国科大XRD作业参考答案

1、X射线晶体学作业参考答案第三章：晶体结构与空间点阵1. 六角晶系的晶面指数一般写成四个(h k -h-k l)，但在衍射的计算和处理软件中，仍然用三个基矢(hkl)。计算出六角晶系的倒格基矢，并写出六角晶系的两个晶面之间的夹角的表达式。已知六角晶系的基矢为解：根据倒格子的定义式，计算可得：任意两个晶面(hkl)和(hkl)的晶面夹角q是：2. 分别以晶格常数为单位和以实际大小写出SrTiO3晶胞中各离子的坐标，并计算SrTiO3的质量密度和电子数密度。解：Sr原子量87.62，电子数38；Ti原子量47.9，电子数22；O原子量15.999，电子数8 （数据取自国际衍射数据中心）。质量密度：

2、电子数密度：3.*为什么位错不能终止于晶体内部？请说明原因。答：作为一维缺陷的位错如果终止在晶体内部，则必然在遭到破坏的方向上产生连带的破坏，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而只能露头于晶体表面（包括晶界），同时Burgers vector的封闭性（守恒）也要求位错不能终止在晶体内部。同时，若它终止于晶体内部，则必与其他位错线相连接，或在晶体内部形成封闭线，形成封闭线的位错称为位错环。4.* 阅读论文以下论文1) S. B. Zhang, S.-H. Wei, and Alex Zunger，Physical Review B, Vol. 63, 075205 (2001)；2) Eun-C

3、heol Lee, Y.-S. Kim, Y.-G. Jin, and K. J. Chang， Physical Review B, Vol. 64, 085120 (2001) 并用V-K 符号写出论文中讲到的p型ZnO中可能存在的各种点缺陷, 简要说明该符号的含义。（供物理、材料专业的有关同学选作）答：， ，III族掺杂：III族掺杂：缺陷联体：第四章：衍射的运动学理论1 设计固熔体消光材料Ca1-xSrxTiO3或Sr1-xCaxVO3，求出其中的掺杂浓度x。选一种固熔体，写出详细的论证与解决步骤。注1：CaTiO3: cubic,3.827 Å； SrTiO3: cubic

4、,3.905 Å；SrVO3: cubic,3.841 Å注2：各原子或离子的散射因子拟合参数参见网络课堂上的上传国际表格，也可通过网络搜索得到；目前O2的参数只能用O的参数代替(x)。解一： 取用Ca1-xSrxTiO3固溶体钙钛矿具有ABO3结构，Sr和Ca占据(0,0,0）；O2-占据(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0)；Ti4+占据(1/2,1/2,1/2)。要让(h k l)=(001)峰消光，即让I|F001|2 =0首先计算其结构散射因子为： (1)其中:=2(2)(001)方向即h=k=0，l=1；将(2)式具体展开可得:F

5、001= (3)要使(001)峰消失只要令(3)式为0即可，为求解该方程，可先利用直通光情况（Q=0）的散射因子（等于核外电子数）作近似计算：36x+(1-x)18-18-10=0x=5/9=0.5556CaTiO3、SrTiO3都是立方钙钛矿结构，晶格常数相近，且容忍因子也都接近于1，所以能够互相溶解且保持立方相结构，根据Vegard定律可得到其近似晶格常数: c=(1-x)×3.827+x×3.905 (4)代入x=5/9,可得 c=3.8703 Å= 0.0166898 (5)原子结构因子的计算公式为: (6)通过查阅International Table

6、of Crystallography可获得利用式(6)和式(5)的结果，编程求解各元素的原子结构因子可得：= 33.13058,= 16.28962,= 7.23750,= 16.78898再将该结果回代到公式(3)中可解得x=0.4594。利用该x值重新计算固熔体的晶格常数c和 C=3.8628 ，= 0.01669264重复上述步骤，得到x=0.4593,基本收敛。所以材料配比为解二： 取用Sr1-xCaxVO3固溶体求解步骤与上面类似：晶胞中各粒子的坐标：Sr2+ (Ca2+): (0, 0, 0)V5+ : (½, ½, ½)O2- : (½,

