数值计算上机实习题目matlab编程

1、非线性方程求根、实验目的本次实验通过上机实习，了解迭代法求解非线性方程数值解的过程和步0、实验要求1、用迭代法求方程3x2-ex=0的根。要求：确定迭代函数 %x),使得x=9(x),并求一根。提示：构造迭代函 数中= ln(3x2)。2、对上面的方程用牛顿迭代计算。3、用割线法求方程 f(x) =x33x1 = 0在x0=2附近的根。误差限为10”，取x0 = 2, x1 =1.9。、实验内容1、(1)首先编写迭代函数，记为iterate.mfunction y=iterate(x)x1=g(x); % x为初始值。n=1;while(abs(x1-x)>=1.0e-6)&(n

2、<=1000) %迭代终止的原则。x=x1;x1=g(x);n=n+1;endx1%近似根n%迭代步数(2)后编制函数文件邛(x),记为g.mfunction y=g(x)y=log(3*x.A2);(3)设初始值为0、3、-3、1000,观察初始值对求解的影响。将结 果记录在文档中。>>iterate(0)>>iterate(3) 等等2、(1)首先编制牛顿迭代函数如下，记为newton.mfunction y=newton(x0)x1=x0-fc(x0)/df(x0); %牛顿迭代格式n=1;while(abs(x1-x0)>=1.0e-6)&(

3、n<=1000000) %迭代终止的原则。x0=x1;x1=xO-fc(x0)/df(x0);n=n+1;endx1%近似根n%迭代步数(2)对题目中的方程编制函数文件，记为 fc.mfunction y=fc(x)y=3*x.A2-exp(x)编制函数的导数文件，记为df.mfunction y=df(x)y=6*x-exp(x)(3)在MATLABr令窗计算，当设初始值为0时，newton(0);给定不同的初始 值，观察用牛顿法求解时所需要的迭代步数，并与上面第一题的迭代步数比 较。将得到的结果记录下来。3、参考上面两题的程序，编写割线法的MATLAB?序，并求解问题的近似根。四、课

4、外练习1.迭代函数对收敛性的影响实验题目3用迭代法求方程f(x) = 2x -x-1=0的根。方案1化方程为等价方程x=fx2口=<p(x)取初值x0 =0 ,迭代10次。方案2化f(x)二°为等价方程x = 2x3 -1 = (x)取初值x0 =0,迭代10次，观察其计算值，并加以分析2 .初值的选取对迭代法的影响实验题目用牛顿法求方程x3x1=0在x= 1.5附近的根。方案1使用牛顿法并取入 =1.5,由Xk 1,= Xkf(Xk)f (Xk)Xk 1 - xkxk - xk -3x2-1迭代10次。方案2取x0=0,使用同样的公式xk - Xk -Xk 1 = Xk 一

5、-22迭代10次，观察比较并分析原因。3 .收敛性与收敛速度的比较实验题目3求方程f(x)=x -s1nxi2x+1的全部实根，8=10方案1.用牛顿法求解；方案2.用简单迭代法； 取相同迭代法初值，比较各方法的收敛速度。线性方程组的数值解法实验一实验目的：练习引入迭代和矩阵的形式来解决方程组问题。巩固方程与矩阵相互关系的概念。实验要求:学会用矩阵的形式来解决方程组问题在计算机上的实现。分析雅可比迭代与其它迭代的异同。实验内容：题目： 用雅可比迭代求方程组：AX=B已知：A、 B 如下：A =B =- 4-10-1000- 14-10-1050-1400-10- 1004-1060-10-14

6、-1200-10-146原理： 先找出下三角阵-L ，再找出上对角阵-U ，还有主对角阵D 。迭代公式x=inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*B设计思想：利用迭代即可在循环中实现的原则来完成此方程组的求解，所用的迭代公式为：x=inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*B实验二实验目的：加强编程能力和编程技巧，练习从数值分析的角度看问题。同时用 Matlab 编写代码。如果编程有困难，就利用已经给出的命令来求解。实验要求: 用选主元素法和高斯消去法两种方法解方程组。熟悉直接求解的方法。实验内容：题目： 用选主元素法和高斯消去法求解下列方程组：2-1006-1-3-201-13-200

7、00-351原理： (1)高斯消去法：相对于约当消去法而言，总的来说就是将增广矩阵化为下三角阵。(2) 选主元素法:相对于高斯消去法的唯一不同是每次将对角线元素化为1 前，要先按当前要排列元素所在列大小进行排列。设计思想：(1)高斯消去法：首先让每一行的元素除以该行的主对角线元素。然后利用此行使位于下一行主对角线以前的元素变为0，依次类推。(2)选主元素法：在高斯消去法的基础上，每次进行化上三角阵之前，重新排列各方程的位置。三、课外练习题1、用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代求方程组：A*X= BA=5 2 1 ;-1 4 2 ;2 -3 10，B=-12 ;20 ;3给定初始值X=0 ;0 ;0

8、并给出满足一定精度时迭代终止的步数。2、设A=1 2 3;2 3 4;3 4 7， b=6 9 14，用直接法求解方程组的解。3、熟悉矩阵范数的求法，生成n 阶的 Hilbert 矩阵，并计算其条件数，了解病态矩阵。附：求解线性方程组的相关资料一、直接法矩阵除法关于线性方程组的直接求解，如高斯消去法、选主元消去法、追赶法等，只需要矩阵左除、右除即可。求 Ax=b, 一般x=Ab。 另外，有关直接解法及处理大型矩阵的运算和编程需要，还需要了解几种矩阵分解。(1) LU 分解lu(A)(2) Cholesky 分解 chol(A)(3) 奇异值分解svd(A)(4) QR 分解(5) 有时需要用到

