化工设备基础第4章弯曲

1、第四章第四章 弯曲弯曲 主要内容主要内容: :1 1. .弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 2.2.剪力和弯矩剪力和弯矩 3 3. .剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4.4.纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 5.5.惯性矩的计算惯性矩的计算 6.6.弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 7.7.梁弯曲时的切应力梁弯曲时的切应力 8.8.弯曲变形弯曲变形9.9.提高提高梁弯曲强度和刚度的措施梁弯曲强度和刚度的措施 第一节第一节 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例工工 程程 实实 例例车间桁吊大梁车间桁吊大梁镗刀杆镗刀杆工工 程程 实实 例例车削工件车削工件工工 程程 实实 例

2、例工工 程程 实实 例例火车轮轴火车轮轴工工 程程 实实 例例力偶力偶力偶矩矢：力偶矩矢： 与杆件的轴线垂直。与杆件的轴线垂直。弯曲变形的弯曲变形的受力特点受力特点外力的作用线与杆件的轴外力的作用线与杆件的轴线垂直；线垂直；力偶矩矢：力偶矩矢： 与杆件的轴线垂直。与杆件的轴线垂直。以弯曲变形为主的杆件。以弯曲变形为主的杆件。弯曲变形的弯曲变形的变形特点变形特点轴线由直线变为曲线；轴线由直线变为曲线；梁：梁：对称弯曲对称弯曲条件：条件：所有的载荷作用在纵向对称面内；所有的载荷作用在纵向对称面内；结果：结果：梁的轴线梁的轴线 是纵向对称面内的一条是纵向对称面内的一条平面曲线。平面曲线。对称弯曲的条

3、件对称弯曲的条件具有纵向对称面；具有纵向对称面；外力都作用在纵向对称面内；外力都作用在纵向对称面内；梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。常见构件的纵向对称面常见构件的纵向对称面形心主惯性轴形心主惯性轴集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶受弯杆的简化受弯杆的简化1、梁本身的简化、梁本身的简化以轴线代替；以轴线代替；2、载荷的简化、载荷的简化集中载荷与均布载荷实例集中载荷与均布载荷实例分布载荷实例分布载荷实例线形分布载荷；线形分布载荷；力偶实例力偶实例力偶矩矢：力偶矩矢： 与杆件的轴线垂直。与杆件的轴线垂直。固定铰支座固定铰支座3、支座简化、支座简化

4、活动铰支座活动铰支座支座简化支座简化固定端固定端支座简化支座简化简支梁：简支梁：一端为活动铰一端为活动铰链支座，另一端为固定链支座，另一端为固定铰链支座。铰链支座。梁的类型梁的类型外伸梁：外伸梁：一端或两端伸一端或两端伸出支座之外的简支梁。出支座之外的简支梁。悬臂梁：悬臂梁：一端为固定端，一端为固定端，另一端为自由端的梁。另一端为自由端的梁。4、梁的基本形式、梁的基本形式简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁梁的基本形式梁的基本形式镗缸轴，弯曲（悬臂梁）加扭转镗缸轴，弯曲（悬臂梁）加扭转塔设备受风载荷，地基固定，塔设备受风载荷，地基固定，简化为悬臂梁简化为悬臂梁钢轨约束钢轨约束外伸梁外伸梁梁的基本形式梁的基

5、本形式卧式容器，内部充满介质和零部件，简化为外伸梁卧式容器，内部充满介质和零部件，简化为外伸梁梁的其他横截面形式梁的其他横截面形式简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁静定梁的基本形式静定梁的基本形式有内力，约束反力，静力学平衡方程解决有内力，约束反力，静力学平衡方程解决FAyFNFSM第二节第二节 剪力和弯矩剪力和弯矩FAyFBy一、弯曲变形时横截面的内力一、弯曲变形时横截面的内力FByMFNFS与横截面相切的分布内力系的合力；与横截面相切的分布内力系的合力；与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。 FS剪力：剪力： M弯矩：弯矩：/AA（由（由外力外力引起）引

6、起）（外力和外力偶都能外力和外力偶都能引起）引起）二、内力的大小二、内力的大小FSMFAy 0yF1ASFFFyFByMFS 0yFS23ByFFFF1、剪力大小、剪力大小= 截面一侧所有外力的代数和。截面一侧所有外力的代数和。内力的大小内力的大小FSMFAyFByMFS2、弯矩大小、弯矩大小= 截面一侧所有外力对截面一侧所有外力对 0cM)(1axFxFMAy 0cM)()()(21FMFMFMMCCByC求内力的截面形心之矩的求内力的截面形心之矩的代数和。代数和。FAyFSMFByFSM剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力剪力