7、½, 0), (½, 0, ½), (0, ½, ½)a = 3.8135 Å (Average) (or 3.806 Å according to orthorhombic CaVO3)q =2p/a = 1.6476 Å-1(q/4p)2 =0.0171906A(q) = (1-x)fSr + xfCa + fV exp(iq(1/2,1/2,1/2)+ fO exp(iq(0,1/2, ½)+exp(iq(1/2, 0, ½) + exp(iq(1/2,1/2, 0)=(1-x)fSr +

8、 xfCa - fV - fO(1-x) fSr + x fCa - fV - fO = 0(1-x)*18.0874*exp(-1.4907*0.0171906)+8.1373*exp(-12.6963 * 0.0171906) +2.5654*exp(-24.5651*0.0171906)-34.193*exp(0.0138 * 0.0171906) +41.4025 + x*15.6348*exp(0.0074*0.0171906) + 7.9518 * exp(-0.6089*0.0171906) + 8.4372*exp(-10.3116*0.0171906) +0.8537*exp

9、(-25.9905*0.0171906)-14.875-15.6887*exp(-0.679003 *0.0171906) +8.14208*exp(-5.40135*0.0171906) +2.03081*exp(-9.97278*0.0171906)-9.576*exp(0.940464*0.0171906) +1.7143- 4.1916*exp(-12.8573 *0.0171906)+1.63969*exp(-4.17236*0.0171906) +1.52673*exp(-47.0179*0.0171906)-20.307*exp(0.01404*0.0171906) +21.94

10、12 = 0解方程得 x = 0.55用此x值将晶格常数修正为 0.45*3.841+0.55*3.786=3.8108所以 (q/4p)2=0.0172重复上述步骤得到新的x值 x =0.55该值已经收敛，所以最后的化合物为Sr0.45Ca0.55VO3（如果不考虑V3+成分）。2. 推导出双分子气体Br2气的散射强度I与散射矢量Q的关系式，写出详细的论证与解决步骤，并使用任何你喜欢的计算机语言编写程序，画出Br2气的IQ曲线。改变Br2分子的结构（此即化学键长），IQ曲线有何变化？解：每个Br2分子内两个原子之间的散射相干，要振幅叠加；但不同Br2分子之间无固定相位差，非相干，要强度叠加。

11、 结构因子： 其中 为原子散射因子。 散射强度为： O2中氧原子间距|r|固定，但不同氧分子的r的取向不同，并且随时间变化，因此应对r的方向进行平均才得到测量强度r 的取向呈球分布所以，测量强度与Q的关系为:图2-1 I-Q曲线若再考虑极化因子则： ，单位为，所以，设=1.54 Å (Cu K辐射)程序为：r=1.52;Q=0.01:0.04:6; % unit: 2*pi/rc=(Q/(2*r).2;f=3.0485*exp(-13.2771*c)+2.2868*exp(-5.7011*c)+1.5463*exp(-0.3239*c)+0.867*exp(-32.9089*c)+0

12、.2508;Intensity=2*f.2.*(1+sin(Q*r)./(Q*r); %Unit: r02ssita=Q./(2*r)*1.54;%sin(sita)ssita_2=sqrt(1-ssita.2).*2.*ssita;%sin(2sita)fa=(1+(1-2.*ssita.2).2)/2./ssita_2;%计算洛仑兹因子和极化因子Intensity=Intensity.*fa;%semilogy(Q,Intensity)plot(Q,Intensity)xlabel('Q (2pi/r)', 'FontWeight','Bold

13、9;,'FontSize',15)ylabel('Intensity', 'FontWeight','Bold','FontSize',15)改变Br2分子中的原子间距，可以看出散射峰之间的距离随原子间距的增大而减小，这符合正空间的材料结构与其散射花样之间是倒易关系（傅立叶变换）。3. EuTiO3具有理想的立方钙钛矿结构，其晶格常数与SrTiO3的相等，均为3.905 Å，这二者可以组成一个比较理想无应力体系，用于研究复杂结构的氧化物薄膜无应力生长的机理。a) 从课程网站上下载实验数据，使用你喜欢的任何

14、软件画出EuTiO3粉末的XRD谱，然后计算并标出各个衍射峰的指数（写出计算过程和结果）。b) *（选做）写一个电脑程序计算 EuTiO3 的粉末衍射谱，5°<2q <80°, l=1.54 Å (Cu Ka辐射)。可以用任何你喜欢的语言。解决方案中应包括程序代码，两列数据（角度和强度）和相关图线，其中一张图谱是实验数据和计算数据的比较。计算程序需要考虑的因素包括:1) 原子形状因子2) 结构因子3) Debye-Waller 因子4) Compton 散射5) 热漫散射6) 有限尺寸因子7) 多重性因子8) 仪器分辨率关于仪器分辨率，X主光束的发散角

