函数一致连续的判别方法及其应用

1、函数一致连续的判别方法及其应用摘要函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor定理，没有做更深入的研究。本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。关键词：一致连续 积分 导数 Cantor定理 基本初等函数AbstractThe uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks on

2、ly show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of th

3、e uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions. Keywords: uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary functionI目录摘要Abstract第一章 引言1第二章 一致连续的充要条件2第三章一致连续的充分条件10第四章 函数一致连续的应用164

4、.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用164.2 应用二：反函数的一致连续性的应用184.3 函数的四则运算的一致连续性21总结24致谢25参考文献26第一章 引言第一章 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键一致连续是函数的一个重要性质, 它对确定函数的性态有重要作用。函数在某区间内连续，是指函数在该区间内每一点都连续，它反映函数在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映

5、的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性质。因此，在讨论函数的一致连续性时，通常应用函数一致连续的定义或一致连续的定理，但使用函数在区间上一致连续的定义证明较为复杂，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，并结合具体例子对这些方法加以应用，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充。1第二章 一致连续的充要条件第

6、二章 一致连续的充要条件在区间I上连续是指在I上每一点都连续,在I上一致连续则是反映在I上整体性质的更强的连续性概念。 2.1函数一致连续的定义函数一致连续的定义：设函数在区间上有定义，若|称函数在I一致连续（或均匀连续）。2.2一致连续的充要条件定理1：康托定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。证明：若上述事实不成立，则至少存在一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小区间。将二等分为 、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再将二等分为 、依同样的方法取定其一，记为；.如此继续下去，就得到一个闭区间套，n=1，2， ，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足 且属于

7、所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是， 当时,就有 。 又由式，于是我们可取充分大的k，使,从而对于上任意点，都有。因此，对于上的任意两点， 由都有 。 这表明能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间的取法矛盾，从而得证。定理2： 函数在内一致连续在连续，且与都存在。证明： 若在内一致连续，则对，当时，有 ， 于是当时，有。 根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，从而在连续，与都存在。 若在连续，且和都存在，则令 于是有在闭区间上连续，由Contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续。根据定理2容易得以下推论：推论1：函数在内一致连续在连续且存在。推论2：函数在内一致连续在连续

8、且存在。 注意：当是无限区间时，条件是充分不必要的。例如在上一致连续，但是，不存在。 定理3：设在上有定义，若对上任一收敛数列，极限都存在，则在上一致连续。证明：任取及内任一收敛于的数列，由存在，可以证明对内所以收敛于的数列，数列收敛于同一极限值。事实上，设，是内任两个收敛于的数列，作数列则因为也是内收敛于的数列，所以存在，设，则的任一子列都收敛于，特别。于是由归结原则，当时，存在，而内收敛于的数列中有一个数列为，所以，在内连续，当时，存在，当时，存在，从而得到在上一致连续。推论：函数在上连续，则在上一致连续的充要条件是，都存在。定理4：函数在无穷区间上一致连续的充要条件是在无穷区间上有界。引

9、理1：若在上一致连续，则存在正数与使得 证明：由题设知，对任意的，存在当 且 时有现在对任意充分大的，我们总可以取，使得x有表达式： ，为正整数。注意到在上有界，不妨设为从而有所以 令，即得所证。引理2：如果存在正数与使得 ，成立，则存在。证明：（反证法）假设不存在即（关于且极限不存在的其他情况因能力有限暂时不与考虑）当时，设 则由于所以存在点使得时所以在单调递增，因此存在使得对任意的点有，即 ，矛盾。 所以结论成立。同理可知时结论成立。 本题得证定理5：若在区间上满足利普希茨条件，即存在，使得对上任意两点此定理由定义易证，并由此可得推论：若在区间上有界，则在上一致连续。证明：设存在，使得对一