9、系数矩阵的对角部分等等，有上三角变换：由triu 实现下三角变换：由tril 实现由diag实现实验题：取函数 f(x)=51 x2x -5,5对角变换:、迭代解法的几种形式1、Jacobi迭代2、G-S迭代3、SOR迭代宙值法一、实验目的本次实验通过上机实习，了解函数逼近的拉格朗日插值、分段插值、三次 样条插值、最小二乘算法等。分析并比较它们的优缺点，深刻理解这些算法。 二、实验要求1、已知 f(x n)=yn ,n = 0,1,2,N;求通过这 N + 1 个节点 (xn, yn) | n=0,1,2,N 的插值函数Pn (x)。设计出具体的程序，使用拉格朗 日插值算法绘制出相应的插值曲线

10、。对于给出的实例，理解 Lagrange 插值的龙格现象。并熟悉分段线性插值算法。2、使用Matlab已有的函数，掌握分段线性插值、样条插值、最小二乘拟 合等。、实验内容1、Lagrange插值多项式目的：学会Lagrange插值算法，并应用算法于实际问题；观察Lagrange 插值的龙格现象。它在区间上的各阶导数存在，但在此区间上取n个节点所构造的 Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛，而且分散的很厉害.要求：取n=10，用Lagrange插值法进行插值计算.在同一图形窗口中比 较原函数和插值函数.应该可以看到，插值曲线已经严重偏离了原曲线。2、为了解决上面这个问题，引入分段线性插

11、值。用interp1函数来计算上例 的函数插值。interp1函数具体用法可以参考数学实验与软件或Matlab帮助文件3、熟悉样条插值。实验题：给定如下数据，试求满足自然边界条件的三次样条插值函数:x=28.7,28,29,30, 对应的函数值为4.1,4.3,4.1,3.0在图形窗口中给出拟合图形。4、曲线拟合最小二乘法拟合在 Matlab 中实现最小二乘法拟合可以利用polyfit 函数进行多项式拟合。实验题：设y=span1,x,x 2, 用最小二乘法拟合如下数据：x=0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0;y=1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60

12、;并给出拟合图形。四、课外练习题给定数据x=1:6; y=16 18 21 17 15 12; 将 Lagrange 插值、样条插值、线性插值曲线在一个图形窗口中用不同的颜色显示出来。数值积分、实验目的(1)学会复化梯形、复化Simpson、复化Cotes求积公式的编程与使 用。(2) 了解高精度求积公式的方法，如 Gauss求积公式。(3)学会运用Matlab提供的积分函数求给定区间上的积分。二、实验要求(1)按照题目要求完成实验内容。(2) 写出相应的Matlab程序。(3)给出实验结果，与精确积分值相比较。三、实验内容1、用复化梯形公式、复化 Simpson公式计算下列积分，并与精确值比

13、较，探 讨两种积分公式的精度。1(1)rdx,将区间8等分。0 4 x(2) ( Txdx ,将区间4等分。(3) (6。4-sin2 xdx ,将区间 6 等分2、用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分31(1)ln 2 = -2dx2 x -1；_22 x(2)e = xe dx .17；二一 10要求绝对误差为2,将计算结果与精确解做比较，并对计算结果进行分析。3、了解高精度求积公式的方法，如 Gauss求积公式，试按照教材内容求出近 似积分值。附：数值积分的相关资料一、关于数值积分，Matlab有以下函数：trapz梯形求积法quadSimpson 积法quadlLobat

14、to 求积法dblquad二重积分triplequad三重积分本节课主要介绍前两种函数的用法，另外的函数同学们有兴趣，可以查看帮助 文件了解其用法。(1) trapz函数梯形求积法1 dx例1:试取9个节点分别用复化梯形公式计算.01 x解：输入 x=0:1/8:1;y=1./(1+xA2);I=trapz(x,y)得到 1=0.7847quad函数quad ()函数采用自适应步长的 Simpson求积法，其应用格式为：I=quad(fun,a,b,tol)其中fun是被积函数，有两种形式，第一种用inline()命令定义函数，第二种 是写出外部函数fun.m； a, b是区间两端点；tol是

15、积分的精度要求，缺省值为 10-6例2：用quad函数求例1中的积分值，精度要求为10-6解：输入 fun=inline( 1./(1+x.A2)') ; I=quad(fun,0,1)得到 1=0.7854或者编写外部函数fun.mfunction y=fun(x)y=1./(1+x.A2);再使用quad ()函数求积分，有I=quad(fun,0,1)二、编写复化求积公式的程序来求近似积分值。1、复化梯形法将区间a,bN等分，子区间的长为h = b a,复化梯形求积公式为：Nbha f (x)dx :-f(a) f(b) 2% f(xjkW按照上式编写复化梯形求积函数。(函数名：

16、T_quad.m)function I=T_quad(x,y)n=length(x);m=length(y); if n=merror('The engths of X and Y must be equal'); return;endh=(x(n)-x(1)/(n-1);a=1 2*ones(1,n-2) 1;I=h/2*sum(a.*y);例：用复化梯形公式求积分 fe2dx,在积分区间中点与点的间隔取为 0.1。- 1解：输入 x=-1:0.1:1;y=exp(-x.A2);I=T_quad(x,y)得到 1=1.49242、复化Simpson法将区间a,bN等分，子区间的长为h=,在每个子区间上使用Simpson Nba f (x)dx :公式，还需要将每个子区间二等分，因此有 2N+1个分点。复化Simpson 求积公式为：h f(a) f (b) 2 f (x2k) 4V f (x2kj) 6k 1k 4按照上式编写复化梯形求积函数。(函数名:S_quad.m)function I=S_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);if n=merror('The engths of X and Y must be equal');return;endif rem(n-1,2)=0