模型构建专题：解直角三角形应用中的双直角三角形模型

1、模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型形成思维模式，快准解题类型一叠合式1.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角/ ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重 新建造楼梯，使其倾斜角/ ACD为45。，则调整后的楼梯 AC的长为（）A. 23m B. 276mC. （25一2）m D. （276-2）m2 . （2017邵阳中考）如图，运载火箭从地面 位于地面R处的雷达测得 AR的距离是40km,第2题图L处垂直向上发射，当火箭到达 A点时，从 仰角是30°.n秒后火箭到达 B点，此时仰角是45。，则火箭在这n秒中上升的高度是 3 .芜湖长江大桥是中国跨度最大

2、的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如图甲），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30。，拉索CD与水平桥面的夹角是 60。，两拉索顶端的距离 BC为2米，两拉索底端距离 AD 为20米，请求出立柱 BH的长（结果精确到0.1米，3= 1.732）.图甲CH 图乙一类型二背靠式4 .某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如图，通过直 升机的镜头C观测到水平雪道一端 A处的俯角为30。，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜 头C处的高度CD为300米，点A, D, B在同一直线上，则雪道 AB的长度为（）A. 300

3、米 B. 150*米C. 900 米 D. （30073+ 300）米第4题图5.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外. 得塑像底部B处的俯角为11° 48'测得塑像顶部第5题图如图，张三同学在东门城墙上C处测A处的仰角为45°,点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD = 10米，则此塑像的高AB约为米（参考数据:tan78径4.8).6. （2017青岛中考）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由 A地到C地需绕 行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离 A地520km, C地位于B地南偏东30° 方向.若打通穿山隧道，建成两

4、地直达高铁，求 A地到C地之间高铁线路的长（参考数据： sin67 2 11，cos67°5r, tan67 12, J3= 1.73,结果保留整数）.【方法 4】 13135北4哧：67口C参考答案与解析1. B 2.（20花20）km3,解：设 DH =x 米.在 RtACHD 中，/ CDH = 60°,CH= DH tan60 =>/3x 米，BH 一BHy3BH= (2 寸3+3x)= BC + CH = (2+/3x)米.在 RtA AHB 中，/ A=30,，AH =tan30米. AH = AD + DH,20+x= 2淄 + 3x,解得 x= 10依

5、，. BH = 2 + 3(10甲)=10/31 16.3(米).答：立柱BH的长约为16.3米.4. D 5.586解：过点B作BDLAC于点D,二B地位于A地北偏东67°方向，距离 A地520km, ./ ABD = 67° , . .AD = AB sin67 5520X = 480(km) , BD = AB cos67°=520X = 1313200(km) . . C 地位于 B 地南偏东 30° 方向，/CBD=30°, z. CD = BD tan30 =-2003(km), 3AC = AD + CD= 480+ 20；480

6、+ 115= 595(km).答：A地到C地之间高铁线路的长为 595km.综合滚动练习：解直角三角形及其应用时间：45分钟 分数：100分 得分:一、选择题(每小题4分，共32分)1 .在 RtABC 中，/ C=90°, a=2, b=3,则 cosA 等于()A 2 c 3 c 13 c 3 ,13A3 B.2 C丁 D. 丁52 .在 RtABC 中，/ C=90 , AC=4, tanA=,则 BC 等于()35A" B" 533.如图，43A3 B.436C.- D. 5AB=5, AC =3,则 tan/BCD =()CD是RtAABC斜边上的高，若

7、4 3C- D-5 5第3题图第4题图4. （2016道里区二模）如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一 边同时施工，从 AC上的一点 B取/ABD = 145°, BD = 500米，/ D = 55°,使 A, C, E在 一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）A. 500sin55 米 B. 500cos35 米C. 500cos55 米 D. 500tan55 米5. （2016龙湖区一模）如图，车鱼竿 AC长6m,露在水面上的鱼线 BC长3>/2m,某钓 者想看看鱼钩上的情况， 把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线 BC为3V

8、3m,则鱼竿转过的角度是（）A. 60° B. 45° C. 15° D. 90°第5题图第6题图6. （2016金华中考）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为日现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA = 4米，楼梯宽度为1米，则所需地毯的面积至少为（）424242 22 2AQ7k （2016聊城模拟）聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、 玉皇皋. ”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑. 如图，测绘师在离铁塔 10米处的点C测得塔顶A的仰角为 “ 他又在离铁塔25米

