在围墙外测量能在围墙外测量. .他无法测得观测点到

14、他无法测得观测点到楼底的距离楼底的距离, ,于是小强在于是小强在a a处仰望楼顶处仰望楼顶, ,测得仰角为测得仰角为3737, ,再往楼的方向前进再往楼的方向前进30 30 米至米至b b 处处, ,测得楼顶的仰角为测得楼顶的仰角为5353( a, b, c( a, b, c三点在一条直线上三点在一条直线上),),求楼求楼cd cd 的高度的高度( (结果精结果精确到确到0.10.1米米, ,小强的身高忽略不计小强的身高忽略不计).). 世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析【解析】设楼设楼cdcd高为高为x x米米, ,依题意依题意, ,有有dac=37dac=37,dbc,dbc=53=53,

15、 ,在在rtrtacdacd 中中,dca=90,dca=90,tandac= ,ac= ,tandac= ,ac= , ,同理同理,bc= ,bc= ,又又ab=ac-bc ,ab=ac-bc ,dcacdcxtan dbctan 53dcxtan dactan 37即即30= ,30= ,解得解得 x52.3.x52.3.答答: :楼楼cdcd的高度是的高度是52.352.3米米. .xxtan 37tan 534.(20194.(2019海南中考海南中考) )如图是某区域的平面示意图如图是某区域的平面示意图, ,码头码头a a在观测站在观测站b b的正东方向的正东方向, ,码头码头a a的北偏西的北偏西6060方向上有方向上有一小岛一小岛c,c,小岛小岛c c在观察站在观察站b b的北偏西的北偏西1515方向上方向上, ,码头码头a a到小岛到小岛c c的距离的距离acac为为1010海里海里. .(1)(1)填空填空:bac =_:bac =_度度,c =_,c =_度度.(2)(2)求观测站求观测站b b到到acac的距离的距离bp(bp(结果保留根号结果保留根号).).30304545【解析【解析】(1)30(1)30 4545(2)(2)设设bp=xbp=x海里海里, ,由题意得由题意得bpac,bpc=bpa