7、为正；为正； 左上左上三、内力的符号三、内力的符号1、剪力的符号约定、剪力的符号约定实用的方向约定实用的方向约定右下右下的外力产生正剪力；的外力产生正剪力；使梁呈使梁呈下凸时下凸时弯矩为弯矩为正；正；+_2、弯矩的符号约定、弯矩的符号约定 左顺左顺弯矩符号的实用约定弯矩符号的实用约定FAyFSMFByFSM所有向上所有向上的外力的外力 产生正弯矩；产生正弯矩；右逆的右逆的外力偶产生正弯矩；外力偶产生正弯矩；例例1 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。3mq=12kN/m2112BF=8kN1.5m1.5mAFAFBF=8kNFAS1F1MFBS2

8、F2Mq=12kN/m解：解： 1、求支反力、求支反力02335 . 460qFFMABkN15AF030yqFFFFBAkN29BF2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力kN7A1SFFFmkN5 .225 . 1A1 FM3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力kN73B2SFqFmkN332333B2qFM1. 1. 确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2. 用截面法求内力FSMEFFFAyS22223aFaFMAyE3F23FaFAy第三节第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图

9、一、内力方程：一、内力方程：任意截面处的内力表示为截面位置的函数；任意截面处的内力表示为截面位置的函数；梁截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化。梁截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化。利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁危险截面的位置最大弯矩，以及梁危险截面的位置是梁的强度和刚度计算中的重要环节是梁的强度和刚度计算中的重要环节FCabl写内力方程，并画内力写内力方程，并画内力图图例例2、简支梁受集中载荷作用、简支梁受集中载荷作用(1)(1)确定约束力确定约束力FBYFAY0AMF FAyAyFb/l0BMF FByByFa

10、/lx1 axFxFAyS110 axxFxMAy1110AC段段FAYx1x2l-x2FBYCB段段 lxaFxFByS22 lxaxlFxMBy222(2)(2)写内力方程写内力方程外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面控制截面：控制截面：集中力作用点、集中力作用点、 外力偶作用面、外力偶作用面、分布载荷的起点、分布载荷的起点、终点等。终点等。FSxMxAC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/(3). (3). 作内力图作内力图FC危险截面位置危险截面位置集中力作用点的左或右侧截面集中力作用点的左或右侧截面

11、a 建立坐标系建立坐标系b 确定控制截面确定控制截面c 作图作图lFb/lFa/lFab/仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点写内力方程时注意事项写内力方程时注意事项3 3、x x截面处必须是任意截面；截面处必须是任意截面；4 4、x x截面处必须是远离外力的作用点；截面处必须是远离外力的作用点；5 5、写出、写出x x截面处的内力就是内力方程，截面处的内力就是内力方程，同时确定定义域。同时确定定义域。1 1、必须、必须分段分段列写梁的剪力方程和弯矩方程；列写梁的剪力方程和弯矩方程；2 2、各段的分界点为各段梁的、各段的分界点为各段梁的控制截面控制截面。ql写内力方程，并作内力图写内力方程

12、，并作内力图x xM xFSqx qxxFS 2/2qxxMlx 0lx 0例例3、悬臂梁上作用均布载荷、悬臂梁上作用均布载荷 lxqxxFS0 lxqxxM02/2FSxMxqlFSmax2/2maxqlM二、内力图二、内力图qlql2/2ql危险截面位置危险截面位置固定端截面处；固定端截面处；18851885年，俄国人别斯帕罗夫开年，俄国人别斯帕罗夫开始使用弯矩图；始使用弯矩图；被认为是历史上第一个使被认为是历史上第一个使用弯矩图的人用弯矩图的人a 建立坐标系建立坐标系b 确定控制截面确定控制截面c 作图作图仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点例例4 4、简支梁受均布载荷作用、简支梁受

13、均布载荷作用 写内力方程，并写内力方程，并作内力作内力图。图。(1)(1)确定约束反力确定约束反力0AMFAy ql/20yFFBy ql/2(2)(2)写内力方程写内力方程CxxFAY lxqxFxFAyS0 lxxqxxFxMAy02lFBYFAY lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/2(3)(3)、作内力图、作内力图FSxMx8/2ql2/ql2/ql危险截面位置危险截面位置跨度中点。跨度中点。a 建立坐标系建立坐标系b 确定控制截面确定控制截面c 作图作图a/2仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点例例4 4、简支梁受集中力偶作用、简支梁受集中力偶作用(1)(1)确