15、为0.12°，探测器的前狭缝处在距样品17cm远处，缝宽为0.1 mm, 因此张角为0.03°, 根据实验测量结果，二者的卷积大约为0.13°。解：(1) 衍射峰的位置由布拉格方程决定，其衍射峰的强度由以上因素决定：立方结构的面间距： c为晶格常数。(100)方向，即h=1,k=l=0。所以 =11.372 deg。其它衍射峰的位置同理可得，结果列表如下：入射角（deg）11.372 16.19219.97023.22626.16228.88133.89836.267指标化(H K L)100110111200210211220300%布拉格方程计算衍射峰的位置,

16、其中第7项不存在,因为 h2+k+l!=7lamda=1.54;%入射x光波长c=3.905; %晶格常数for i=1:1:10d=2*c/sqrt(i); sita(i)=asin(lamda/d);endsita/pi*180 %转化为角度接下来以(100)方向为例计算衍射强度：粉末衍射积累强度的表达式为：各参数的意义为：I：衍射的强度； I0：入射X射线的强度；R0：样品到衍射环的距离；re=e2/4pe0mc2，电子的经典半径；N0：单位体积样品中晶胞的数目；：X射线的波长；Vcr：样品被X射线照射到的面积；F：为结构因子；Mf：多重性因子；：为温度因子即Debye-Waller 因

17、子。(1+cos22qB）/sin2qBcosqB：角因子，也称为洛仑兹-偏振因子。A为吸收因子。现已知晶格常数，和入射X射线波长，再假定样品的体积一定，则可合并一些常数则累计强度为： A 又因为A和都受变化的影响，且两者变化方向相反，虽然数值不完全相等，但大致可抵消1，故用相对强度表示为：1. 考虑原子形状因子：原子结构因子的计算公式为: (6)通过查阅International Table of Crystallography可获得=11.372，=1.54代入上式可得：f_Eu= 56.6490 f_O=7.2621 f_Ti=16.80912. 结构因子：首先计算其结构散射因子为： 其

18、中:=2 (100)方向即h=k=0，l=1；将(2)式具体展开可得:F001= |F100|2 =1061.3。3. 多重性因子 (100)方向的多重性因子是6。这里给出(100)，(110)，(111)，(200)，(210)方向的衍射峰。图3-1衍射峰的衍射谱，从左到右分别为(100)，(110)，(111)，(200)，(210)源程序如下：clear;si=11.372 16.192 19.970 23.226 26.162 ;%各衍射峰的出现位置,这里计算前5个lamda=1.54;%入射X线波长sita=si./180.*pi;%角度转化为弧度Q=sin(sita)./lamda

19、;%计算国际晶体学表中的%计算原子结构因子O_1=4.19160 12.8573 1.63969 4.17236 1.52673 47.0179 -20.307 -0.01404 21.9412; %氧离子-1Ti_4=19.5114 0.17884 8.23473 6.67018 2.01341 -0.29263 1.52080 12.9464 -13.280;%正四价钛离子Eu_2=24.0063 2.27783 19.9504 0.173530 11.8034 11.6096 3.87243 26.5156 1.36389;a=zeros(1,4);b=zeros(1,4);c=0;fo

20、r i=1:4 a(i)=Eu_2(2*i-1); b(i)=Eu_2(2*i);endc=Eu_2(2*i+1);f_Eu=form_factor(a,b,c,Q)for i=1:4 a(i)=Ti_4(2*i-1); b(i)=Ti_4(2*i);endc=Ti_4(2*i+1);f_Ti=form_factor(a,b,c,Q)for i=1:4 a(i)=O_1(2*i-1); b(i)=O_1(2*i);endc=O_1(2*i+1);f_O=form_factor(a,b,c,Q)%原子结构因子fstr=zeros(1,5);jiaodu=(1+cos(2.*sita).2)./s

