全国初中数学联赛试题及答案

1、2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知。+ 6 = 2, 匕/+支心匚=_4,则出?的值为（B ）b a1 1A. 1.B. 1. C. D.2 22 .已知A5C的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最 大值为（B ）A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.3 .方程|1|=（4一2“）（r + 2）的解的个数为（C ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1 /1.4,今有长度分别为1, 2,，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样

2、的“线段组”的组数有A. 5组. B. 7 组.5.如图，菱形ABC。中,NEFG=15。, FG±BC,C. 9组.AB=3 ，则=D. 11 组.DF = l , (ZDAB= 60° ，D )C. 2V3-1.n”16.己知一 十X1 1iy z + x1 1-+Z x+y12 3 4上，则± +巳+2的值为 (C )4x y zFC. 2. D.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1 .在回(?中，已知4 = 2NA, 6c = 2, A5 = 2 + 2JJ,则 NA= 15° .2 .二次函数y = /+bx + c的图象的顶点为O,与

3、x轴正方向从左至右依次交于A, 8两点，与），轴正方向交于C点，若ABO和O8C均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b + 2c= 23 .能使2"+256是完全平方数的正整数的值为4 如 图， 已 知 AB 是。的直径，弦CO与A3交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点 F,如果0E = 3cE, AC = 8j5,。为四的中点，则AB= 24 .4第二试（A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a,b,c满足a-b + c = 3 ,方程x2+ax+l = 0和 x2 + bx+c = 0有一个相同的实根，方程x2+ x+a = 0和x2 + cx + b = 0也

4、有一个相同的实根.求4,4C的值.解依次将题设中所给的四个方程编号为，.可解得用=- a-b设是方程和方程的一个相同的实根，则：，I 一两式相减， 汇 + bxl + c = 0,可解得x,= TC-1设厂是方程和方程的一个相同的实根，则1 +/+： = °'两式相减， x； + cx2 + b = Qy所以 xkx2 =1.又方程的两根之积等于1,于是七也是方程的根，则后+。甚+1 = 0。又 X；+X2+ = 0，两式相减，得（。一 1）工2 =若4 = 1,则方程无实根，所以。#1,故公=1.于是。=-2,6 +。= 一1.又a b + c = 3,解得 6 = 3,c

5、 = 2.二.（本题满分25分）如图，在四边形A8CO中，已知 ZBAD = 60°, 48 = 120。，对角线AC,BD交于点S ，且DS = 2SB ，尸为AC的中点.求证：（1） ZPBD= 30°； （2） AD=DC.证明（1）由已知得NADC = 90。，从而A,6,C,O四点共圆，4C为直径，尸为该圆的圆心.作PMLBD于点M ,知M 为BD的中点，所以ZBPM = -ZBPD = ZA = 60° ，从而 2NP6M = 30。.(2)作SN上BP于点N ,则SN =S6. 2又 DS = 2SB,DM = MB=3BD,：.MS = DS-DM

6、 =2SB-SB = -SB = SN, 22 RtA PMSRtA PNS , ZMPS=ZNPS = 3QQ,又PA=PB,所以NPA6 =NNPS = 15。，故NDAC= 45。= NDC4,所以AO=OC. 2三.（本题满分25分）己知也,p为正整数，团.设4（一见0）, 6（小0）, COp）, 0为坐标 原点.若4c8 = 90。，且OA2 + Q82 +OC? =3(3 +Q5 + 0C).(1)证明：m + n= p + 3；(2)求图象经过A,6,C三点的二次函数的解析式.解 (1)因为NA8 = 90。，OC_L A6,所以QA O6 = OC2,即，加=p，由 OV +

7、 05? + OC? = 3(04 + OB + OC),得m？ +1 + p? = 3(加 + + p).y,m2 +n2 + p2 =(m + n+ p)2 - 2(inn + np + mp) = (in + n + p)2 - 2(p2 + np + mp)=(in + n+ p) - 2p(in + n+ p) = (77? + n + p)(m + - p),从而有? + "-p = 3,即机+ = p + 3.（2）由zn = p2, m + = p + 3知/w,是关于%的一元二次方程x2 -(p + 3)x+ p2 =0的两个不相等的正整数根，从而 = （.+ 3）