14、定约束反力确定约束反力0AMFAyM / l(2)(2)写出内力方程写出内力方程x2x1 axFxFAyS110 axxFxMAy1110220SByFxFxbbxxFxMBy2220lFAYMab0BMFBy M / lx1FAYFBYx2FBY写内力方程，作内力图写内力方程，作内力图(3). (3). 画内力画内力图图 axlMxFS110/ axlMxxM1110/ bxlMxFS220/ bxlMxxM2220/ MabFSxMxlMb/lM /lM /lMa/a 建立坐标系建立坐标系b 确定控制截面确定控制截面c 作图作图仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点例例5：悬臂梁受力如图

15、所示。写梁的剪力方程和弯矩方程，：悬臂梁受力如图所示。写梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图作出梁的剪力图和弯矩图1、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段段:0)(xFsPamxM)()0(axPm=PaACBaaBC段段:PxFs)()()(axPmxM)2(axaPxPa2xxPxFs)()2(axaPxPaxM2)(Pm=PaACB0)(xFs)0(axPamxM)(FSxMxa 建立坐标系建立坐标系b 确定控制截面确定控制截面c 作图作图仔细观察内力图的特点仔细观察内力图的特点-PPaFSxMxlql2/2qlFSxMxlFb /lFa /lFab /

16、FC总结总结11 1、简支梁的两端、简支梁的两端悬臂梁的自由端：悬臂梁的自由端：剪力的大小剪力的大小 =集中力的大小；集中力的大小；剪力的方向：剪力的方向：左上右下为左上右下为正正如果没有外力偶矩时，如果没有外力偶矩时，弯矩恒等于零；弯矩恒等于零；弯矩大小弯矩大小有外力偶矩时，有外力偶矩时，弯矩外力偶矩的大小弯矩外力偶矩的大小弯矩方向：弯矩方向：满足左顺右逆。满足左顺右逆。Pm=PaACBFSxMx-PPaFSxMxlFb /lFa /lFab/FC总结总结22 2、梁上没有均布载荷时：、梁上没有均布载荷时：剪力的图剪力的图水平；水平；斜直线；斜直线；且剪力大于零时，且剪力大于零时，弯矩图弯矩

17、图弯矩图上升；弯矩图上升；剪力小于零时，剪力小于零时， 弯矩图下降；弯矩图下降；Pm=PaACBFSxMx-PPaFSxMxlql2/2ql总结总结33 3、有均布载荷的一段梁内、有均布载荷的一段梁内剪力图剪力图 斜直线；斜直线；曲线，曲线，弯矩图弯矩图且均布载荷向上且均布载荷向上剪力图上升；剪力图上升；均布载荷向下均布载荷向下剪力图下降；剪力图下降；且均布载荷向上且均布载荷向上 弯矩图下凸；弯矩图下凸；弯矩图上凸；弯矩图上凸；均布载荷向下均布载荷向下下雨天撑伞下雨天撑伞FSMx8/2ql2/ql2/qlFSxMxlFb /lFa /lFab /FC总结总结44 4、集中力的作用点处、集中力的

18、作用点处剪力图剪力图 突变；突变；突变量突变量=集中力的大小；集中力的大小；突变的方向突变的方向顺集中力的方向顺集中力的方向弯矩图弯矩图发生转折。发生转折。总结总结5、65 5、剪力连续变化、剪力连续变化 过零点：过零点：弯矩取得极值；弯矩取得极值；FSMx8/2ql2/ql2/qlMabFSxMxlMb /lM /lM /lMa /6 6、集中力偶处、集中力偶处剪力图剪力图不变；不变；弯矩图弯矩图突变；突变；突变量突变量=外力偶矩的大小；外力偶矩的大小；突变的方向突变的方向从左向右画，顺时针的外力偶引起弯从左向右画，顺时针的外力偶引起弯矩图的上突；矩图的上突；总结总结77 7、剪力、剪力=0

19、=0的一段梁内，的一段梁内，弯矩保持为常量；弯矩保持为常量；Pm=PaACBFSxMx-PPa载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMdsq(x)dxFs(x)Fs(x)+ dFs(x)M(x)+dM(x)M(x)载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1 1、q(xq(x) )0: 0:2 2、q q常数，常数，3 3、 剪力剪力F Fs s=0=0处，处，M(xM(x) ) 为为 x x 的一次函数，的一次函数，Fs=Fs=常数，常

