概率论与数理统计期末复习资料

1、概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准； 注明“了解”的内容一般不考。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式 与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，能熟练写出（01）分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。7

2、、掌握指数分布（参数卜均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别 随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散 型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并 会用它们计算有关事件的概率。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望

3、和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的 数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及 样本矩概念，掌握2分布（及性质）、t分布、F分布及其分位点概念。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区问。会求双正态总体均值与方差的置信区问。23、明确假设检验的基本步骤，会

4、U检验法、t检验、2检验法、F检验法解题。24、掌握正态总体均值与方差的检验法。概率论部分必须要掌握的内容以及题型1 .古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。2 .概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。3 .准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。4 . 一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待 定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关 系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5 .会用中心极限定理解题。6 .熟记（0-1）分布、二项分布、

5、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布（参数 卜均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1 .统计量的判断。2 .计算样本均值与样本方差及样本矩。3 .熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4 .会求未知参数的矩估计、极大似然估计。5 .掌握无偏性与有效性的判断方法。6 .会求正态总体均值与方差的置信区问。7 .理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。概率论部分必须要掌握的内容以及题型1 .古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子摸球模型例1:袋中有a个白球，b个黑球，从中接连任意取出 m(m&

6、a+b)个球，且每次取出的球不 再放回去，求第m次取出的球是白球的概率；例2:袋中有a个白球，b个黑球，c个红球，从中任意取出m(m&a+b)个球，求取出的m 个球中有k1(<a)个白球、k2(< b)个黑球、k3(<c)个红球(k1 + k2+k3=m)的概率.占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个 格子(N>n)的任一个之中，求下列事件的概率：A=指定n个格子中各有一个质点; (2) B=任意n个格子中各有一个质点;C=指定的一个格子中恰有 m(mi< n)个质点.抽数模型例：在09十个整数中任取四

7、个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2 .概率的基本性质、学件产率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。_如对于事件 A, B, A 或 B,已知 P(A), P(B), P(AB), P(A B), P(A|B), P(B|A)以及换为 A 或 B之中的几个，求另外几个。例 1:事件 A与 B 相互独立，且 P(A)=0.5, P(B)=0.6,求：P(AB), P(A-B), P(A B)例 2:若 P(A)=0.4, P(B)=0.7, P(AB)=0.3,求：P(A B), P(A B), P(A| B) , P(A| B) , P(A| B)3 .准确地选择和运用全概率

8、公式与贝叶斯公式。若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i, i=1,2,n,的概 率P(B i),以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i),求事件A发生的概率P(A) 以及A发生的条件下事件Bi发生的条件概率P(B i | A)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和 0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： (1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买 下的该箱中，没有残次品的概率。4 . 一维、二维离散型随机

9、变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待 定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关 系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量 X的分布律P(X=xi)=pi, i=1,2,0确定参数求概率P(a<X<b)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望Eg(X)15 / 11例：随机变量X的分布律为.X1234pk2k3k4k确定参数k 求概率 P(0<X<3), P1 X 3求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(

10、X)求函数Y (X 3)2的分布律及期望E(X 3)2(2)已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x) 确定参数 求概率P(a<X<b)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)kx20 x 20 其他求函数Y=g(X)的密度函数及期望Eg(X)例：已知随机变量X的概率密度为f x确定参数k求概率P1 X 3求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y JX的密度及期望E(JX)已知二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律P(X=xi, Y=yj尸pij, i=1,2,m,；j=1,2,n, 确定参数 求概率P(X,Y) G求边缘分布律 P(X=xi)=pi., i

11、=1,2,m,;P(Y=yj)=p.j, j=1,2，,n,求条件分布律 P(X=x|Y=yj), i=1,2, ,m,和 P(Y=yj|X=xi), j=1,2，,n,求期望 E(X), E(Y),方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y),相关系数xy,判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望Eg(X, Y)例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率 P(X<Y), P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和 P(Y=k) k=0,1,2,3

12、求条件分布律 P(X=kY=2) k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望 E(X), E(Y),方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y),相关系数xy,判断是否不相关求2=*+丫，W=maxX, Y , V=minX, Y的分布律(4)已知二维连续型随机变量X的联合密度函数f(x, y)确定参数求概率P(X,Y) G求边缘密度fx(x) , fy(y),判断X,Y是否相互独立求条件密度 fx|Y (x | y) , fY|X (y I x)求期望 E(X), E(Y),方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y),相关系数xy,判断是否不相关2cx

