高中全程复习方略配套：77空间直角坐标系向量的坐标表示和空间向量基本定理ppt课件

1、第七节 空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理三年三年4 4考考 高考指数高考指数: :1.1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式会推导空间两点间的距离公式. .2.2.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示及其坐标表示. .3.3.掌握空间向量线性运算的坐标表示掌握空间向量线性运算的坐标表示. .4.4.掌握空间向量数量积的坐标表示掌握空间向量数量积的坐标表示. .1.1.空间直角坐标系是用向量法解决立体几何问

2、题的基础空间直角坐标系是用向量法解决立体几何问题的基础, ,属了解属了解内容内容, ,一般不单独命题一般不单独命题. .2.2.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、夹空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、夹角、距离问题的基础角、距离问题的基础. .3.3.通过求空间点的坐标考查空间想象能力通过求空间点的坐标考查空间想象能力, ,通过求两点间距离考通过求两点间距离考查计算能力查计算能力. .4.4.空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择题或填空题为主选择题或填空题为主. .1.1.空间直角坐标系空间直

3、角坐标系(1)(1)空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立( (如图如图) )()()坐标系为坐标系为_系系; ;右手右手()()指指_,_,记为记为_;_;()()指指_轴轴, ,指指_轴轴, ,指指_轴轴; ;()()和和, ,和和, ,和和确定的平面分别指确定的平面分别指_平面平面, _, _平面平面, _, _平面平面. .(2)(2)空间直角坐标系中的点的坐标表示空间直角坐标系中的点的坐标表示类似于平面直角坐标系中的点的坐标表示类似于平面直角坐标系中的点的坐标表示, ,在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置用一个三元有序数组来刻画空间点的位置

4、, ,任意一点任意一点P P的坐标记的坐标记为为_._.原点原点O Ox xy yz zxOyxOyyOzyOzxOzxOz(x,y,z)(x,y,z)【即时应用】【即时应用】(1)(1)考虑考虑: :空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：三个坐标平面把空间分为八部分提示：三个坐标平面把空间分为八部分. .(2)xOz(2)xOz平面内点的坐标的特点是平面内点的坐标的特点是_._.【解析】点在【解析】点在xOzxOz平面内平面内, ,故点在故点在y y轴上的射影一定是坐标原点轴上的射影一定是坐标原点, ,其纵坐标为其纵坐标为0,0,横坐标

5、、竖不确定横坐标、竖不确定. .答案：纵坐标为答案：纵坐标为0 0(3)(3)在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)M(-5,3,1)关于关于x x轴的对称点坐标为轴的对称点坐标为_._.【解析】关于【解析】关于x x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数反数. .答案：答案：(-5,-3,-1)(-5,-3,-1)2.2.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式(1)(1)如果长方体的长、宽、高分别为如果长方体的长、宽、高分别为a a、b b、c c，那么对角线长，那么对角线长d=_.d=_.(2)(2)空间两点空间两

6、点A(x1,y1,z1)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)B(x2,y2,z2)间的距离间的距离|AB|=_.|AB|=_.222abc222212121xxyyzz【即时应用】【即时应用】(1)(1)考虑考虑: :在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? ?提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面. .(2)(2)已知空间两点已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)A(2

7、,0,4),B(-6,2,-2)，则线段，则线段ABAB的中点到原的中点到原点的距离为点的距离为_._.【解析】由中点坐标公式可得线段【解析】由中点坐标公式可得线段ABAB的中点为的中点为(-2,1,1),(-2,1,1),故到原故到原点的距离为点的距离为 答案：答案： 2222116.6(3)(3)已知点已知点P(1,1,1),P(1,1,1),其关于其关于xOzxOz平面的对称点为平面的对称点为PP，那么，那么 =_.=_.【解析】由题意得【解析】由题意得P(1P(1，-1-1，1),1),答案：答案：2 2222PP1 11 11 12. PP 3.3.空间向量的标准正交分解、坐标表示及

8、空间向量基本定理空间向量的标准正交分解、坐标表示及空间向量基本定理(1)(1)在给定的空间直角坐标系中，在给定的空间直角坐标系中，i,j,ki,j,k分别为分别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴正方轴正方向上的单位向量向上的单位向量, ,对于空间任意向量对于空间任意向量a,a,存在唯一一组三元有序实存在唯一一组三元有序实数数(x,y,z)(x,y,z)，使得，使得a=_.a=_.把把_叫作叫作a a的标准正交的标准正交分解，把分解，把_叫作标准正交基叫作标准正交基. _. _叫作空间向量叫作空间向量a a的坐的坐标，记作标，记作a=(x,y,z). _a=(x,y,z). _叫作向量叫作向量a