20、数， 剪力图为直线；剪力图为直线；弯矩图为斜直线。弯矩图为斜直线。Fs(xFs(x) ) 为为 x x 的一次函数，的一次函数，M(xM(x) ) 为为 x x 的二次函数，的二次函数，分布载荷向上（分布载荷向上（q 0q 0），），分布载荷向下（分布载荷向下（q 0q 0），），剪力图为斜直线；剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。弯矩图为抛物线。抛物线呈凹弧；抛物线呈凹弧；抛物线呈凸弧抛物线呈凸弧; ;下凸。下凸。上凸。上凸。弯矩取极值。弯矩取极值。左右两侧剪力变号左右两侧剪力变号)()(xqdxxdFs)()(xFdxxdMs4、梁上作用集中力时梁上作用集中力时集中力作用处，集中力作用处，剪力

21、图突变，剪力图突变， 突变量等于集中力的大小。突变量等于集中力的大小。弯矩图发生转折。弯矩图发生转折。5、梁上作用集中力偶时梁上作用集中力偶时 集中力偶作用处，集中力偶作用处， 剪力图不变剪力图不变突变量等于集中力偶的大小。突变量等于集中力偶的大小。弯矩图发生突变，弯矩图发生突变，内力内力Fs 、M 的变化规律的变化规律载荷载荷图sF图M0)(xq0Cq0CqFoM水平直线水平直线+-oror上斜上斜直线直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角oM斜直线斜直线6、( )( )sdF xq xdx( )( )sdM xF xdx

22、积分得积分得2121()()( )xssxF xF xq x dx2121()()( )xsxM xM xF x dx在和的两个截面上的剪力之差，等于两截在和的两个截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积面间载荷图的面积1xx2xx在和的两个截面上的弯矩之差，等于两截在和的两个截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积面间剪力图的面积1xx2xx校核已作出的内力图是否正确；校核已作出的内力图是否正确；微分关系的利用微分关系的利用快速绘制梁的内力图；不必再建立内力方程；快速绘制梁的内力图；不必再建立内力方程；1 1计算约束反力计算约束反力00，BAMMqaFqaFByAy4349,2 2确定控

23、制面确定控制面A、B两个截面、约束力两个截面、约束力FBy右侧的截面、以及集中力右侧的截面、以及集中力qa左侧的截面。左侧的截面。 例：利用微分关系快速作梁的内力图例：利用微分关系快速作梁的内力图qqaFByFAy（+）（-）（+）3 3建立坐标系建立坐标系OFSxOMx4 4确定控制面确定控制面4/9a5 5画图画图qaFqaFByAy4349,qqaFByFAy32/812qa2qaqa49qa确定剪力等于零的确定剪力等于零的截面位置。截面位置。4/7qaqa例例3 3：利用微分关系快速作梁的内力图：利用微分关系快速作梁的内力图ABqF=qaCa2aFAFB(1)求约束反力求约束反力0AM

24、qaFB210yFqaFA25E(2)建立坐标系建立坐标系OFSxOMx(3)确定控制截面确定控制截面qa23281qa-qa2qaa/2qa21(4)利用微分关系作图利用微分关系作图例例4：利用微分关系作梁的内力图。：利用微分关系作梁的内力图。1、求支座反力、求支座反力0AMKNFAy2 .7KNFBy8 . 30BMABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mByFAyFABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mByFAyF(2)建立坐标系建立坐标系FSx(3)确定控制截面确定控制截面(4)利用微分关系作图利用微分关系作图Mx-3KN4.2KN-3.8KN2.

25、1m-2.2KN.m-3KN.mmKN.41. 13.8KN.mKNFAy2 .7KNFBy8 . 3回顾与比较内力内力AF应力公式及分布规律应力公式及分布规律PITFAyFSM?均匀分布均匀分布线形分布线形分布第四节第四节 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲一、纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲FsMFaFaFF纯弯曲实例纯弯曲实例纯弯曲纯弯曲1、变形几何关系、变形几何关系2、物理关系、物理关系3、静力学关系、静力学关系纯

26、弯曲的内力纯弯曲的内力剪力剪力Fs=0横截面上没有切应力横截面上没有切应力只有正应力。只有正应力。弯曲正应力的弯曲正应力的分布规律分布规律和和计算公式计算公式1、变形几何关系、变形几何关系（一）实验观察现象：（一）实验观察现象：施加一对正弯矩，观察变形施加一对正弯矩，观察变形观察到纵向线与横向线有何变化？观察到纵向线与横向线有何变化？纵向线纵向线由直线由直线曲线曲线横向线横向线由直线由直线直线直线相对旋转一个角度后，相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。仍然与纵向弧线垂直。变化的是：变化的是：1 1、纵向线的长度、纵向线的长度2 2、两横截面的夹角、两横截面的夹角各纵向线的长度还相等吗？各纵