9、处的点D 测得塔顶A的仰角为3,若tan龙an 3= 1,点D, C, B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为（参考数据：10-3.162）（）A. 15.81 米 B. 16.81 米 C, 30.62 米 D, 31.62 米二、填空题（每小题4分，共24分）.COTe米C- (4+ta)米D.(4+4tane"7. 如图，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东30方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南 方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45。方向上的B处，这时，海轮所在的B处 与灯塔P的距离为（）A. 30M2海里 B. 30血海里C. 60海里 D. 3046海里，,一

10、， A10. 在 RtABC 中，/ C=90 , AB=4, BC = 243,贝U sin? =11. 如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1 : 2,则斜坡 AB的长是.12. （2016宁波中考）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60。，测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为 m（结果保留根13. B在A的北偏东30°方向（距A）2千米处，C在B的正东方向（距B）2千米处，则 C 和A之间的距离为 千米.14. （齐齐哈尔中考）BD为等腰 ABC的腰AC上的高，BD = 1, tan/ABD = J3,则 C

11、D的长为.三、解答题（共44分）.一.415. （10 分）如图，在 RtAABC 中，已知/ C = 90 , sinB=, AC=8, D 为线段 BC 上5一点，CD = 2.求BD的值；（2）求 cos/ DAC 的值.16. （10分）（2016临沂中考）一艘轮船位于灯塔 P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔 P南偏西45°方向上的B处（参考数据：43= 1.732,结果 精确到0.1海里）？【方法5】A17. （12分）（2016淮安中考）小宇想测量位于池塘两端的 A, B两点的距离.他沿着与直 线AB平行的道路EF行走，当行

12、走到点 C处，测得/ ACF = 45°,再向前行走100米到点D 处，测得/ BDF = 60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A, B两点的距离.18. （12分）（2016泸州中考）如图，为了测量出楼房 AC的高度，从距离楼底C处6043米 的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i = 1 ： <3的斜坡DB前进30米 到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度（参考数据：sin53% 0.8, cos5320.6, tan5324,计算结果用根号表示，不取近似值 ）.3参考答案与解析1. D 2,B 3.A

13、4.C 5.C 6.D 7.A8. A 解析：BC=10 米，BD = 25 米，.在 RtABC 中，AB = BCtan“= 10tan. 在 RtABD 中，AB= BD tan 3= 25tan 癖.tan “tan 3= 1, . AB2= 10tan a 25tan 3= 250, .AB=/250=5印=5* 3.162= 15.81（米）.故选 A.13. 2木 解析：根据题意，可画如图所示的示意图，过点 B作BDXAC于点DB 在 A 北偏东 30°方向，BAE=60°,ABC=180° 60 =120°.,. AB=BC=2 千米，.

14、Z BAD = Z BCD = 30°, AD = CD , . AD= AB cos30° = 2X 乎=血（千米），.AC=2AD =2 .3千米.n卧D国如图，/A 为钝角，AB = AC,在 RtABD 中，BD=1, tan/ABD = ®,，AD=V3, AB = 2,AC=2, .,.CD = 2 + V3;如图，/A 为锐角，AB = AC,在 RtABD 中，BD=1, tan/ABD = O，AD=73, AB = 2,AC=2,CD = 2-V3.综上所述，CD的长为2 +3或2 Ji15解：在 R"ABC 中，皿=器咚又g=10，

15、'BcHaB2 AC =417 八17 .（10 分）16.解：过点 P 作 PCLAB 于点 C.（1 分）由题意，得/ APC=60°, /BPC=45°, AP =AC = 20 sin60 =10陋（海里）.（4 分）在4PBC 中，/ Z BPC = 45 °,. PBC 为等腰直角三角 形，. . BC=PC=10 海里，（7分）.AB = ACBC=107310 7.3（海里）.（9 分）答：它向东航行约 7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处.（10分）17.解：过点 A作AMLEF于点M,过点B作BNLEF于点N.（2分）

16、由题意，得 AM =9. 4 3110.2 11.6J5 米 12.（10>/3+1）14. 2+乖或25<102 82 = 6,BD= BC-CD = 6-2=4; （5 分）（2）在 RtACD 中， AD = AC2+DC2 =82+ 22 = 2折，. . cos/DAC =第="2 =20海里.在RtAAPC中,PC. cos/ APC=Q sin/APC APACAP'PC=20 cos60°=10（海里）,解析：分两种情况:AMBN=60 米，AB=MN, CD=100 米.（5 分）在 RtACM 中，Z ACM = 45 , CMntO亲=20椒米）,AB =60-= 60（米）.（8 分）在 RtABDN 中，/ BDN = 60°, . . DN =BN 1tan60MN = CD + DN = 100 + 20560=（40 + 20皿）（米）.（11 分）答：A, B两点的距离是（40+20炉）米.（12分）18.解：过点 B 作 BNXCD 于 N,BM ±AC 于 M.（2 分）在