9、 a的坐标表示的坐标表示. . xi+yj+zkxi+yj+zka=xi+yj+zki,j,k(x,y,z)(x,y,z)a=(x,y,z)(2)(2)若若b0b0为为b b的单位向量，称的单位向量，称_为向量为向量a a在向量在向量b b上的投影上的投影. .向量的坐标等于它在向量的坐标等于它在_上的投影上的投影. .(3)(3)空间向量基本定理空间向量基本定理如果向量如果向量e1,e2,e3e1,e2,e3是空间三个是空间三个_的向量，的向量，a a是空间任一向是空间任一向量，那么存在唯一一组实数量，那么存在唯一一组实数1,2,31,2,3，使得，使得a=1e1+2e2+3e3.a=1e1

10、+2e2+3e3.空间中不共面的三个向量空间中不共面的三个向量e1,e2,e3e1,e2,e3叫作这个空间的一个叫作这个空间的一个_. _. ab0=|a|cosa,b坐标轴正方向坐标轴正方向不共面不共面基底基底【即时应用】【即时应用】(1)(1)考虑考虑: :空间中的任意三个向量都可以作为空间向量的一个基空间中的任意三个向量都可以作为空间向量的一个基底吗？底吗？提示：不可以提示：不可以. .只有当三个向量不共面时才可以只有当三个向量不共面时才可以. .(2)(2)已知已知a=(2a=(2，-1,3)-1,3)，b b(-1,4(-1,4，-2)-2)，c c(7,5(7,5，)，假设，假设a

11、,b,ca,b,c三个向量共面，则实数三个向量共面，则实数=_=_【解析】由于【解析】由于a,b,ca,b,c三向量共面，所以存在实数三向量共面，所以存在实数m,nm,n使得使得c=ma+nbc=ma+nb，即，即解得解得答案：答案： 72mn5m4n3m2n ，331765m,n,.777657(3)(3)已知向量已知向量a,b,ca,b,c是空间的一个单位正交基底，向量是空间的一个单位正交基底，向量a+b,a+b,a-b,ca-b,c是空间的另一组基底，若向量是空间的另一组基底，若向量p p在基向量在基向量a+b,a-b,ca+b,a-b,c下的下的坐标为坐标为 则向量则向量p p在基底在

12、基底a,b,ca,b,c下的坐标为下的坐标为_【解析】由条件得【解析】由条件得p= (a+b)- (a-b)+3c=a+2b+3cp= (a+b)- (a-b)+3c=a+2b+3c，故向量，故向量p p在在基底基底a,b,ca,b,c下的坐标为下的坐标为(1,2,3)(1,2,3)答案：答案：(1,2,3)(1,2,3)31,3)22(，32124.4.空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).(1)a+b=_;(1)a+b=_;(2)a-b=_;(2)a-b=_;(3) a= _(

13、R);(3) a= _(R);(4)ab=_;(4)ab=_;(5)|a|=_=_;(5)|a|=_=_;(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(x1,y1,z1)(x1,y1,z1)x1x2+y1y2+z1z2x1x2+y1y2+z1z2222111xyza a(6)cos(6)cosa,ba,b=_;=_;(7)ab(b0)(7)ab(b0)_ _; _;(8)ab(8)ab_._.121212222222111222x xy yz z(,)xyzxyza0 b0a=b1212

14、12xxyy ,zzRab=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0【即时应用】【即时应用】(1)(1)已知空间三点已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，那么，那么 的夹角的夹角的大小是的大小是_(2)(2)已知已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，那么，那么b-ab-a的最小值为的最小值为_._.(3)(3)已知已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2)a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2)，若，若aba

15、b，那么，那么=_=_(4)(4)已知向量已知向量a=(1,1,0)a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)b=(-1,0,2)且且ka+bka+b与与2a-b2a-b互相垂直，互相垂直，则则k=_. k=_. ABCA 与【解析】【解析】(1)(1)由题意知由题意知 =(-2,-1,3)=(-2,-1,3)， =(-1,3,-2)=(-1,3,-2)，故，故所以所以= = (2)(2)由题意得：由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)b-a=(1+t,2t-1,0)，b-ab-a= =当当t= t= 时，时，b-ab-a取得最小值为取得最小值为 . .AB CA AB CA71cos,14