27、向线的长度还相等吗？各横向线之间依然平行吗？各横向线之间依然平行吗？横截面绕横截面绕某一轴某一轴线发生了偏转。线发生了偏转。（二）提出假设：（二）提出假设：1、平面假设：、平面假设： 变形前为平面的变形前为平面的横截面横截面变形后仍保持为平面；变形后仍保持为平面；于于16951695年提出梁弯曲的平面假设年提出梁弯曲的平面假设瑞士科学家瑞士科学家Jacob.贝努力贝努力纵向纤维之间没有相互挤压，纵向纤维之间没有相互挤压，2、假设：、假设：观察纵向纤维之间有无相互作用力观察纵向纤维之间有无相互作用力各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。凹入凹入一侧纤

28、维一侧纤维凸出凸出一侧纤维一侧纤维观察纵向纤维的变化观察纵向纤维的变化在正弯矩的作用下，在正弯矩的作用下，偏上的纤维偏上的纤维缩短，缩短，偏下的纤维偏下的纤维伸长。伸长。缩短；缩短；伸长。伸长。纤维长度不变纤维长度不变中性层中性层中性层中性层LL000LL=0=0既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短中性轴中性轴中性轴上各点中性轴上各点=0各横截面绕各横截面绕 中性轴发生偏转。中性轴发生偏转。中性轴的位置中性轴的位置过截面形心过截面形心（三）理论分析：（三）理论分析：y y的物理意义的物理意义纵向纤维到中性层的距离；纵向纤维到中性层的距离；点到中性轴的距离。点到中性轴的距离。zy两直线间的距离两直线

29、间的距离公式推导公式推导线应变的变化规律线应变的变化规律与纤维到中性层的距离成正比。与纤维到中性层的距离成正比。从横截面上看：从横截面上看： 点离开中性轴越远，点离开中性轴越远，该点的线应变越大。该点的线应变越大。2、物理关系、物理关系虎克定律虎克定律EyE弯曲正应力的分布规律弯曲正应力的分布规律a、与点到中性轴的距离成正比；、与点到中性轴的距离成正比；c、正弯矩作用下，、正弯矩作用下，上压下拉；上压下拉；当当 5的细长梁，的细长梁，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，误差误差2%满足工程中所需要的精度。满足工程中所需要的精度。zIMymaxmax弯曲正

30、应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式弯曲正应力公式 ZIMy1 1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲、纯弯曲或细长梁的横力弯曲; ;2 2、弹性变形阶段、弹性变形阶段; ;（对称弯曲对称弯曲） 推导弯曲正应力计算公式的方法总结推导弯曲正应力计算公式的方法总结（1 1）理想模型法：）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2 2）“实验实验观察观察假设假设” ” ：梁弯曲假设梁弯曲假设（3）外力外力内力内力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系（4 4）三关系法）三关系法积分积分应力合成内应力合成内力力横力弯曲横力弯曲应力法应力法（

31、5 5）数学方法）数学方法注意注意（1 1）计算正应力时，必须清楚所求的是）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面哪个截面上上的应力，的应力，（3 3）特别注意正应力）特别注意正应力沿高度呈线性分布沿高度呈线性分布；从而确定该截面上的从而确定该截面上的弯矩弯矩及该截面对及该截面对中性轴中性轴的的惯性矩；惯性矩；（2）必须清楚所求的是该截面上）必须清楚所求的是该截面上哪一点哪一点的正应力，的正应力，（4）中性轴中性轴上正应力上正应力为零为零，并确定该并确定该点到中性轴的距离点到中性轴的距离，而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。以及该点处

32、以及该点处应力的符号应力的符号（6 6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（5 5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; ;注意注意正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据负号（拉或压）可根据弯矩的正负弯矩的正负及及梁的变形状态梁的变形状态来来 确定。确定。30zy180120K1、C 截面上截面上K点正应力点正应力2、C 截面上最大正应力截面上最大正应力3 3、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力4、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径例：矩形截面简支梁承受均布载荷作用例：矩形截面简支