8、一4P* >0,解得1<<3。又p为正整数，故p = l或p = 2.当p = l时，方程为4x+l = 0,没有整数解.当p = 2时，方程为工2-51+4 = 0,两根为m=1, = 4.综合知：= 1, = 4, p = 2.设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y = /:（% +1）（%-4）,将点C（0,2）的坐标代入得2 = %xlx（-4）,解得A=一；.11?所以，图象经过48,C三点的二次函数的解析式为丁 = 一5。+1）（1-4） = 一5/+21+2.第二试（B）一.（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二.（本题满分25分）如图，在

9、四边形ABCO中，己知 440 = 60。，ZABC = 9Q0 ,48 = 120。,对角线 AC,BD交于点S ,且 DS = 2SB .求证：AD=DC.1<证明由已知得NAZ）C = 90。，从而46,C,O四点共圆，AC为直径./ /设尸为AC的中点，则尸为四边形A8CO的外接圆的圆心./作PMVBD于点M ,则M为BD的中点，所以ZBPM = -ZBPD = ZA = 60° ,从而 2ZPBM = 30。.作 SN_L8 产于点 N,则 SN =S6.又 DS = 2SB、DM = MB = =BD,2 23 1 MS = DS DM = 2SB SB = -SB

10、 = SN,22 RtA PMSRtA PNS , ZMPS= ZNPS = 30°,又PA=PB,所以NPA6 = L/NPS = 15。，所以“AC= 45。= NDC4,所以AO=£>C.2三.(本题满分25分)己知也,p为正整数，设4T几0), 6(20), COp), O为坐标原点.若 NAC3 = 90。，且。42 + 062+0。2 = 3(。4 + 03 + 00.求图象经过 A,6,C 三点的二 次函数的解析式.解 因为NAC3 = 90。，OC1AB，所以。4 O6 = OC, tnn = p2.由 OV + OC2 = 3(04 + OB + O

11、C),得m？ +1 + p? = 3(6 + + p).Xm2 +n2 + p2 =(m + n+ p)2 -2(mn + np + mp) = (m + n+ p)2 -2(p2 + np + mp)=(in + n + p)2 - 2P(m + n+ p) = (tn + n + p)(m + n- p),从而有? + -p = 3,即川+ = p + 3.又加=p2,故肛，是关于x的一元二次方程x2 -(p + 3)x+ p2 = 0的两个不相等的正整数根，从而 = (.+ 3)一4P* >0,解得1<<3。又p为正整数，故p = l或p = 2.当p = l时，方程为

12、4x+l = 0,没有整数解.当p = 2时，方程为工2-51+4 = 0,两根为m=1, = 4.综合知：= 1, = 4, p = 2.设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y = /:(% +1)(%-4),将点C(0,2)的坐标代入得2 = %xlx(-4),解得A=一；.113所以，图象经过48,C三点的二次函数的解析式为了 = 一万。+1)(1-4) = 一/+21+2.第二试（c）1 .（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.2 .（本题满分25分）如图，已知 P 为锐角 ABC 内一点， 过P分别作6cAe的垂线，垂足分别为O,瓦F，6M为NA5C的平分线，MP

13、的延长线交A6于点N.如果PD=PE+PF,求证：CN是NAC6的平分线.证明1 /1如图1,作MM】JL 6c于点于点M?, MV】J_5c于点N-NN2LAC于点、N2.没 NP = XNM-： NN/PDHMM, A N.D =.若NN、MM,如图2,作NH上MM1,分别交尸0于点，则 NP%sAPH NPNMH ,：= %, PH, = AMH , MH NM PD = PH】+= AMH + NN1 =MMMNN” NN, =+（1-九）NN若 NN=MM,则 PD = NN=MM= AMM +（1-A）NN同理可证PD =+（1-九）NN-V PE II NN., .IPE _ PM _ MW- 一,:P