人教版同步教参七年级数学-找规律、定义新运算和程序运算(宋丽清)

1、有理数第 3 节 找规律、定义新运算、程序运算【知识梳理】1 .找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论。有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件。一般有下列几个类型：(1) 一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系。(2) 一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系。(3) 图形 (图标) 规律： 观察前几个图形， 确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号 n 之间的关系。(4) 图形变换的规律： 找准循环周期内图形变换的特点， 然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和

2、余数。(5) 数形结合的规律：观察前n 项(一般前3 项)及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。常见的数列规律：(1) 1,3,5,7,9,，2n 1 ( n 为正整数)；(2) 2,4,6,8,10,，2n (n 为正整数)； 2,4,8,16,32,，2n ( n 为正整数)；(4) 2,5,10,17,26，n2 1( n 为正整数)； 0,3,8,15,24,，n2 1 (n 为正整数)；(6) 2,6,12,20,，n(n 1) (n 为正整数)；x,x,x,x,x,X,，(1)nx (n 为正整数)；(8) x,x,x,x,x,x, ,(1)n1x (n 为正整数)；(9) 特

3、殊数列：斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数的和；三角形数：1,3,6,10,15,21.n(n 1), , 022 .定义新运算 (1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按基本运算过程、运算规律进行运算。(2)注意事项：新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序;每个新定义的运算符号只能在本题中使用。3 .程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题。【诊断自测】1、新定义运算a*b=a (a-b),则3*4的结果是()A. 12 B. 4C. 3D. - 3 2、根据

4、如图中箭头的指向规律，从 2013到2014再到2015,箭头的方向是以下图示中的3、观察下列各数:1,，按你发现的规律计算这列数的第6个数为()A.B.D.B.4、如图是一个程序运算，若输入的数为-5,则输出为输入,T (+41 TI T (-5) T【考点突破】 类型一：找规律例1、将一些相同的按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的的个数，若第n个“龟图”中有245个，则n=()QO O 0oA. 14B. 15C. 16D. 17答案：C解析：方法一：解：第一个图形有：5个。，第二个图形有：2X 1+5=7个。，第三个图形有：3X2+5=11个。，第四个图形有：4X 3+5=17

5、个由此可得第n个图形有：n （n-1） +5个。，则可得方程：n （n- 1） +5=245解得：m=16, n2= - 15 （舍去）.方法二：设 s=an2+bn+c,a+b+ e=54a42 b=7 ,9a43b+c=ll（a=l卜- 1,s=n2- n+5,把s=245代入，.n2- n+5=245,m= 15 （舍去），n2=16,n=16.故选：C.10个例2、观察下列一组图形中点的个数，其中第 1个图中共有4个点，第2个图中共有点，第3个图中共有19个点，按此规律第 5个图中共有点的个数是（）答案：B 方法一：解：第1个图中共有1+1 X 3=4个点，第2个图中共有1 + 1X3

6、+2X3=10个点，第3个图中共有 1+1X3+2X3+3X3=19个点,第n个图有1+1 x 3+2X 3+3X3+-+3n个点.所以第5个图中共有点的个数是1+1X3+2X3+3X3+4X3+5X3=46.方法n=1, s=4; n=2, s=10; n=3, s=19,设 s=an2+bn+c,a+b+e=442Uc=109a43b+c=19s=n2+-n+1,把 n=5 代入, 2 2s=46.1215A A日j， Eq， a 5，a5=19+12+15=46 .故选：B.例3、如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）

7、个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律.则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）A. 20B. 27答案：B解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为 1的正方形有2+3+4=9个,按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+ （n+1） 应叱辽个，2则第（6）个图形中面积为 1的正方形的个数为 2+3+4+5+6+7=27个.故选：B.A2比图A多出2例4、如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图 个“树枝”，图 A3比图A2多出4个“树枝”，图

8、 A4比图A3多出8个“树枝”，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）AiA. 32B. 56C. 60D. 64答案：C解析：图A2比图A多出2个“树枝”，图 A3比图A2多出4个“树枝”，图 A4比图A多出8个“树枝”，故选C.A6比图A2多出“树枝” + +8+16+32=60个，例5、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第个图形中一共有6个小圆圈，第个图形中一共有9个小圆圈，第个图形中一共有12个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为(Xo oo cWiroo Odem A. 21B. 24C. 27D. 30答案：B 解析：观察图形得：第1个图形有3+3X