10、切，都有，则对上任意两点，由微分中值定理，其中在与之间，从而，在上满足利普希茨条件，在上一致连续。定理6：设定义在上，若在和上都连续，则在上一致连续。上述结论可进一步推广为：设区间的右端点为,区间的左端点也为 (可为有限或无限区间).若在和上都一致连续,则在上一致连续。例1：求证：若函数y=在和 上都一致连续，则在上一致连续。证明：因为函数在上一致连续，所以在上，;同理，在上有，而 .所以，在上，.所以，函数y=在上一致连续。例2：讨论在上的一致连续性.证明：在上连续，设，当时，设，则,且，所以在上一致连续。当时，.所以在上一致连续。综上所述，在上一致连续。定理7：函数在上一致连续充要条件：若

11、在有限开区间上连续，且与都存在且有限。推论1：函数在（或）上一致连续的充要条件：若在区间（或）上连续，且（或）存在且有限。 推论2：:若在 (或)上连续，且 (或)极限存在，则在 (或)上一致连续。证明：设，则由柯西准则，任给，存在，使得当时， 又因为在闭区间上连续，所以在上一致连续，从而对上述，存在正数，使得且时， 于是当且时，必同属于或必同属于，由式必有，由定义在上一致连续。推论3：若在 (或)上连续，且及 (或及)极限存在，则在 (或)上一致连续。推论4：若在上连续，且及极限存在，则在上一致连续。证明：由a和b可得，在和上都一致连续，从而任给，分别存在，使得且时，且时，。现取，则且时，必

12、同属于或同属于，由式必有，由此证得在上一致连续。例3：无界函数= 于-x+上一致连续。证明：|-|=|（-）+（sin-sin）|-|+| sin-sin|2|-|。 对于任给的0，取=0，则当-+，-+，|-| 时，恒有|-|，故在-x+上一致连续。例4： =sin,1，+）证明：=1 ，由无穷区间上一致连续定理得在1，+）上一致连续。例5：证明在0,+）上一致连续。证明：设0,+），不妨设，则有2|sin由，得，于是，取，则当0,+），|，有|。故在0,+）上一致连续。定理8：若在区间上有定义,则在上一致连续的充要条件是.推论： 若在区间上连续,若且,则在上一致连续。（若在区间上有定义,则

13、称为函数的连续模数。）由上述定理易得到一致连续的视察法:的值只与的图象最陡的地方有关.若的图象在某处无限变陡,使得,则非一致连续;若在某处最陡,但时,此处的变差,则一致连续。例5： =在上是非一致连续的,但在上一致连续。证明：，在处，图形无限变陡。.时。因此，在任何区间上都是非一致连续的。但在区间上，=在点处最陡，且。可见，=在上一致连续。定理9: 设是定义在上的以为周期的周期函数，则在上一致连续的充要条件是在上连续6。证明： 必要性易证，下证充分性。 因为在上连续，所以在上也连续，从而一致连续。因此，对，使得对，且，有 。 ，且，不妨假设且，即。(1)若，则，此时 ， 故 。 (2) 若，则

14、， 此时 且，故。 综上所述，函数在上一致连续。第三章一致连续的充分条件定理1：若函数在R上连续且在R上有界，则函数在区间R上一致连续。证明：只要能找到满足时，有即可由于函数在R连续且可导，所以在连续而且在可导,满足拉格朗日定理的条件。所以又因为函数有界,所以要满足同理有如下结论：定理2：若函数在任意区间I上连续，且在区间I上有界，则函数在区间I上一致连续。定理3：设函数在区间上局部可积，且在区间 上有界,则在上一致连续。定理4：若在区间上存在有界导函数,即,有，则在上一致连续。下面还有一个应用得更加广泛的结论:若在上连续,在内处处可导,且存在，则在上一致连续。例6：在上一致连续.证明：由于，

15、故在上一致连续.例7：=x(0x1)25第三章 一致连续的充分条件证明：考虑， ，则当02时，不论如何选择，只要n充分大，我们总可以使|=，但是，|=2.因而在区间（0，1）内并非一致连续。定理5：设在上连续,且有斜渐近线（即则在上一致连续。（为常数）证明：因为在上连续，且，所以在上一致连续，又在上一致连续，从而在上一致连续。例8：讨论函数于（1，+）上的一致连续性。 解：显然在（1，+）上连续，又在（1，+）上，当时有渐近线，所以在（1，+）上一致连续。上述结论可进一步推广为4:（2）设在上连续,在上一致连续,即时,且 ，则在上一致连续。例9：求证：函数在上一致连续。证明：对于，任给当时，