33、梁承受均布载荷作用,如图所示如图所示1m3mq=60KN/mACB1、截面几何性质计算、截面几何性质计算1218. 012. 03123ZbhI 45m10832. 5确定形心主轴的位置确定形心主轴的位置z确定中性轴的位置确定中性轴的位置180120确定形心的位置确定形心的位置q=60KN/m1m3mACB2. 2. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByFmkN605 . 0160190CMZKCKIyM （压应力）（压应力）3、C 截面上截面上K点正应力点正应力30zy180120K53310832. 510601060MPa7 .614、C 截面上最大正应力截面上最大正应力Zmaxm

34、axIyMCC53310832. 510901060MPa55.92弯矩弯矩公式公式MxFSx作内力图作内力图kN90AyFkN90ByFq=60KN/m1m3mACB90kN90kNm67.5kN8/2ql5 5、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力mkN5 .67maxMZmaxmaxWMMPa17.10453310832. 51090105 .67危险截面危险截面公式公式ZmaxmaxmaxIyMmkN60CMq=60KN/m1m3mACB6、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径45m10832. 5zIm4 .194CZCMEIEIM1359106010832.

35、510200作弯矩图，寻找最大弯矩的截面作弯矩图，寻找最大弯矩的截面分析：分析：例例 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。型截面铸铁梁，截面尺寸如图。求最大拉应力、最大压应力。求最大拉应力、最大压应力。647.64 10 mzI计算最大拉应力、最大压应力计算最大拉应力、最大压应力zc52889KN1m1m4KN1mACB（2 2）计算应力：）计算应力：33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1088 1046.1MPa7.64 10c（1 1）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图B B截面应力分布截面应力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2

36、.5KN FB=10.5KN2.5KNm4KNmMzIMy应用公式应用公式zc5288（3 3）结论）结论MPa1 .46max,cC C截面应力计算截面应力计算33,max62.5 1088 1028.8MPa7.64 10tMPa8 .28max,t2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNC C截面应力分布截面应力分布zIMy应用公式应用公式zc5288第六节第六节 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件弯曲正应力弯曲正应力的分布规律的分布规律危险点：危险点：距离中性轴最远处；距离中性轴最远处；分别发生分别发生最大拉应力最大拉应力与与最大压应力最大压应力；zmaxmaxm

37、axIyM1、塑性材料、塑性材料抗拉压强度相等抗拉压强度相等无论内力图如何无论内力图如何梁内最大应力梁内最大应力 IyMzmaxmaxmax其强度条件为其强度条件为通常将梁做成矩形、圆形、工字形等通常将梁做成矩形、圆形、工字形等对称于中性轴对称于中性轴的截面；的截面；此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。因此：因此： 强度条件可以表示为强度条件可以表示为 wMzmaxmax无论截面形状如何，无论截面形状如何，a对于塑性材料，对于塑性材料，b2.2.离中性轴最远处。离中性轴最远处。要综合考虑弯矩要综合考虑弯矩M与截面形状与截面形状Iz1.1.弯矩的绝对值最大

38、的截面上；弯矩的绝对值最大的截面上；塑性材料塑性材料c、塑性材料制成的、塑性材料制成的变截面梁变截面梁总之，总之， 梁内最大应力发生在：梁内最大应力发生在： wMzmaxmax3 .强度条件为强度条件为一简支梁受力如图所示。已知一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面，空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径若外径D增加增加一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷 q 可增加到多大？可增加到多大？8 . 0DdMPa12L=4mABq=0.5KN/mzWMmax3 3、作弯矩图，确定危险截面；、作弯矩图，确定危险截面；分析：分析：对称截面；对称截面；

39、1、塑性材料，、塑性材料，2、已知图形对中性轴的主惯性矩、已知图形对中性轴的主惯性矩5、公式、公式MPa124 4、确定危险点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核8 . 0DdMPa12L=4mABq=0.5KN/m1、求支座反力，并作弯矩图、求支座反力，并作弯矩图FAFBFA=FB=ql/2M281qL2、确定危险截面、确定危险截面2max81qLMmN.100 . 13强度计算强度计算)1 (3243DWzmaxMmD113. 0若外径若外径D增加一倍，增加一倍，,226. 0mD 2max81qLMzW)1 (3243DmKNq.0 . 48 . 0DdMPa12zWM8 . 0Dd

40、不变不变zWM2、脆性材料、脆性材料抗拉压强度不等。抗拉压强度不等。内力图形状有关。内力图形状有关。梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在最大应力通常与截面形状，最大应力通常与截面形状，通常将梁做成通常将梁做成T T形、倒形、倒T T形等形等 关于关于中性轴不对称中性轴不对称的截面。的截面。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。由于脆性材料抗压不抗拉，由于脆性材料抗压不抗拉，a a脆性材料的最大应力与截面形状有关脆性材料的最大应力与截面形状有关MM或者或者 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点上压下拉上压下拉上