16、2ABCA 23221t2t102195(t)55 ，153 55(3)(3)由由abab得得a=kba=kb，从而得，从而得 解得解得=k= ,= ,=k= ,= ,故故= = (4)(4)由题意得，由题意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2，-2)-2)所以所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-2(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=02=5k-7=0，解得，解得k= k= 答案：答案：16k0k 21 ,22k 151211075 23 517123435105 求空间相关点的坐标求空间相

17、关点的坐标【方法点睛】【方法点睛】 1.1.建立恰当坐标系的原则建立恰当坐标系的原则(1)(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)(2)尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上. .2.2.求空间中点求空间中点P P的坐标的方法的坐标的方法(1)(1)过点过点P P作与作与x x轴垂直的平面，垂足在轴垂直的平面，垂足在x x轴上对应的数即为点轴上对应的数即为点P P的的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标. . (2)(2)从点从点P P向三个坐标平面作垂线，所得点向三个坐标平面作垂

18、线，所得点P P到三个平面的距离等到三个平面的距离等于点于点P P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点求得点P P的坐标的坐标. .3.3.空间直角坐标系中点的对称规律空间直角坐标系中点的对称规律已知点已知点P(x,y,z)P(x,y,z)，则点，则点P P关于点、线、面的对称点坐标为：关于点、线、面的对称点坐标为：点线面点线面对称点坐标对称点坐标原点原点(-x,-y,-z)(-x,-y,-z)x x轴轴(x,-y,-z)(x,-y,-z)y y轴轴(-x,y,-z)(-x,y,-z)z z轴轴(-x,-y,z)(-x,-y

19、,z)xOyxOy平面平面(x,y,-z)(x,y,-z)yOzyOz平面平面(-x,y,z)(-x,y,z)xOzxOz平面平面(x,-y,z)(x,-y,z)【例【例1 1】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射影的坐轴上的射影的坐标为标为_._.(2)(2)已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1的各棱长均为的各棱长均为2 2，以，以A A为坐标原点建为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标. .(3)(3)如图如图, ,已知长方体已知长方体ABC

20、D-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,A(-2,-3,-1)-1)，求其他七个顶点的坐标，求其他七个顶点的坐标. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,点在点在x x轴的射影的坐标满足轴的射影的坐标满足横坐标相同横坐标相同, ,纵、竖坐标均为零纵、竖坐标均为零.(2).(2)注意空间直角坐标系的建立注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小以及三棱柱底面三角形角的大小.(3).(3)由

21、题意知，长方体的各顶由题意知，长方体的各顶点关于原点点关于原点O O和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标写出其他七个顶点的坐标. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射影的横坐标与点轴上的射影的横坐标与点P P相同相同, ,纵坐标、竖坐标均为纵坐标、竖坐标均为0.0.故射影坐标为故射影坐标为(2,0,0).(2,0,0).答案：答案：(2,0,0)(2,0,0)(2)(2)以以A A点为坐标原点，点为坐标原点，ACAC、AA1AA1所在所在直线分别为直线分别为y y轴

22、、轴、z z轴建立空间直角轴建立空间直角坐标系，如下图坐标系，如下图. .设设ACAC的中点是的中点是D D，连接，连接BDBD，则，则BDyBDy轴，轴，且且BD= BD= ，3A(0,0,0),B( ,1,0),C(0,2,0)A(0,0,0),B( ,1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1( ,1,2),C1(0,2,2).A1(0,0,2),B1( ,1,2),C1(0,2,2).(3)(3)由题意得，点由题意得，点B B与点与点A A关于关于xOzxOz面对称，故点面对称，故点B B的坐标为的坐标为(-2,3,-1)(-2,3,-1)；点；点D D与点与点A A关于关于

23、yOzyOz面对称，故点面对称，故点D D的坐标为的坐标为(2,-3,(2,-3,-1);-1);点点C C与点与点A A关于关于z z轴对称，故点轴对称，故点C C的坐标为的坐标为(2,3,-1)(2,3,-1)；由于点；由于点A1,B1,C1,D1A1,B1,C1,D1分别与点分别与点A,B,C,DA,B,C,D关于关于xOyxOy面对称，故点面对称，故点A1,B1,C1,D1A1,B1,C1,D1的坐标分别为的坐标分别为A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,

