高数期中复习ppt课件

1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学期中复习期中复习 基本概念基本概念, ,基本定理基本定理, ,基本方法基本方法河海大学理学院高等数学 1.1.概念罗列概念罗列 函数函数( (有确定对应规则有确定对应规则),),自变量自变量, ,定义域及求定义域及求法法, ,有有( (上上, ,下下) )界界, ,无界无界, ,奇、偶函数奇、偶函数, ,单调单调( (增、增、减减) )函数函数, ,复合函数复合函数, ,直接函数与反函数直接函数与反函数( (关于关于y=xy=x对称对称),),基本初等函数及对应图形基本初等函数及对应图形, ,初等函初等函数数; ; 极限极限, ,左右极限左右极限,

2、,单侧极限单侧极限, ,无穷大与无穷小无穷大与无穷小, ,无穷小的阶无穷小的阶( (高阶高阶, ,低阶低阶, ,同阶同阶, ,数量阶数量阶),),等价等价无穷小无穷小, ,连续连续(3(3定义定义),),连续连续, ,间断点分类间断点分类, ,导数导数, ,高阶导数高阶导数, ,相关变化率相关变化率, ,微分微分( (线性主部线性主部).). 极值极值, ,驻点驻点, ,最值最值( (极值与最值区别极值与最值区别););河海大学理学院高等数学7种自变量的变化种自变量的变化(1)自变量自变量n;(2)自变量自变量xx0 ；(3)自变量自变量xx0+0； (4)自变量自变量xx0-0；(5)自变量

3、自变量x ；(6)自变量自变量x+ ；(7)自变量自变量x-。-双侧双侧-双侧双侧单侧单侧单侧单侧2.2.极限定义极限定义河海大学理学院高等数学7种自变量变化的精准定义种自变量变化的精准定义(1)自变量自变量n,时时当当NnZN (2)自变量自变量xx0 ,0, 0,0时时当当 xx(3)自变量自变量xx0+0 , 0,00时时当当 xxx(4)自变量自变量xx0-0, 0,00时时当当xxx (6)自变量自变量x+, 0,时时当当XxX ,0,时时当当XxX (7)自变量自变量x-, 0,时时当当XxX 河海大学理学院高等数学5种函数的变化种函数的变化(3)函数函数f(x) 即即f(x)无穷

4、大；无穷大；(4)函数函数f(x)+即即f(x)正无穷大；正无穷大；(5)函数函数f(x)-即即f(x)负无穷大。负无穷大。(1)函数函数f(x)极限极限A;(2)函数函数0即即无穷小无穷小;河海大学理学院高等数学5种函数变化的精准定义种函数变化的精准定义(1)函数函数f(x)A.)(, 0 Axf(2) 无穷小无穷小., 0 (3) f(x)无穷大无穷大.)(, 0MxfM (4) f(x)正无穷大正无穷大.)(, 0MxfM (5) f(x)负无穷大负无穷大.)(, 0MxfM 河海大学理学院高等数学 极限的7个定义及无穷大与无穷小的相应定义 组合的例子： , ,当当 时时, ,有有Nn

5、axn NN, 0 axnn lim,RA , 0 .)( AxfA).()( xAxfAxfx )(lim河海大学理学院高等数学 设 在 的某一去心邻域内有定义. 如果对于 当 时， 有 )(xf0 x 00 xx Axf)(, 0, 0 Axfxx )(lim0Axf)( 0 xx 或或 设 在 的某一去心邻域内有定义. 如果对于 当 时， 有 )(xf0 x 00 xxMxf )(, 0, 0 M )(lim0 xfxx )(xf 0 xx 或或河海大学理学院高等数学1.用倒推法导出希望的条件(不是结果或事实) ； 证极限是从 出发导出N(或或X) 。 技巧是放大。 证是从 出发导出N(

6、或或X) 。技 巧是縮小。2.套定义复述。即：用定义证极限用定义证极限(或或)的步骤：的步骤： Axf)(当当 时时, ,有有）或或（或或XxxxNn 00)()(MxfAxf 或或 Mxf )(共共35个可能个可能)河海大学理学院高等数学例例xxxf12)( 2)(lim xfx )(lim0 xfx设设，用定义证明:; 2; 2、。1、河海大学理学院高等数学 3.3.基本定理基本定理 极限及无穷小的性质极限及无穷小的性质, ,无穷小与极限的关系无穷小与极限的关系, ,极限性质极限性质: :唯一唯一, ,有界有界, ,保号保号, ,局部服从全体局部服从全体. . 极限的四则运算与复合运算性质