9、 1=6个圆圈，第2个图形有3+3X 2=9个圆圈，第3个图形有3+3X3=12个圆圈,第n个图形有3+3n=3 (n+1)个圆圈，当 n=7 时，3X ( 7+1) =24,故选B.例6、下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图中有2个黑色正方形,图中有5个黑色正方形，图中有 8个黑色正方形，图中有 11个黑色正方形，依 次规律，图中黑色正方形的个数是答案：B解析：观察图形发现：图中有2个黑色正方形，图中有2+3X (2-1) =5个黑色正方形，图中有2+3X (3T) =8个黑色正方形，图中有2+3X (4-1) =11个黑色正方形,图n中有2+3（n-1） =3n - 1个

10、黑色的正方形，当 n=10 时，2+3X （10-1） =29,故选B.例7、观察下列各数：1,且，二，也，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A.2531B.3635D.答案：C解析：观察该组数发现:1615=7第n个数为当n=6时, 故选C.例8、一组数1, 1 , 2, x, 5, y满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A. 8B. 9C. 13D. 15答案：A解析：.每个数都等于它前面的两个数之和，.x=1+2=3,y=x+5=3+5=8,即这组数中y表示的数为8.故选：A.例9、任意大于1的正整数m的三次哥均可“分裂”成 m个连续奇

11、数的和，如：23=3+5, 33=7+9+11, 43=13+15+17+19,按此规律，若 m3分裂后其中有一个奇数是2015,则m的值是（）A. 46B. 45C. 44D. 43答案：B解析：底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4 个奇数,m3分裂成m个奇数,所以，至ij前的奇数的个数为：2+3+4+m="lm- 1),2-2n+1=2015, n=1007,奇数2015是从3开始的第1007个奇数，一 1： C /一1 =989. 一 1 =1034 -909, -1034,22第1007个奇数是底数为 45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即

12、m=45.故选B.例10、从1开始得到如下的一列数：1, 2, 4, 8, 16, 22, 24, 28,其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为()A. 21B. 22C. 23 D. 99答案：A解析：由题意知：1, 2, 4, 8, 16, 22, 24, 28,由此可知，每4个数一组，后面依次为 36, 42, 44, 48, 56, 62, 64, 68, 76, 82, 84, 88, 96,故小于100的个数为：21个，故选A.类型二：定义新运算例 11、定义一种新运算：xXy= |x| - y,如果(-3)(-5) =| - 3| - ( -

13、5) =3+5=8, 按照上述定义计算下面各式：(1) (- 4)派7; ( 2) 9(-15)答案：24.解析：(1) (4)7=| -4| 7-3;(2) 9(-15) =|9| - (-15) =24.例12、定义新运算.a?b=a2-|b| ,如3? ( - 2) =32- | - 2|=9 -2=7,计算下列各式.(1) ( 2) ?3(2) (- 3) ? (0? (- 1)答案：(1) 1. (2) 8.解析：(1)根据题中的新定义得：(-2) ?3=4- 3=1; 根据题中的新定义得：0? (-1) =0- 1 = -1,贝U ( - 3) ? (0? (T) ) = ( -

14、3) ? (T) =9T=8.例13、已知x、y为有理数，若定义一种新的运算“”，满足x*y=xy+2.(1)求3*6的值；(2)求 2*6* (- 3)的值；(3)求-3* ( 3-8) (- 5-2)答案：(1) 20; ( 2) 50; (3) 117.解析：(1) xy=xy +2,-36=3X 6+2=20;(2) ,r6=2X 6+2=14,-2*6* (- 3) =14* (- 3) =14X (- 3) +2=-50;(3) 3 ( 38) =- 3X ( 5) +2=17,- 3 (3-8) (- 5-2) =17* ( - 5-2) =17* ( - 7) =17X (-

15、7) +2=- 117.例14、20162017学年度七年级小莉同学在学习完第二章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣.为 庆祝“国庆节”，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“葭，规则如下：a b=a x b+2 x a.求(2) ® ( +3)的值.答案：-10.解析：根据题中的新定义得：(-2)(+3) =-6-4=- 10.例 15、用定义一种新运算：a ® b= (a+b) - (a-b),比如：5® 4= (5+4) - (5- 4)=8(1)求：2® (- 3);(2)求：(3 4) 5.答案：(1)-6; (2) 10.解析：(1) 2(-3