24、1).33【互动探究】本例【互动探究】本例(2)(2)中若以中若以ACAC的中点的中点D D为坐标原点，以为坐标原点，以DB,DCDB,DC所所在直线分别为在直线分别为x x轴、轴、y y轴建立适当的空间直角坐标系，试写出各轴建立适当的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标顶点的坐标. .【解析】建立空间直角坐标系【解析】建立空间直角坐标系, ,如下图，那么如下图，那么A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0)A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0)，A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2).A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2)

25、.33【反思【反思感悟】感悟】1.1.建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用. .2.2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同为方便起见常将尽量多的点落在坐标轴上同为方便起见常将尽量多的点落在坐标轴上. .3.3.求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规明确哪些坐标发生了

26、变化，哪些没变，一定要记清变化的规律律4.4.记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键. .【变式备选】已知正四棱锥【变式备选】已知正四棱锥V-ABCDV-ABCD，O O为底面中心，若为底面中心，若AB=2,VO=3.AB=2,VO=3.试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标. .【解析】方法一：【解析】方法一：正四棱锥正四棱锥V-ABCDV-ABCD，O O为底面中心，为底面中心，四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，ACBD,ACBD,且且VOVO底面底面ABCD,ABCD,以射线以射

27、线CACA为为x x轴的正方向，射线轴的正方向，射线DBDB为为y y轴的正方向，轴的正方向，O O为坐标原点，为坐标原点，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，射线射线OVOV即为即为z z轴的正方向轴的正方向AB=2,VO=3,AC=BD=2 ,AB=2,VO=3,AC=BD=2 ,于是于是A( ,0,0),B(0, ,0),C(- ,0,0),D(0,- ,0),V(0,0,3).A( ,0,0),B(0, ,0),C(- ,0,0),D(0,- ,0),V(0,0,3).22222方法二：分别以射线方法二：分别以射线DA,DCDA,DC为为x x轴和轴和y y轴的正方向，轴的正方向，

28、D D为原点建立为原点建立空间直角坐标系，空间直角坐标系，射线射线OVOV的方向即为的方向即为z z轴的轴的正方向正方向, ,ABAB2 2，VOVO3,3,AD=CD=2,AC=BD=2 ,AD=CD=2,AC=BD=2 ,于是于是A(2,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),O(1,1,0),C(0,2,0),O(1,1,0),D(0,0,0),V(1,1,3).D(0,0,0),V(1,1,3).2 空间两点间的距离空间两点间的距离【方法点睛】【方法点睛】1.1.求空间两点间距离的步骤求空间两点间距离的步骤(1)(1)建立坐标系，写出相关点的坐

29、标；建立坐标系，写出相关点的坐标；(2)(2)利用公式求出两点间的距离利用公式求出两点间的距离. .2.2.两点间距离公式的应用两点间距离公式的应用(1)(1)求两点间的距离或线段的长度；求两点间的距离或线段的长度；(2)(2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值；已知两点间距离，确定坐标中参数的值；(3)(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性根据已知条件探求满足条件的点的存在性. . 【例【例2 2】(1)(1)已知点已知点B B是点是点A(3,7,-4)A(3,7,-4)在在xOzxOz平面上的射影，那么平面上的射影，那么|OB|OB|等于等于( )( )(A)(9,0,16) (B)2

30、5 (C)5 (D)13(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13(2)(2)如下图，以棱长为如下图，以棱长为a a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点建立空间直角坐标系，点P P在正方体的体对角线在正方体的体对角线ABAB上，点上，点Q Q在棱在棱CDCD上当点上当点P P为对角线为对角线ABAB的中点，点的中点，点Q Q在棱在棱CDCD上运动时，探究上运动时，探究|PQ|PQ|的最小值的最小值. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)根据空间点在根据空间点在xOzxOz平面上的射影的特点及距离平面上的射影的特点及距离公式求

31、解公式求解.(2).(2)确定点确定点P P、Q Q的坐标，利用两点间的距离公式得到的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|PQ|，然后利用函数知识解决，然后利用函数知识解决. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意得点由题意得点B B的坐标为的坐标为(3,0,-4),(3,0,-4),故故(2)(2)因为因为B(0,0,a),A(a,a,0)B(0,0,a),A(a,a,0)，P P为为ABAB的中点的中点, ,所以所以P( ).P( ).又点又点Q Q在棱在棱CDCD上运动，所以可设上运动，所以可设Q(0,a,z0)Q(0,a,z0)，其中其中z0z00,a0,a，故故因