13、y,求函数Z=g(X, Y)的密度函数及期望Eg(X, Y)0,其它例：已知二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y)确定常数c的值；求概率P(X<Y)求边缘密度fX(x) , fy(y),判断X,Y是否相互独立求条件密度 fXY(x I y), fY|X (y I x)求期望 E(X), E(Y),方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y),相关系数xy,判断是否不相关5 .会用中心极限定理解题。例1:每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2,方差为1.52,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率.例2:设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求

14、这1000粒种子中至少有880粒 发芽的概率。6 .熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数 卜均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1 .统计量的判断。对于来自总体X的样本Xi,X2, ,Xn,由样本构成的各种函数是否是统计量。2 .计算样本均值与样本方差及样本矩。3 .熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4 .会求未知参数的矩估计、极大似然估计。1x0 x 1例：设总体X的概率餐'度为f x 什，Xi, ,Xn是来自总体X的一个样本，0,其它求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.5 .掌握无偏性与有

15、效性的判断方法。对于来自总体X的样本Xi,X2, ,Xn,判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。例：设Xi,X2,X3是来自总体X的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计131111315X11X2 2X3； 11(X1 X2 X3)； Xi X2 X3； 3(X1 X2)； 3X1-X2 -X3求出方差，比较哪个更有效。6 .会求正态总体均值与方差的置信区问。对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区问。7 .理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。例：设XN(u, 2), u和

16、2未知，(X1,，Xn)为样本，(x1，,xn)为样本观察值。(1)试写出检验u与给定常数U0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验2与给定常数：比较是否显著偏 大的步骤。1 .古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子摸球模型例1:袋中有a个白球，b个黑球，从中接连任意取出 m(m&a+b)个球，且每次取出的球不 再放回去，求第m次取出的球是白球的概率；分析：本例的样本点就是从 a+b中有次序地取出m个球的不同取法；第 m次取出的球 是白球意味着：第m次是从a个白球中取出一球，再在a+b-1个球中取出m-1个球。解：设B= 第m次取出的球是白球样本空间的样本点总数：n Amb

17、事件B包含的样本点：r C；Amb ,则rP(B) 1 naa b注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等, 同抽签次序无关。例2:袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个 白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B= 取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球样本空间的样本点总数：n C；5 =5005事件 B包含的样本点：r C4c3c5 =240,则 P(B)=120/1001=0.048占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个 格子(N>n)的任一个之中，求

18、下列事件的概率：A=指定n个格子中各有一个质点; (2) B=任意n个格子中各有一个质点;C=指定的一个格子中恰有 m(mi< n)个质点.解：样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布，每个质点都有 N种不同分布，即n个质 点共有Nn种分布。故样本点总数为：Nn在n个格子中放有n个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同放法；因此，事件A包含的样本点数：n!,则P(A) -n!-Nn(2)先在N个格子中任意指定n个格子，共有CN种不同的方法；在n个格子中放n个质点，且每格一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件B包含的样本点数：n!CN AN ,则aNP(B)(3)在指定的一个格子中放 m

19、(mwn)个质点共有Cm种不同方法；余下n-m个质点任意放在余下的N-1个格子中，共有(N 1)n m种不同方法.因此，事件C包含的样本点数：C;(N 1)nm,则P(C)Cm(N 1)n mNn(1)m()n抽数模型例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：Ai=5040,设B=能排成一个四位偶数 若允许千位数为0,此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有 5种选法;其余三位数则在余下的九个数字中任选，有 A；种选法；从而共有5A；=2520个。其中，千位数为0的四位偶数”有多少个？此时个位数只能在 2、4、6、8这四个数字

20、中任选其一，有4 种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有浦种选法；从而共有4 Af =224个。因此P(B)5A3 4解A40=2296/5040=0.4562 .概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例 1:事件 A与 B 相互独立，且 P(A)=0.5, P(B)=0.6,求：P(AB), P(A-B), P(A B)解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3, P(A- B)= P(A)P(AB)=0.2, P(A B)= P(A) + P(B)P(AB)=0.8例 2:若 P(A)=0.4, P(B)=0.7, P(AB)=0.3,求

21、：P(A- B), P(A B), P(A| B) , P(A| B) , P(A |B)解：P(A B)=0.1,P(A B)=0.8, P(A|B) =P(AB) =3/7, P(A| B)=PP(B)P(AB)=4/7,P(B)P(B) P(B)P(A|B)=父里皿匹2/3 P(B) 1 P(B)3 .准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： (1)顾客买下该箱的概率；(2)