16、)=(2-3) - ( 2+3)=1 5=-6;(2) ( 3® 4) ® 5=85=(8+5) - (8-5)=13- 3=10.例16、用“*”定义新运算：对于任意有理数a, b都有a*b=ab2-1.(1)求 3* (-2)的值；(2)当x为有理数时.化简(x*1 ) - (x+1).答案：(1) 11; (2) -2 .解析：(1) ,对于任意有理数 a, b都有a*b=ab2 - 1,.-3* (- 2)=3X ( - 2) - 1=3 X 4 1=12- 1=11.(2) ;对于任意有理数 a, b都有a*b=ab2- 1,( x*1 ) - ( x+1)=(x

17、 X 12 T) - ( x+1)=(x T) - ( x+1)=x 1 x 1=-2.类型三：程序运算例17、如图是一个程序运算，若输入的x为-5,则车出y的结果是多少?| 输K | - 4 * - C-3 ) >| x (-S> | 输出y |答案：-10解析：将 x=-5 代入得：(-5+4) - ( - 3) X (- 5)=(-1+3) X (- 5)=2X (- 5)= - 10)则输出的结果为-10.例18、根据输入的有理数，按图中程序计算，并把输出的结果填入表内.提示：要有适当 的运算过程输出输入6解析：把x=6代入计算程序中得：(6-2) X (- 3)10) =

18、 - 12+10=-2< - 1 ,把x=-2代入计算程序中得：(-2-2) X (- 3)10) =12+10=22 >- 1 ,输出结果为22;把 x=1 代入计算程序中得：(1 - 2) X ( - 3) - (- 10) =3+10=13>1,输出结果为13,故答案为：22; 13例19、如图是数值运算程序:当分别输入x=6及x=a时，输出的结果分别是什么?答案：-6;解析：将x=6代入运算程序得：6X (- 将x=a代入运算程序得：- 2a-2.3例20、在图中输入-1,按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果.

19、答案：3解析：输入-1,- 1+4=3, 3- (-3) =6, 6-5=1 ,.K2,，重新输入1, .1+4=5, 5- ( -3) =8, 8- 5=3, ,3>2,故输出的结果为3.例21、如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：输入?i 4M -（-算）其（§ *, ,靠_输入J |一匚|箝果是否大于51 I -75）当输入的x为-16时，最后输出的结果 y是多少？（写出计算过程）答案：.解析：把 x=- 16 代入得：-16+4 - （-32） X （二-±） + （- 0.5） =-3X （-1）X(一2) = 1<5,把

20、x= - 1 代入得：1+4 ( 32) X (把 x=4 代入得：4+4 ( 32) X (L) + (- 0.5) =12X_Lx2=4v5,26+ (- 0.5) =17XX2=1L>5,63则输出的结果y是工L3【易错精选】1、下列图形都是由同样大小的正方形和正三角形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有5个正多边形，第 个图形中一共有13个正多边形，第 个图形中一共有26个正2、观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+-+8n (n是正整数)的结果为()A. (2n+1) 2 B. 1+8n C. 1+8 (nT) D. 4n2+4n3、如图，分别

21、用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,【精华提炼】1、归纳猜想在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.2、归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径；从数与式的特征观察；从几何图形的结构观察；通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况【本节训练】训练【1】如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中

22、y与n之间的关系是（）y=2n+n+1A. y=2n+1 B. y=2n+nC.y=2n+1+n D.训练【2】按一定的规律排列的一列数依次为：律排列下去，这列数中的第 7个数是（）A. - B. C. - D.45404650训练【3】观察下面一组数：-1,2, -3, 4,L 1 J_ J_ J_ J_2 3 10 15 2635按此规-5, 6, -7,，将这组数排成如图的形式,按照如图规律排下去，则第10行中从左边数第9个数是（）第一行4第二行2-3 4第三行-5 6 J 9 -9第四行 10 -11 12 -13 1+ 45 10A. - 90 B. 90C. - 91 D. 91训

23、练【4】定义新运算：x*y= 求a*b x b* （ - a）.训练【5】定义新运算，规定运算 *是a*b=ab - a+b,求（-3） *4的值.训练【6】如图是一个数值运算程序，当输出的数为 18时，输入的数为.基础巩固1、观察下列数据：0, 3, 8, 15, 24它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 201个数据是（）A. 40400B. 40040C. 4040 D. 404,则这列数的第6个数是（2、给定一列按规律排列的数：2 5 1017A. - - B. C. - D.上3735311393、如图所示的三角形数垒,a、b是某行的前两个数，当 a=7时，b=（）A. 20B.