32、此当因此当 时，时，|PQ|PQ|的最小值为的最小值为 a.a.222OB3045. a a a,2 2 22222200aaaaaPQ(0)(a)(z )(z)222220az222【互动探究】本例【互动探究】本例(2)(2)中中, ,若将若将“点点P P为对角线为对角线ABAB的中点改为的中点改为“当点当点P P在对角线在对角线ABAB上运动时上运动时”, ,其余条件不变其余条件不变, ,则结果如何则结果如何? ?【解析】显然，当点【解析】显然，当点P P在在ABAB上运动时，点上运动时，点P P到坐标平面到坐标平面xOzxOz、yOzyOz的距离相等，且的距离相等，且P P在第一象限，所

33、以可设在第一象限，所以可设P(t,t,a-t),tP(t,t,a-t),t0,a0,a，又又Q Q在在CDCD上运动，上运动，所以可设所以可设Q(0,a,z0)Q(0,a,z0)，z0z00,a0,a. .所以所以|PQ|=|PQ|=故当故当z0=t= z0=t= 时，时，|PQ|PQ|有最小值为有最小值为 a.a.2220t0taatz 222022202t2ataatzaazta2(t),22 a222【反思【反思感悟】感悟】1.1.解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现的错误是将坐标求错的错误是将坐标求错. .2.2.利用空间两点间的距离公式，可以求

34、两点间的距离或某线段利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决决. .【变式备选】【变式备选】1.1.已知点已知点A(1A(1，a a，-5)-5)、B(2aB(2a，7 7，2)2)(aR)(aR)，则，则ABAB的最小值是的最小值是( )( )(A)3 (B)3 (C)2 (D)2 (A)3 (B)3 (C)2 (D)2 【解析】选【解析】选B.B.|AB|AB|当当a=-1a=-1时时,|AB|,|AB|取最小值取最小值3 .3 .36362221 2aa752 25

35、a 1543 6.62.2.在在xOyxOy平面内的直线平面内的直线x+y=1x+y=1上确定一点上确定一点M M，使，使M M到点到点N(6,5,1)N(6,5,1)的的距离最小，则此最小距离为距离最小，则此最小距离为_._.【解析】由已知，可设【解析】由已知，可设M(x,1-x,0),M(x,1-x,0),那么那么|MN|=|MN|=|MN|min= .|MN|min= .答案：答案： 222x61x50 122 x151.5151 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算【方法点睛】【方法点睛】1.1.求空间向量数量积的方法求空间向量数量积的方法(1)(1)定义法：设向量定义法：设向量a,b

36、a,b的夹角为的夹角为，则，则ab=ab=a ab bcoscos；(2)(2)坐标法：设坐标法：设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，那么，那么a b =x1x2+y1y2+z1z2a b =x1x2+y1y2+z1z2解题时可根据条件灵活选择方法解题时可根据条件灵活选择方法2.2.求向量模的方法求向量模的方法(1)|a|= ;(1)|a|= ;(2)(2)若若a=(x,y,z),a=(x,y,z),那么那么|a|=|a|=2 a222xyz .【例【例3 3】已知向量】已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),a=

37、(1,-3,2),b=(-2,1,1),点点A(-3A(-3，-1-1，4)4)，B(-2B(-2，-2-2，2).2).(1)(1)求求|2a+b|.|2a+b|.(2)(2)在直线在直线ABAB上，是否存在一点上，是否存在一点E E，使得，使得 (O(O为原点为原点).).【解题指南】【解题指南】(1)(1)若若m=(x,y,z),m=(x,y,z),那么那么|m|=|m|=(2)(2)假设存在点假设存在点E E在直线在直线ABAB上，可由上，可由 设出点设出点E E的坐标，由的坐标，由 列方程求解列方程求解. .OE b222xyz ;AEAB OE0 b【规范解答】【规范解答】(1)a

38、=(1,-3,2),b=(-2,1,1)(1)a=(1,-3,2),b=(-2,1,1)，2a+b=(0,-5,5)2a+b=(0,-5,5)，|2a+b|= |2a+b|= (2)(2)假设存在点假设存在点E E，其坐标为，其坐标为E(x,y,z),E(x,y,z),则存在实数则存在实数，使得，使得即即(x+3,y+1,z-4)=(1,-1,-2)(x+3,y+1,z-4)=(1,-1,-2) E(-3,-1,-2+4) E(-3,-1,-2+4)，2220555 2. AEAB ，x3y1z24 ， =(-3,-1,-2+4) =(-3,-1,-2+4)，又又b=(-2,1,1), bb=