41、拉下压上拉下压b b脆性材料的最大应力与内力图有关脆性材料的最大应力与内力图有关危险截面只有一个。危险截面只有一个。tzttIMymax,czccIMymax,危险截面处分别校核：危险截面处分别校核：二个强度条件表达式二个强度条件表达式M危险截面有二个；危险截面有二个；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点； 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点tzttIMymax,czccIMymax,各危险截面处分别校核：各危险截面处分别校核：四个强度条件表达式四个强度条件表达式zMwmax zwmaxM弯曲正应力强度计算的三个方面弯曲正应力强度计算

42、的三个方面1、强度校核、强度校核tzttIMymax,czccIMymax,2、设计截面、设计截面3、确定许可载荷、确定许可载荷例例2 2：T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30ct9KN1m1m4KN1mACB2080120205 5、作弯矩图，确定危险截面、作弯矩图，确定危险截面 ccttmax,max,6 6、确定危险点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核分析：分析：非对称截面；非对称截面；确定形心主轴位置；确定形心主轴位置；1、脆性材料，、脆性材料，2、寻找形心、寻找形心3、确定中性轴位置；、确定

43、中性轴位置；4、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图形对中性轴的主惯性矩危险截面与内力图有关危险截面与内力图有关mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩1220803zI（1 1）求截面形心）求截面形心z152208012020yz2281202012120203242208046m1064. 7（4 4）确定危险截面）确定危险截面33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1088 1046.1MPa7.64 10c（3 3）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图B B截面应力强度

44、计算截面应力强度计算9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy应用公式应用公式zc5288 t c MPa30tMPa,60c46m1064. 7zI（5 5）结论）结论C截面强度计算截面强度计算33,max62.5 1088 1028.8MPa7.64 10tzIMy应用公式应用公式zc5288 MPa30tMPa,60c46m1064. 7zI2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KN t cMPac171064. 71052105 . 2633max,满足强度条件满足强度条件例例2铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已

45、知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？况又如何？MPa35100cMPa40tMPaAB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m20030200302003020030(a) (a) 确定中性轴的位置确定中性轴的位置2320102035 .21203ASyzCcm75.1546013 cm23)1075.15(203203121zI23 5 . 1)75.1520(320320121zzC(b) 计算图形对形心主轴的惯性

46、矩计算图形对形心主轴的惯性矩(1) 平面图形几何性质计算平面图形几何性质计算157.5（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图计算约束反力：计算约束反力：,30KNFAy,10KNFByAB2m1m3mCDP=20KNq=10KN/mFAyFBy作内力图作内力图FsM10KN10KN.m20KN.m20KN10KN（3 3）正应力强度计算）正应力强度计算对于对于A A截面：截面：z2max8(4.25 3) 10()6.013 10AtAMMPa1 .242max815.75 10()6.013 10AcAMMPa4 .52P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10K

47、NM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIz100cMPa40tMPa（3 3）正应力强度计算）正应力强度计算对于对于D D截面：截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIz100cMPa40tMPa2max815.75 10()6.013 10DtDMMPa2 .262max87.25 10()6.013 10DcDMMPa12maxmax()26.240ttDtMPaMpamaxmax()52.4 100ccDcMPaMpa正应力强度足够正应力强度足够。结论结论

48、（4 4）切应力强度校核）切应力强度校核在在A A截面左侧：截面左侧：zzSbISFmax,max,max56310013. 603. 0103721020MPa12. 4切应力强度足够切应力强度足够。P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIz3372cmSzMPa35危险截面危险截面计算公式计算公式最大静矩：最大静矩：88. 775.153max,zS3372 cm（5 5）若将梁的截面倒置）若将梁的截面倒置此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yczzcyP=20KNq=10KN/mF

49、AyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.mz2,max815.75 10()6.013 10AtAMMPa4 .5240tMPa工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形第八节第八节 弯曲变形弯曲变形129工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形一、为何要研究弯曲变形zWM仅保证构件不会发生破坏，仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。、构件的变形限制在允许的

50、范围内。车削加工一等截面构件，车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；会加工成变截面；案例案例1：如果钻床的变形过大，如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。不能准确定位。案例案例2：车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的过大变形车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；还会引起较严重的振动；案例案例3：桥梁如果产生过大变形桥梁如果产生过大变形楼板、楼板、 床、床、双杠横梁双杠横梁等都必须把它们的