24、21C. 22D. 234、将正奇数按下表排成5歹U:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根据上面规律，2007应在（）A. 125 行，3 歹U B. 125 行，2 歹U C. 251 行，2 歹U D. 251 行，5 列5、下列数据具有一定的排列规律：第一行1第二行23第三行 456第四行 7 S 910若整数2016位于第a行，从左数第b个数，则a+b的值是（）A. 63B. 126 C. 2015 D , 10026、将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则 2009应在（）A. A处B. B处 C.

25、 C处D. D处7、对于数a、b定义新运算，规定： aOb= (a-3) x ( b+2),求6。( 4。3).8、现定义一种新运算： ,对于任意整数 a、b,有ab=a+b- 1,求4 (6*8) (35) 的值.9、定义一种新运算：a*b=_La-Lb.32(1)求 6* ( - 6)的值；(2)解方程 2* (1*x) =1*x.10、现定义一种新运算： a? b=ab+a-b,如：1? 3=1 x 3+1 - 3=1.求(-5) ? (-7)的值.11、定义一种新运算“ ？”，其规则是a?b=a+k.根据定义解方程：-1?x3.2412、对于有理数 x, y定义一种新的运算* : x*

26、y=ax+by ,其中a, b为常数，已知 3*4=10, 2*8=28,根据信息，求a, b的值.巅峰突破1、如图是一个数值运算程序.当输入x的值为3时，则输出的结果 y=.若输入x的值与输出的结果 y的值互为相反数，求输入的 x的值.2、如图是一个计算机中的计算程序，你能理解它的运算顺序吗？请你写出所有运算步骤:(1)若输入数据为0,你得到的输出数据是什么？(2)若输入数据为5,你得到的输出数据是什么？3、小丽在电脑上设计了一个有理数运算程序：先输入a,力口*键，再输入b,就可以得到运算：a*b= (a-2b) + ( 2a - b)(1)求(-3) * (-2)的值;(2)在运算(-3)

27、 * ( - 6)时，屏幕上显示“该操作无法进行”，请问是哪里出了错?4、毕达哥拉斯学派对“数“与“形”的巧妙结合作了如下研究:名称及图形几何点数层数第一层几何点数第二层几何点数第三层几何点数第六层几何点数第n层几何点数请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数.5、如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm.(1) 4节链条长 cm；(2) n节链条长 cm；(3)如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少?2. Sen._1节链条2节链条叱节睚条6、某餐厅中，一张桌子可坐 6人，有以下两种摆放方式

28、:(1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人?(2) 一天中午餐厅要接待 98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌为什么?7、如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字(1)摆第一个图形用枚围棋子，摆第二个图形用枚围棋子，摆第三个图形用 枚 围棋子.(2)按照这种方式摆下去，摆第 n个图形用 枚围棋子.(3)当摆放502枚围棋子时是第几个“山”字?参考答案【诊断自测】1、解：根据题意得：3*4=3 X (3 4) =- 3,故选D.2、解：由图可知，每 4个数为一个循环组依次循环，2012 + 4=503,即0到2011共201

29、2个数，构成前面503个循环，.2012是第504个循环的第1个数，2013是第504个循环组的第2个数,n.从2013到2014再到2015,箭头的方向是故选：D.4、解：依题意有5+4 (3) X (5) =5+4+3 X ( 5)=2X (- 5)=-10 .故答案为：-10.【易错精选】1、解：观察图形知：第一个图形有5=12+4X 1个正多边形,第二个有 13=12+22+4X2 个，第三个图形有 26=1 2+22+32+4X 3个，故第 个图形有 12+22+32+42+52+62+4X 6=115 个，故选C.2、解：图(1) : 1+8=9= (2X1 + 1) 2;图(2)

