空间向量复习

1、A. x=l, y=lC 13c X=G尸一2.（青岛月考）空间向量及其运算1-若“=（"丄3）, b = （, -2>9）,且 ab.则（）C11B x=9 y=-5C13D. x=-7，v=5如图所示，在平行六面体ABCD-AXBXCXDX中，M为AC与BD的交点，若石劝=G ATbl=b, MA=c,则下列向量中与師/相等的向量是()A尹+前+cB 尹+尹+c3(广州调研)在平行六面体ABCD-Af Bf Cf D9中，已知ZBAD=ZAf AB=ZA, AD=60o, AB = 3, AD=4, AA' =5,则IA产 I=.4. 有下列4个命题： 若p=xa+

2、yb,则P与“、b共面； 若P与“、b共面，则p=xa-yb, 若丽=xMA+yMB,则P、M、A、B共面； 若P、M、A、B共面，则诟=xMA+yMB. 其中真命题的个数是()A1B 2C3D45. A(IQl), 3(446), ¢(223), D(Ioj4,17)这四个点(填共面或不共面)数列有哪些特征？你能想到的等比数列有哪些性质？知识点一等比数列定义及相关基本量【知识梳理】1. 空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量.(2) 相等向量：方向且模的向量.(3) 共线向量定理对空间任意两个向量“，b(bO), “加的充要条件是O推论 如图所示，点P在/上的

3、充要条件是：OP=OA+ta其中“叫直线/的方向向量，rR,在/上取乔=“，则可化为丽= 或OP=( -t)+tOB.(4) 共面向量定理如果两个向量“，不共线，那么向量P与向量“，b共面的充要条件是存在惟一的有序实 数对(x，刃，使p=xa+yb.推论的表达式为济=xMA+yMB或对空间任意一点O有，OP= 或OP=XdA-yOB+zOM,其中 x+y+z=.2. 空间向量基本定理如果三个向量“，b, C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x, , z,使得 P=，把“，b, c叫做空间的一个基底.3. 空间向量的数量积及运算律(1) 数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量“

4、，b,在空间任取一点O,作OA=a, OB=b,则叫做向量“与b的夹角,记作,其范围是,若“，b)=歩则称"与b, 记作"丄. 两向量的数量积已知两个非零向量山则叫做向量"，的数量积，记作,即(2) 空间向量数量积的运算律 结合律:QXI) b=； 交换律：a h=:9 分配律："(Z>+c)=4. 空间向量的坐标表示及应用(1) 数量积的坐标运算/ f U = (Cl 如，“3)，b = (b I, /?2，6)，贝 IJ a b=.(2) 共线与垂直的坐标表示设“ = (d, CIfIy “3)，b = (b, Z?2，b1t)9则ab(bO)

5、o, , ,丄ooa 均为非零向量)(3) 模、夹角和距离公式设 a = (a9 aiy。3), b = (b, b. 5),则 Vi I=ycra =若A(G1，by ci), B(g 加，C2),则 IASI=.【例题赭讲】题型一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为QA的中点，Q 为OB的中点，若AB = OC,求证：PAf丄QM【课堂练习】1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所 成角的余弦值为【例题精讲】题型二 利用向量法判断平行或垂直例2 (合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF

6、相交于AB, ZEBC=90°, 点M、N分别在3D、4E上，且AN=DM(1)求证:MN平面求MN长度的最小值【课堂练习】2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，B=2, AF=I, M 是线段EF的中点求证：(I)AM平面 BDE； (2)AM丄面 BDF.13【例题精讲】题型三 利用向量法解探索性问题例3.(泉州月考)如图，平面PAC丄平WiABC, AABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F9 O 分别为 PA，PB, AC 的中点，AC=16, PA = PC=W (1) 设G是OC的中点，证明FG平面BOE；(2) 在ZVlOB内是否存在一点使

