高数中值定理ppt课件

1、中值定理中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。应用问题。我们知道，函数我们知道，函数)()(00 xfxxfy )(xfy 在区间在区间 xxx 00,上的增量上的增量可用它的微分可用它的微分xxfdy )(0 来近似计算来近似计算 其误差是比其误差是比x 高阶的无穷小高阶的无穷小)(0 xfxy 即即是近似关系是近似关系)|(|充分小充分小x )(lim00 xfxyx 而而是极限关系是极限关系,都不便应用都不便应用 我们的任务是寻求差商与

2、导数的直接关系，既我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此，不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange中值定理给出了圆满的解答：中值定理给出了圆满的解答：xxxfy )(0 导数应用的理论基础导数应用的理论基础 本章我们先给出本章我们先给出Rolle定理它是定理它是Lagrange定定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明Lagrange定理和定理和Cauchy定理，有了定理，有了Cauchy定理定理就可以给出就可以给出Taylor中值定理及中值定理及L， Hospital法则，法则，这就是本章理论部分的主要内容

3、。这就是本章理论部分的主要内容。理论部分结构图理论部分结构图Lagrange定理定理特例特例Rolle定理定理推广推广Cauchy定理定理推广推广Taylor定理定理 本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了的条件；有了L， Hospital法则，可以进一步讨论法则，可以进一步讨论 1 ,0 ,0 ,0000等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和等各种类型的未定式的极

4、限；此外利用中值定理和单调性还可证明一些不等式。单调性还可证明一些不等式。重点重点微分中值定理微分中值定理L， Hospital法则法则Taylor公式公式求函数的极值和最值求函数的极值和最值难点难点中值定理中值定理L， Hospital法则的运用法则的运用利用中值定理证明不等式利用中值定理证明不等式基本要求基本要求 正确理解和掌握正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之定理及它们之 间的关系间的关系 熟练运用熟练运用L法则求未定式的极限法则求未定式的极限掌握函数展开成掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记公式的方法，熟记 )1(),1ln(,cos,sin,xxxxex 的的Taylor

5、公式公式熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式来证明不等式正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法条件及求法掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点会用中值定理证明不等式会用中值定理证明不等式先讲中值定理，以提供必要的理论基础先讲中值定理，以提供必要的理论基础一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理定理定理(Rolle) 若函数若函数f ( x ) 满足满足（1在闭区间在闭区间a,b上连续上连续（2在开区间在开区间(a,b)内可导内可导（3在区间端点处的

6、函数值相等在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)0)()(),(,),( fxfbaba在在该该点点的的导导数数为为零零，即即使使得得函函数数内内至至少少存存在在一一点点则则在在例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上上可可导导在在 , 0)3()1( ff且且),1(2)( xxf)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f几何解释几何解释: :xyo)(xfy abC1 2 若连续曲线弧的两个若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的处有不垂直于横轴的切线，切线

7、，.,切切线线是是水水平平的的在在该该点点处处的的上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CAB物理解释物理解释: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.证证,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)1(mM 若若.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()

8、( xfxf则则有有, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有注注 Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：如：y=x2在在-1,2上满足上满足(1),(2)，不满足，不满足(3)却在却在(-1,2)内有一点内有一点 x=0 使使0200 xxxy但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论

9、成立但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。三个条件缺一不可。例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 ,2一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( xf但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使又例如又例如,; 0)0(,1 , 0(,1)( fxxxf在在0,1上除去上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的不连续外，满足罗尔定理的一切条件一切条件. 0)( xf但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使再例如再例如.1 , 0,)( xxxf在在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的

10、一切条件定理的一切条件.0)(的的点点但但也也找找不不到到使使 xf罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；的点。有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，也不一定能指出是哪一点，如如)2ln()( xxxf在在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而上满足罗尔定理的全部条件，而)2ln(2)( xxxxf但却不易找到使但却不易找到使 的点的点0)( xf但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们

11、但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用例例1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一