30、 : 1+8+16=25= (2X2+1) 2；图(3) : 1+8+16+24=49= (3X2+1) 2;那么图(n) : 1+8+16+24+- +8n= (2n+1) 2.故选A .3、解：设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形 y个.由题意得,2+14-5+1=2016-x - y二 6解得：|“一”2.ly=286故选D.【本节训练】训练【1】解析：观察可知：左边三角形的数字规律为：1, 2,，n,右边三角形的数字规律为：2, 22,，2n,下边三角形的数字规律为：1+2, 2+22,，n+2n,.,.y=2n+n.故选B.训练【2】解析：分子的规律：分子是常数1;分母的规律：第1

31、个数的分母为：12+1=2,第2个数的分母为：22-1=3,第3个数的分母为：32+1=10,第4个数的分母为：42-1=15,第5个数的分母为：52+1=26,第6个数的分母为：62 - 1=35,第7个数的分母为：72+1=50,第奇数项的分母为：n2+1,第偶数项的分母为：n2-1,所以第7个数是.50故选D.训练【3】解析：由题意可得：9X9=81, 81+9=90,故第10行从左边第9个数是90.故选：B.训练【4】解：= x*y=式+2了 k - ya*b x b* ( - a)a+2b 2a|=-x -3 - b b+aab - 2 a2+2b'- 4ab=2-T1a b

32、训练【5】解：(-3) *4= (-3) X 4- (-3) +4=12+3+4二一 5.训练【6】解：若输入的x是偶数时，有 x+1=18,解得：x=34 ,若输入的x是奇数时，有3x-3=18,解得：x=7,故答案为：7或34.基础巩固1、解：0=12 1,3=22- 1,8=32- 1，15=42- 1 ,24=52- 1，第 201 个数据是：2012 - 1=40400.故选A .2、解：.一列按规律排列的数：二，二，L251017，这列数的第5个数是：一二工， 国商这列数的第6个数是：一二故选：A.3、解：根据分析，可得第 n行的第一个数是n,所以当a=7时，a、b是第7行的前两个

33、数； 因为 4-2=2, 7-4=3, 11-7=4,所以第6行的第2个数是：11+5=16,所以第7行的第2个数是：b=16+6=22.故选：C.4、解：因为（2007+1） + 2 =2008+2 =1004所以2007是第1004个奇数；因为 1004+4=251 ,所以2007在第251行；又因为奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列,所以2007应在第5列，综上，可得2007应在第251行第5列.故选：D.5、解：设第n行中最大的数为an （n为正整数），观察，发现规律：a1=1, a2=1+2=3, a3=1+2+3=6,，. c c an=1 +2+-+n=.2<2

34、016,4 an<2016,即 I'"1' 2解得：-64<n<63.1<n<63,即整数2016为63行的最后一个数.a+b=63+63=126.故选B.6、解：由图可知，5、6、7、8所占的位置正好分别是 1、2、3、4的位置,也就是以4个数为一组循环，2009-4=502 - I ,.2009应在1的位置，也就是在 D处.故选D .7、解：40 3= (43) X ( 3+2) =1X 5=5, .60 ( 403) =605= (6- 3) (5+2) =3X 7=21 .8 解：ab=a+b - 1(6*8) (3*5)=4 (

35、6+8- 1) (3+5- 1)=4 (13*7)=4 (13+7- 1)=4 19=4+19- 1=22.9、解：(1) 6* (- 6)=X6-卦(-6)=2+3二5;(2) 1*x= -x,3 2贝 U 2* (1*x) =1*x 变形为，X2工(-i-Xx)x,32 3 23 2解得x二-菖.10、解：a? b=ab+a- b,- 5) ? ( - 7) = ( - 5) ? ( - 7) - 5+7=35 - 5+7=37 .11、解：由题意得：-,24去分母得:2 ( - 1+x) =x,去括号得：-2+2x=x,移项合并得：x=2.12、解：根据题中的新定义得：Pa44b=1°® , =2g X2 -得：4a= - 8,即 a=- 2,把a= 2代入得：b=4.巅峰突破1、解：x=3 时，y=12X3=1 6= 5;故答案为：-5.x>0 时，1-2x=-x,解得x=1 ,x< 0 时，=- x,2解得x=一工-,3综上所述，x=1或x= .32、解：(1)根据题意得：当 x=0 时，x (+1) + ( 2) =1+ ( 2)为；(2)当 x=5 时，x (+1) + ( 2) =4+ ( 2) = 2,当 x= 2 时，x - (+1) + (2) =- 3+ (