高中数学第一章导数及其应用复习新人教A版选修2-2ppt课件

1、第三章第三章 导数及其应用复习小结导数及其应用复习小结本章知识结构本章知识结构 导数导数导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度 最优化问题最优化问题曲线的切线曲线的切线 以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+x，y0+y)是曲线

2、C上与点P临近的一点，做割线PQ，当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。一知识串讲一知识串讲 此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率，用极限运算的表达式来写出，即 k=tan= 000()()limxf xxf xx （一导数的概念：（一导数的概念： 1导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量x，函数y相应有增量y=f(x0+ x)f(x0)，若极限 存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f (x0)，或y| ；0000()()limlimxxf xxf xyxx 0

3、 x x 2导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f (x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数简称导数记作f (x)或y.即f (x)=y=0()( )limxfxxfxx 3导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为kf (x0)所以曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切

4、线方程为 yy0=f (x0)(xx0) 4导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，即v(t)=s(t). 基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=co

5、sx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x返回返回导数的运算法则导数的运算法则: :法则法则1:1:两个函数的和两个函数的和( (差差) )的导数的导数, ,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和( (差差),),即即: :( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:2:两个函数的积的导数

6、两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数, ,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 , ,即即: :( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法则法则3:3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数, ,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 , ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方. .即即: :2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x

7、g xg xg xg x返回返回 当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0 x0时时, ,割线割线PQPQ如果有一如果有一个极限位置个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的切线处的切线. . 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0 x0时时, ,割线割线PQPQ的的斜率斜率, ,称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线的斜率切线的斜率. .即即: :00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T返回返回1) 1) 如果恒有如果恒有 f(x)

8、0f(x)0，那么，那么 y=fy=fx) x) 在这个区间在这个区间a,b)a,b)内单调递增；内单调递增；2) 2) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f (x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,那么那么 为常数为常数.0)( xf)(xf返回返回2)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧附近的左侧附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(a)f(a)函数函数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值. . 函数的极值函数的极值1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b

9、 b左侧附近左侧附近f(x)0f(x)0，在在b b右侧附近右侧附近f(x)0f(x)0，那么，那么f(b)f(b)是函数是函数f(x)f(x)的一个极大的一个极大值值注：导数等于零的点不一定是极值点注：导数等于零的点不一定是极值点2)2)在闭区间在闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条连续不断的曲的图象是一条连续不断的曲线线, ,则它必有最大值和最小值则它必有最大值和最小值. .函数的最大小值与导数函数的最大小值与导数x xy y0a ab bx1x1x2x2x3x3x4x4f(a)f(a)f(x3)f(x3)f(b)f(b)f(xf(x1)1)f(x2)f(

10、x2)gg返回返回（五函数的最大值与最小值：（五函数的最大值与最小值： 1定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m. 2存在性：在闭区间a，b上连续函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 3求最大小值的方法：函数f(x)在闭区间a，b上最值求法： 求出f(x)在(a，b)内的极值； 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.两年北京导两年北京导数题数题, ,感想如感想如何何? ?例例1已经曲线已经曲线C：y=x3-x+2和点和点

11、A(1,2)。求在点。求在点A处的切线方程？处的切线方程？解：解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切线方程为：所求的切线方程为： y2=2(x1), 即即 y=2x变式变式1：求过点：求过点A的切线方程？的切线方程？例例1已经曲线已经曲线C：y=x3-x+2和点和点(1,2)求求在点在点A处的切线方程？处的切线方程？解：变解：变1：设切点为：设切点为Px0，x03x0+2），）， 切线方程为y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0)21又又切线过点切线过点A(1,2) 2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0)化简得化简得(x01)2(2 x0+1)=0

12、，2114当当x0=1时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y2=2(x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0=k= f/(x0)= 3 x021，当当x0= 时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为： y2= (x1),即即x+4y9=0变式变式1：求过点：求过点A的切线方程？的切线方程？例例1：已经曲线：已经曲线C：y=x3x+2和点和点(1,2)求在点求在点A处的切线方程？处的切线方程？变式变式2：若曲线上一点：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直处的切线恰好平行于直 线线y=11x1，则，则P点坐标为点坐标为 _,切线方程为切线方程为_ (2,8)或或( 2, 4) y=11x14或或y=11x+18（1正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在，即函数值在x=x0点附近的变化快慢；所以只有与变化率点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决；有关的问题都可以用导数来解决；（2掌握