12、个个),(10 xx )1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根例例2证明证明0)(2 cbxaxex至多有三个实根至多有三个实根证证)()(2cbxaxexfx 记记直接证明有困难，采用反证法直接证明有困难，采用反证法设设0)( xf有四个实根有四个实根4321xxxx )()(2cbxaxexfx 记记连续、可导连续、可导对对)(xf,433221xxxxxx在在用罗尔定理得用罗尔定理得4332211xxxx 0)()()(321 fff使使baxexfx 2)(连续、可导连续、可导对对)(xf ,3221 在在用罗尔定理得用罗尔定理得32211

13、0)()(21 ff使使aexfx2)( 连续、可导连续、可导对对)(xf ,21 在在用罗尔定理得用罗尔定理得,4121xx 0)( xf使使0)( xexf但但矛盾矛盾得证结论成立得证结论成立二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了

14、与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结结论论亦亦可可写写成成几何解释几何解释:xoy)(xfy ABabC1 D2 .,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy xNM,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗

15、尔定理的条件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. .,),()(内内可可导导在在在在设设baxf则则有有),(,00baxxx ).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值公式又称有限

16、增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理微分中值定理推论推论1.)(,)(上上是是一一个个常常数数在在区区间间那那末末上上的的导导数数恒恒为为零零在在区区间间如如果果函函数数IxfIxf推论推论2 2CxgxfIxgxfI )()(),()(上上在在区区间间那那末末上上在在区区间间如如果果例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证证明明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2

17、 .2 C即即.2arccosarcsin xx0 例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例4MaaffaxfMxfa | )(| )0(|), 0()(,| )(| , 0最最大大值值，试试证证内内取取得得在在且且上上设设在在证证内内可可导导在在上上连连续续在在由由于于), 0(, 0)(aa

18、xf内内取取得得最最大大值值在在且且),0()(axf0)(), 0(, cfacFermat使使定定理理知知由由上上分分别别使使用用在在对对, 0)(accxf Lagrange定理定理cffcf )()0()(1 )0(1c )()()()(2cafcfaf )(2ac )( | )(| )(| )(| )0(|21cafcfaff )(cacM Ma 例例5设抛物线设抛物线CBxxy 2与与 x 轴有两个交点轴有两个交点)(,babxax 函数函数f(x)在在a,b上二阶可导上二阶可导0)()( bfaf曲线曲线y = f ( x )与抛物线与抛物线CBxxy 2在在a,b内有一个交点内

19、有一个交点证明证明2)(),( fba使使证证如下图如下图oxyCBxxy 2y=f(x)abcMN)()()(2cBxxxfxF 令令内内可可导导在在上上连连续续在在则则),(),(,)(bccabccaxF0)()()( bFcFaF且且由罗尔定理，得由罗尔定理，得bca 21 0)()(21 FF使使内内可可导导在在上上连连续续在在又又),(,)(2121 xF 0)()(21 FF且且再由罗尔定理，得再由罗尔定理，得),(),(21ba 0)( F使使BxxfxF 2)()(而而2)()( xfxF2)( f三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauc

20、hy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()

21、()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbfCauchy定理又称为广义微分中值定理定理又称为广义微分中值定理).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,

22、1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数例例6 6证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即例例7设设f(x)在在x=0的某邻域内具有二阶导数，且的某邻域内具有二阶导数，且0)0()0( ff试证试证)10(! 2)()(2 xfxxf证证的的某某邻邻域域内内的

23、的任任一一点点为为设设00 xx由题设知由题设知上上在在 xxxgxf, 0)(),(2满足满足Cauchy定理的条件定理的条件 由由Cauchy公式得公式得)0()()0()()(2gxgfxfxxf 112)( f x, 01 再对函数再对函数上上在在 1, 02)(),( xxgxf应用应用Cauchy公式，有公式，有)0()()0()()(112ggffxxf ! 2)(2 f 12, 0 之间之间与与在在由于由于x02 )10(2 x)10(! 2)()(2 xfxxf若若f(x)在在x=0的某邻域内具有的某邻域内具有 n 阶导数，且阶导数，且0)0()0()0()1( nfff!)()()(nxfxxfnn 则则这就是这就是Taylor公式公式例例8设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，0 a证明证明),(,321baxxx 33222213)()(2)()()(xxfaabbxxfabxf 使使证证f(x)在在a,b上满足上满足Lagrange定理的条件定理的条件),(1bax )()()(1abxfafbf