7、FM丄平面BOE?若存在，求出点M到Q4, 03的距 离；若不存在，说明理由【课堂练习】3. 已知在直三棱柱ABC-AlBlCl中，底面是以ZABC为直角的等腰直角三角形，AC=2«, BB = 3心D为AlCl的中点，E为BIC的中点(1) 求直线BE与AiC所成的角的余弦值；(2) 在线段AAi上是否存在点凡 使CF丄平面BxDF2若存在，求出AF；若不存在，请说 明理山A. 45°B. 60ZABC=90°,点1. 下列命题:若4、B、C、D是空间任意四点，贝JW+BC÷cb+PA=O; ®a-b = （t+b是“、b共线的充要条件；若心

8、共线，则“与所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C9若OP=XoA+yOB+zOC（其中小八z R）则P、A、B、C四点共面.其中假命题的个数是（）A. 1B 2C 3D 4 2如图所示，在正方体ABCD-AiBCD中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、 OCl的中点，则直线OM( )A. 既垂直于AG 乂垂直于MNB. 垂直于AC,但不垂直于MNC. 垂直于MN,但不垂直于ACD. 与AC、MN都不垂直3.（绍兴月考）如图所示，在三棱柱ABC-AIBICI中，A丄底面ABC, AB=BC=AAi9E、F分别是棱AB、BBl的中点，则直线EF和BCl所成的角是（）C

9、. 90。D 120o4. 设点 C(2d+1, +l,2)在点 P(2,0,0) 4(1, 一3,2)、B(Sf -1,4)确定的平面上，则"等于 ()A 16B 4C 2D 8方法与技巧1. 向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量 法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法2. 利用坐标法解几何问题的基本步骤是：（1）建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表 示涉及到的几何量.（2）通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系.（3）根据 运算结果解释相关几何问题【课后作业】一、选择题（每小题5分，共25分）1. 下列命

10、题： 若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=O V-b = Vt+b是、共线的充要条件； 若“、共线，则“与方所在直线平行； 对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若OP=XdA+yOB+zOC（其中x、y、ZW R）则P、A、B、C四点共面.其中假命题的个数是（）A1B 2C3D42. 如图所示，在正方体ABCD-AlBlClDi中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、 DlCl的中点，则直线OM（）A. 既垂直于AG 乂垂直于MNB. 垂直于AG但不垂直于MNC. 垂直于MN.但不垂直于ACD. 与AC、MN都不垂直3（绍兴月考）如图所示，在三棱柱ABC-

11、AlBiC 1中，A丄底面ABC, AB=BC=AA ZABC=90% 点E、F分别是棱AB、BBl的中点，则直线EF和BC所成的角是()B. 60°A. 45°C 90°D. 120°4设点 C(2g+1, g+1,2)在点 P(2O0)、A(h 3,2)、B(8, -IA)确定的平面上，则。等于()A. 16B 4C 2D 85. 在直角坐标系中，A(-2,3), B(3, -2),沿X轴把直角坐标系折成120。的二面角，则AB的 长度为()A.2B. 2HC. 32D. 42二、填空题(每小题4分，共12分)6. (信阳模拟)如图所示，已知空间四边

12、形ABCD, F为BC的中点，E为AD的中点，若丽=2(+DC),则久=7. (铜川模拟)在正方体ABCD-AlBlClDl中，给出以下向量表达式:(ATbl-A)AB;(BC-I-BBI)-LhCll®(Ab-AB)-2DD1;(S)(BJ)1+AA)+DD1.其中能够化简为向量丽1的是.(填所有正确的序号)8. (丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=29 E为PB的中点，CoS DP. AE) =¥，若以D4, DC, DP所在直线分别为X, y, Z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为三、解答题(共38分)9. (12分)如图所示，已知ABCr)-AlBICIDl是棱长为3的正方体，点E在Aql上，点F在CCl 上，且 AE=FCl = L(1) 求证：E、B、F、Dl四点共面;2(2) 若点G在BC上,BG=亍点M在上，GM丄BF,垂足为乩 求证：EM丄平面 BCCiBi.10. (12分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形,MD丄平面ABCD, NB丄平面ABCD9 且MD=