21、in(sita)./sin(sita)./cos(sita);%角因子fstr(1)=(f_Eu(1)-f_Ti(1)-f_O(1).2;%100面的晶胞结构因子fstr(2)=(f_Eu(2)+f_Ti(2)-f_O(2).2;%110fstr(3)=(f_Eu(3)-f_Ti(3)+3*f_O(3).2;%111fstr(4)=(f_Eu(4)+f_Ti(4)+3*f_O(4).2;%200fstr(5)=(f_Eu(5)-f_Ti(5)-f_O(5).2;%210Mf=6,12,8,6,24;%多重性因子In=fstr.*Mf.*jiaodu;%最后的衍射峰的相对强度stem(2*si,

22、In);xlabel('2theta/(deg)','FontName','Times','FontSize',15,'FontWeight','Bold');ylabel('Intensify','FontName','Times','FontSize',15,'FontWeight','Bold');axis(10,55,0,12e5);4. 判断CsCl结构的X射线衍射谱中，(100)和(200)衍

23、射谱线的强度那个大，为什么？【参考答案】如果是单晶体，则可根据单晶体反射强度公式计算(100)和(200)衍射峰的强度比值是大于1还是小于1来判断这两个衍射峰强度的大小。其中(100)和(200)的多重性因子相等。 查阅CsCl的晶格常数，假设所用X射线是Cu Ka辐射，则可计算上面单晶和多晶的I100和I200的比值。¼¼¼¼¼ 经过计算可知，CsCl的（200）峰强度要高于（100）峰的强度。注意：有的固体物理学教材上的解释高指数晶面的原子面密度小（如方俊鑫、陆栋的1980版固体物理学上册P26：“又由于面上的原子密度大，对射线的散射强，因

24、而密勒指数简单的晶面族，在X射线衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应”）是错误的。5. 为什么实际测到的衍射峰都来自低指数晶面的衍射？【参考答案】首先，无论是衍射仪还是面探测器，其探测的最大衍射角2q是180°，根据布拉格公式可知，即实际探测到的衍射面的晶面间距不能小于波长的一半。因此，高指数hkl的晶面不能满足布拉格方程，也就是说，实际测量到的衍射峰都来自低指数晶面。第二个方面的原因是，高指数晶面的衍射峰出现在高衍射角位置，但原子的散射因子随角度的增加而快速衰减，所以受此影响高角处的衍射峰强度很小，大于一定的角度衍射峰强度就会衰减到难以测量的程度，所以高指数晶面的衍射不出现。其他方

25、面的原因还有Lorentz因子，德拜温度因子也对高角处的衍射峰有限制。6. (选作) 阅读文章Qun Shen, Stefan Kycia, Determination of interfacial strain distribution in quantum-wire structures by synchrotron x-ray scattering, Phys. Rev. B 55, 15791 (1997)，从中体会对特殊的问题如何应用X射线衍射的运动学理论，并根据你所学运动学理论方法，写一篇对该论文的评论(Review)文章，要求讲明：1) 所要解决的问题；2) 所采用的方法的原理，

26、必要时将论文中省去的强度表达式的推导写出来；3) 所获得的结果及其意义；4) 对解决方法的评论。第六章 衍射实验方法问题1：我现在在挪威奥斯陆大学交流学习，7月初就回去了。他们新买了一台衍射仪，但是还没有调试好。用这台仪器测试ZnO/c-sapphire样品，分别在31.14°,34.52°,37.56°,41.73°存在很明显的峰位，其中第二个和第四个峰位应该是ZnO和蓝宝石，但是第一个和第三个不知道来自哪儿，会不会是和光源的单色性有关？可以看出，所用的靶是铜靶，可以推算出，第一个和第三个峰是来自于Cu的K辐射，衍射峰仍然是ZnO（002）和Al2O3

27、（006）。这意味着狭缝卡光源的位置不准，没有靶K卡去。下面是我计算的各个峰位和波长的对应关系：实验：       31.14°,                   34.52°,               

28、0;     37.56°,                   41.73°Cu K1：                         Al2O3 (005) 34.

29、4926                              Al2O3 (006) 41.682                  

30、                      ZnO(002) 34.4775Cu K2：                           Al2O3 (00

31、5) 41.5808                                                &#

32、160; Al2O3 (006) 41.7902                                       ZnO (002) 34.5055Cu K平均     

33、0;                  Al2O3 (005) 34.5224                              &

34、#160;                   Al2O3 (006) 41.7186                            

35、;          ZnO (002) 34.5055Cu K       Al2O3 (005) 31.1                               &