22、在顾客买 下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件A表示“顾客买下该箱”，Bi表示“箱中恰好有i件次品”，i 0,1,2。则P(B0) 0.8,P(Bi) 0.1, P(B2) 0.1, P(A|B0) 1, P(A| Bi)c4C19C4C204C18亨 P(A|B2) 忒1219412由全概率公式得 P(A) P(Bi)P(A| Bi) 0.8 1 0.1 - 0.1 一 0.94; i 0519由贝叶斯公式P(Bo|A)P(B0)P(A|B0) 咏 0.85P(A)0.944 . (1)例：随机变量X的分布律为.X1234pk2k3k4k确定参数k求概率 P(0<X<3),

23、P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y (X 3)2的分布律及期望E(X 3)2解：由pi 1,有 k+2 k+3 k+ 4 k =1 得 k =0.1P(0<X<3)= P(X=1) + P(X=2)=0.3, P(1<X<3)= P(X=2)=0.20x 10.11x2F(x)0.32x30.63x41x 4_一_ 222_2.E(X)xiPi =3, E(X ) XPi=10, D(X)=E(X ) (E(X) =1Y014P0.30.60.1 _ 2.0x2其他kx20的概率密度为f xE(X 3) =1 例：已知随机

24、变量 确定参数k 求概率P(1<X<3) 求分布函数F(x) 求期望E(X),方差D(X) 求函数Y 5的密度函数及期望E (JX) j 12 o8解：由 f (x)dx=1,有f(x)dx= kx dx k=1,得 k=3/80332 3 2P(1<X<3)= f(x)dx= -x dx=7/8. 11 80 x 0 3 x _ 一 F(x) 0x2 8 1 x 2 2 3 3 一222 3 4E(X) xf (x)dx = 0 Ax dx =3/2, E(X ) x f (x)dx = o- x dx=12/5 D(X)= E(X2) (E(X) 2=3/20 3

25、5 y 0 y 2 f(y) 4 0 其他 5E(.X)= xf(x)dx= - x2dx =- 087 例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为、【012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率 P(X<Y), P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和 P(Y=k) k=0,1,2,3求条件分布律 P(X=kY=2) k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望 E(X), E(Y),方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y),相关系数xy,判断是否不相关求2=*+丫，W=m

26、axX, Y , V=minX, Y的分布律解：P(X<Y)=0.1, P(X=Y)=0.2 X 的分布律丫的分布律X012P0.50.20.3Y0123P0.10.20.30.4X的条件分布律XY=2012P1/21/61/3丫的条件分布律Y|X=10123P0.150.250.250.35XiPj=0.8, E(X2) 2 yjPj=2, E(Y2) i ji22_2X2Pj=1.4, D(X)=E(X ) (E(X) =0.7622_2.Vj Pij =5, D(Y)= E(Y ) (E(Y) =1E(X)E(Y)E(XY)xiyj pj =1.64, cov(X,Y)= E(XY

27、) E(X)E(Y) =0.04cov(X,Y)=0.046相关Z012345P0.050.130.220.30.170.13XY= . D(X),D(Y)Z=X + Y的分布律W0123W=maxX, Y的分布律2cx y,0,求协方差cov(X,Y),相关系数判断是否不相关解：由f (x, y)dxdy =1,有f(x,y)dxdy =1dx1cx2ydy =1,得 c=21/4P(X<Y尸1 y 21 20dy _ x ydx =0.85fX (x)1 21 22 xx 4ydy21 2一 x8(11 x 1其它fY(y)y 21 xy 42 . ydx072yy其它X与Y不独立f

28、 (x, y)p0.050.180.370.4V=minX, Y的分布律V012P0.550.220.23例：已知二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y)确定常数c的值；求概率P(X<Y)求边缘密度fx(x) , fy(y),判断X,Y是否相互独立求条件密度fXY(x | y), £丫糅(y | x)fX|Y (x| y)fY(y)其它f(x, y)fY|X(y |x)fX (x)08y1 x4其它E(X)xf (x, y)dxdy =,1 21 3,八dx 2 x ydy =0x 4E(X2)2x f (x, y)dxdy =1 1dx21 4 ,x ydy=7/15D(X)=E(X2)E(Y)2 (E(X)2=7/15iyf(x,y)dxdy = 1dxE(Y2)2y f(x,y)dxdy =1dx121412 2x y dy =7/921x2y3dy =7/11 4_2D(Y)=E(Y )2(E(Y) =28/891求期望 E(X), E(Y),方差 D(X), D(Y)E(XY)cov(X,Y)=0,11 21 3 2xyf (x