7、极限的四则运算与复合运算性质( (参与的变量参与的变量极限一定要存在极限一定要存在);); 连续函数经连续函数经+,-,+,-,* *,/,/与复合运算后仍连续与复合运算后仍连续; ; 闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的( (两类两类) )性质性质: :有界有界, ,介值介值. . 可导必连续可导必连续, ,连续不一定可导连续不一定可导. . 左右极限左右极限, ,左右连续左右连续, ,左右导数左右导数. . 可导充要条件是可微可导充要条件是可微.dy=ydx.dy=ydx. 4 4个微分中值定理个微分中值定理. .河海大学理学院高等数学 4.4.极限的求法极限的求法: : 若函数连续若函数

8、连续: ,: ,初等函数在定义初等函数在定义区间内连续区间内连续. . 四则运算四则运算, ,有理函数在有理函数在 的计算公式的计算公式, , 去去0 0 因子因子, ,及有理化及有理化; ; 变量代换变量代换, , 有界与无穷小之积是无穷小有界与无穷小之积是无穷小. . 无穷大与无穷小无穷大与无穷小( (除除0 0外外) )互为倒数关系互为倒数关系. . 两准则两准则; ; 两极限两极限; ; 等价无穷小替换等价无穷小替换( (注注: :只用于乘除只用于乘除, , 加减不能用加减不能用) ) 洛必达法则洛必达法则)(0 xx )( )()(lim00 xfxfxx 河海大学理学院高等数学 5

9、.5.导数的求法导数的求法 定义定义( (导数是切线斜率导数是切线斜率) )多用于抽象函数或多用于抽象函数或分段函数在固定点分段函数在固定点. . 初等函数求导初等函数求导, ,基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式, ,求求导导(+-(+-* */)/)运算法则运算法则, ,复合函数求导公式复合函数求导公式, ,反反函数求导公式函数求导公式; ; 隐函数求导方法隐函数求导方法, , 对数求导法对数求导法, , 参数方程求导公式参数方程求导公式, , 高阶导数公式高阶导数公式. .河海大学理学院高等数学 隐函数求导要点隐函数求导要点: :方程两端同时关于方程两端同时关于x x求导求导, ,遇

10、到遇到y y时时, ,将将y y当作中间变量当作中间变量, ,先对先对y y求导求导, ,然然后后, ,马上乘以马上乘以y, y, 最后解出最后解出y.y. 对数求导注意点对数求导注意点: :要充分地使用对数性质要充分地使用对数性质, ,将对数性质发挥至极致将对数性质发挥至极致. .适用于适用于(1)(1)幂指函幂指函数数;(2);(2)多因子乘积多因子乘积. . 参数方程求导注意点参数方程求导注意点: y,y: y,y是是t t的函数的函数, ,对对t t求导后一定要及时除以求导后一定要及时除以xt.xt.河海大学理学院高等数学则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nfvu)()()()

11、(,:)2()()()(xvxuxvxunnn 常常数数线线性性性性质质常常数数 hkhkxfkhkxfnnn,)()()1()()(（3莱布尼茨莱布尼茨Leibniz公式公式)()(0)()(kknnkknnvuCuv 高阶导数公式高阶导数公式河海大学理学院高等数学求高阶导数的方法小结 抽象函数关于某一点或分段函数在分段点求(高阶) 导数,多用定义求得. 具体函数的低阶导数要由一阶导数,二阶导数, 依序算出. 简单函数类的高阶导数求至3,4阶后,尽量把它们 变换成同一形式,用不完全归纳法得一般规律.或套 公式(1)做.简单函数类指f(x)=xa,ex,ax,sinx,cosx,Lnx等 和中

12、间变量为线性的函数复合而成. 不太复杂函数的高阶导数,先化成简单函数类的线 性组合,而后用高阶导数的线性运算法则即公式(2)做. 尤其是多项式和简单函数类乘积的高阶导数,用 Leibniz公式.河海大学理学院高等数学6.6.微分中值定理微分中值定理)(xf条件条件: : 满足：满足：（1在闭区间在闭区间 a ,b 上连续；上连续；（2在开区间在开区间 (a ,b) 内可导；内可导；（3）结论结论: : 在开区间在开区间(a ,b) (a ,b) 内至少有一点内至少有一点 ，使，使 f微分中值定理的特点微分中值定理的特点河海大学理学院高等数学 罗尔中值定理适用于有关方程的根罗尔中值定理适用于有关

13、方程的根( (牵涉到牵涉到一个函数一个函数);); 拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改变量变量; ; 拉格朗日中值定理的推论拉格朗日中值定理的推论( (导数为零的函数导数为零的函数是常数是常数) )适用于恒等式适用于恒等式; ; 柯西中值定理适用于方程的根柯西中值定理适用于方程的根( (牵涉到两个牵涉到两个函数函数);); 泰勒中值定理涉及函数的高阶导数泰勒中值定理涉及函数的高阶导数. .河海大学理学院高等数学. 0)()( ff)()(xfxfk河海大学理学院高等数学7.7.洛必达法则洛必达法则(24(24个个) )使用说明使用说明: :(1)(1)可反复使用可反复使用, ,但每次使用前但每次使用前, ,必须