39、(-2,1,1), b， b=-2(-3)+(-1)+(-2+4) b=-2(-3)+(-1)+(-2+4)=-5+9=0=-5+9=0，= = ，E E ，在直线在直线ABAB上存在点上存在点E E ，使，使 b.b.OE OE OE 95614 2(, )55 5614 2(, )55 5OE 【反思【反思感悟】感悟】1.1.类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系从二维平面到三维空间，相应的结论也会发生变化，如平面直从二维平面到三维空间，相应的结论也会发生变化，如平面直角坐标系中角坐标系中A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2

40、),线段线段ABAB中点的坐标为中点的坐标为 其两点间的距离公式为其两点间的距离公式为 而在而在空间直角坐标系中空间直角坐标系中A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),线段线段ABAB中点的坐中点的坐标为标为 其两点间的距离公式为其两点间的距离公式为12xx(,212yy)2，222121ABxxyy,121212xxyyzz(,).222 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，方程方程x2+y2=1x2+y2=1表示以原点为圆心表示以原点为圆心,1,1为半径的圆，而在空间直角坐为半径的圆，而在空间直角坐标系中，方程标系中，方程x2+y

41、2+z2=1x2+y2+z2=1表示以原点为球心，表示以原点为球心，1 1为半径的球面等为半径的球面等. .2.2.类比平面向量及其运算性质学习空间向量及其运算性质类比平面向量及其运算性质学习空间向量及其运算性质空间向量基本定理，向量的加、减运算及数乘运算，两向量的空间向量基本定理，向量的加、减运算及数乘运算，两向量的数量积的定义及运算性质和向量的坐标运算，都和平面向量中数量积的定义及运算性质和向量的坐标运算，都和平面向量中的相关内容完全一致的相关内容完全一致. .有区别的是两个基本定理中构成基底的向有区别的是两个基本定理中构成基底的向量及向量的坐标由二维扩展到三维量及向量的坐标由二维扩展到三

42、维. .222212121ABxxyyzz;【变式训练】已知空间三点【变式训练】已知空间三点A(0A(0，2 2，3)3)，B(-2B(-2，1 1，6)6)，C(1C(1，-1-1，5).5).(1)(1)求以求以 为边的平行四边形的面积；为边的平行四边形的面积；(2)(2)假设假设|a|= |a|= ，且，且a a分别与分别与 垂直，求向量垂直，求向量a a的坐标的坐标. .【解析】【解析】(1)(1)由题意可得：由题意可得： =(-2=(-2，-1-1，3)3)， =(1=(1，-3-3，2)2)，ABAC ，3ABAC ，AB AC AB AC23671cosABAC1421414AB

43、 AC ， ，3sinABAC2 ， ，以以 为边的平行四边形的面积为边的平行四边形的面积(2)(2)设设a=(xa=(x，y y，z)z)，由题意得由题意得 解得解得 或或向量向量a a的坐标为的坐标为(1,1,1)(1,1,1)或或(-1,-1,-1). (-1,-1,-1). ABAC ，13S2|AB| |AC| sinABAC147 3.22 ， 222xyz32xy3z0 x3y2z0，x1y1z1x1y1,z1 【易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论而致误【易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论而致误【典例】【典例】(2019(2019临沂模拟临沂模拟) )已知点已知点P P在在z z

44、轴上，且满足轴上，且满足|OP|=1(O|OP|=1(O为坐标原点为坐标原点) )，则点，则点P P到点到点A(1,1,1)A(1,1,1)的距离为的距离为_._.【解题指南】先确定点【解题指南】先确定点P P的坐标，然后利用两点间的距离公式求的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可解即可. .【规范解答】设点【规范解答】设点P P的坐标为的坐标为(0,0,z)(0,0,z)，由由|OP|=1|OP|=1得得 =|z|=1=|z|=1，故，故z=z=1.1.当当z=1z=1时，点时，点P P的坐标为的坐标为(0,0,1),(0,0,1),当当z=-1z=-1时，点时，点P P的坐标为的坐标为(

45、0,0,-1),(0,0,-1),答案：答案：2z222PA0 10 11 12;222PA0 10 11 16. 26或【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时有两点容易造成失误：在解答本题时有两点容易造成失误：(1)(1)忽视对点忽视对点P P坐标的讨论而丢失一个解；坐标的讨论而丢失一个解；(2)(2)不能分析点不能分析点P P的特点，导致引入的参数较多而无法解题的特点，导致引入的参数较多而无法解题 备备考考建建议议本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这部分本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这部分