51、变形等都必须把它们的变形限制限制在在允许的范围内允许的范围内。屋顶屋顶案例案例4：、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；才能更好的起到缓和减振的作用；案例案例1：案例案例2：当今时代汽车工业飞速发展，当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？二、弯曲变形的物理量二、弯曲变形的物理量EAlFlNPIGlT扭转：扭转： F FF F拉伸拉伸弯曲变形的物理量如何？弯曲变形的物理

52、量如何？抗变形刚度抗变形刚度杆件长度杆件长度内力内力1 1、挠曲线、挠曲线xv2 2、挠度、挠度v 向上为正向上为正3 3、转角、转角逆时针为正逆时针为正截面形心在垂直于轴向（力的方向）的位移截面形心在垂直于轴向（力的方向）的位移横截面的角位移，（截面绕中性轴转过的角度）横截面的角位移，（截面绕中性轴转过的角度）弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量挠度挠度v弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量转角转角+挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程2 2、挠曲线方程：、挠曲线方程：)(xfv yxxv1、建立坐标系、建立坐标系xoy平面平面就是梁的纵向对称面；就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将

53、成为在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内面内的一条平面曲线；的一条平面曲线；该曲线方程为该曲线方程为 ：3 3、挠度、转角物理意义、挠度、转角物理意义yxxv：挠度的物理意义：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；挠曲线在该点处的纵坐标；yv dxdvtg：转角的物理意义：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：转角的正方向： 从从x x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。轴正向向切线

54、旋转，逆时针转动为正。4 4、挠曲线微分方程、挠曲线微分方程中性层处曲率中性层处曲率:EIxM)(1 yx)(xfy 2322211dxdydxyd对于对于曲线曲线 y=f(x) 在任一点处曲率在任一点处曲率 正好为正好为xoy平面内的一条曲线，平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线平面弯曲的挠曲线所以曲线所以曲线y=y=f(xf(x) )： 从数学上讲从数学上讲是一条普通的平面曲线，是一条普通的平面曲线，从力学上讲从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。就是梁发生弯曲变形的挠曲线。zEIxMdxdvdxvd)(123222挠曲线微分方程挠曲线微分方程EIxM)(12322211dxdvdxvd适

55、用于弯曲变形的任何情况。适用于弯曲变形的任何情况。5 5、挠曲线、挠曲线近似近似微分方程微分方程1tandxdv112dxdv在在小变形小变形的条件下，的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，较小，较小，转角转角EIxMdxvd)(22故得挠曲线近似微分方程：故得挠曲线近似微分方程：zEIxMdxdvdxvd)(123222符号规定：符号规定：MM022dxvd0MzEIxMdxvd)(22挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程022dxvd0M挠曲线为凹曲线挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线挠曲线为凸曲线22dxvd弯矩弯矩M与挠度的二阶导数与挠度的二阶导数符号一致。符号一

56、致。适用范围：适用范围：xxMM小变形。小变形。zEIxMdxvd)(22挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程积分一次：积分一次：CdxEIxMdxdvz)(转角方程转角方程积分二次：积分二次：DCxdxdxEIxMz )(挠曲线方程挠曲线方程C C、D D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形悬臂梁：悬臂梁：x梁的边界条件梁的边界条件:0 xL00v简支梁：简支梁：xvL:0 x:Lx 梁的边界条件梁的边界条件0v0v连续性条件：连续性条件：右左CC右左CCvvCPABaLx:0 x0v:Lx 0v边界条件边界条件连续性条件连续性

57、条件:ax Av例例1悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。Axvx取取参考坐标系参考坐标系1、列写弯矩方程、列写弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、代入挠曲线近似微分方程中、代入挠曲线近似微分方程中22dxvdzEIxM)(22221qxdxvdEI积分一次：积分一次：CqxEIdxdEI361积分二次：积分二次：DCxqxEI4241转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程AqBL3、确定常数、确定常数C、D.边界条件：边界条件：:Lx361qLC 0v481qLD)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIvCqxEIdxdvEI361DCxqx

58、EIv4241AqBL0EIqLA630 xEIqLvA84AqBL)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIv4、计算、计算A截面的挠度和转角截面的挠度和转角A截面处截面处用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 在在小变形小变形，是线性的；是线性的； 材料材料服从胡克定律服从胡克定律的情况下，的情况下，EIxMdxvd)(22挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程弯矩弯矩)(xM与载荷之间的关系与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，对应于几种不同的载荷，是线性的；是线性的；弯矩可以叠加，弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形