湘潭大学工程数学课后答案

1、习题 六1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k·；(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1-8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则(A+B)=A+B=-A-B=-(A+B),(

2、kA)=kA=k(-A)=-(kA),所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.（2） 否.因为(k+l)·,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.（3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.（4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U.【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.3. 设是

3、n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n-r用数学归纳法).【证明】对差n-r作数学归纳法.当n-r=0时，结论显然成立.假定对n-r=k时，结论成立，现在考虑n-r=k+1的情形.因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组,必定还是线性无关的，此时n-(r+1)=(n-r)-1=(k+1)-1=k.由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.根据归纳法原理，结论普遍成立.4. 在R中求向量(0,0,0,1)在基(1,1,0,1),(2,1,3,1), (1,1,0,0), (0,1,1,1)

4、下的坐标.【解】设向量在基下的坐标为(),则即为解之得()=(1,0,-1,0).5. 在R中，取两个基(1，2，1)，(2，3，3)，(3，7，1)；(3，1，4)，(5，2，1)，(1，1，6)，试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.【解】取R中一个基（通常称之为标准基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有所以由基到基的过渡矩阵为坐标变换公式为其中()与（）为同一向量分别在基与下的坐标.6. 在R4中取两个基(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；(2) 求向量()在后一个基下的坐标；(3) 求在两个基下有相同坐标的向量.【解】(1) 这里A就是由基到基的过渡矩阵.

5、(2) 设,由于()=()A-1,所以因此向量在基下的坐标为(3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么 即 也就是解得,其中为任一非零实数.7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6.【证明】首先，S是非空的（0S）,并且A,BS,kR,有(A+B)=A+B=A+B(kA)=kA=kA.这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间.不难验证，下列6个对称矩阵.构成S的一个基，故S的维数为6.8. 说明平面上变换的几何意义，其中(1)； (2) ；(3) ； (4) .【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点

6、.,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点.9. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间维数为，给定n阶方阵P，变换T(A)PAP， A称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换.【证明】因为A,BV,kR,有T(A+B)=P(A+B)P=PAP+PBP=T(A)+T(B),T(kA)=P(kA)P=k(PAP)=kT(A).所以T是线性空间V的一个线性变换.10. 函数集合V3(a2x2+a1x+a0)exa2，a1,a0R对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基1x2ex, 22xex, 33ex，求微分运算D在这个基下的矩阵.【解】即因此D在基下的矩阵为.11. 2阶对称矩阵的全体对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基(1) 在V3中定义合同变换求在基下的矩阵及T的秩与零度.(2) 在V3中定义线性变换求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核.【解】(1)由此知，T在基下的矩阵为显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0.(2) 即 T()=()M,其中就是T在基下的矩阵.显然有所以T(V3)=L(T(A1)=L(A1+A2+A3).最后求出T-1(0).设A=x1A1+x2A2+x3