16、，所以，从而，于是，在上一致连续。而在0,1上，一致连续，所以在上一致连续。例10：在上一致连续.证明：由于，故在该区间有渐近线，所以 在上一致连续.定理6：若a为的瑕点，且收敛，则在上一致连续。推论1：若，0,|，,为它们的瑕点，且收敛，则在上一致连续。推论2：若，0，,为它们的瑕点，且收敛，),则在上一致连续。推论3：若 为其瑕点，且|（0p1),则在上一致连续。推论4：若 为其瑕点，且则当0p1，0+时，在上一致连续。定理7：，为的瑕点，且收敛，函数在上单调,则在上一致连续。定理7：，为的瑕点，且F（A）=在上有界，在上单调且当时趋于0，则在上一致连续。定义1(凸函数) ：设函数在区间上

17、有定义,若,有 (或),则称为定义在区间上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数。注：下面的定义，引理，定理和推论均见5。定义2(拟可导函数)： 若函数在有定义,且极限存在,则称函数在拟可导,记为. 引理1 凸函数在任意开区间（有限或无穷）上连续.引理2 若在区间上连续，且对，有，则函数为下凸函数。定理8： 若在开区间（有限或无穷）上单调，且在内处处存在，有界，则在上一致连续。推论1 若是开区间（有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则在上一致连续。推论2 若在开区间（有限或无穷）上满足条件：，有；，和都存在；在上处处拟可导，且拟导数有界，则在上一致连续。定理9: 在内一致连续的

18、充分条件是在内连续，且都存在。证明：（1） 先证在上一致连续。令，由柯西收敛准则有对使对，有。 现将分为两个重叠区间和，因为在上一致连续，从而对上述，使，且时，有 。 对上述，取，则，且，都有 。 所以函数在内一致连续。（2） 同理可证函数在内一致连续。由（1）、（2）可得在内一致连续。注意： 若将分为和，则当与分别在两个区间时，即使有，却不能马上得出的结论。由定理9还容易得出以下推论：推论1： 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论2; 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。推论3:函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论4: 函数在内一致连续的充分条件是在

19、内连续，且与都存在。例11： 判定下列函数在指定区间上是否一致连续。（1）；（2）；（3）。解：（1） 易见在内连续，且， 即与都存在，从而在内一致连续。（2） 易见在内连续，且， ， 因此在内一致连续。（3） 易证在内连续，且， ， 所以在内一致连续。第四章 函数一致连续的应用定义：若存在某正数对于任意的，总存在当时，有，则称函数在区间非一致连续。例12： 在内非一致连续.证明：考虑上的两串点，则当时，不论如何选取，只要充分大，总可以使，但是，因而，在内非一致连续.例13： 证明函数在内不一致连续（尽管它在内每一点都连续）。证明: 取 ，对（充分小且不妨设），取，则虽然有， 但 。 所以函数

20、在内不一致连续。4.1应用之一：基本初等函数的一致连续性的应用（1）（幂函数）。（2）（指数函数）例14： 证明函数在上非一致连续。证明： ，对，虽然有， 但是 。 所以在上非一致连续。第四章 函数一致连续的应用（3）（对数函数）例15： 证明：考虑，则当时，不论如何选取，只要充分大，我们总可以使，但是，因而在区间非一致收敛。但在区间上，在点1处最陡，且.可见，在上一致连续.（4）（三角函数）均在其定义域上非一致连续。例16： 证明函数在上一致连续。证明：由于对，使得，都有 ， 即在上满足条件。所以函数在上一致连续。例17：证明在R的一致连续证明：时要使得：成立，只需即可（5）（反三角函数）和

21、均在例18：证明一致连续。证明：由于在区间，上连续，且有，由已知在及上均一致连续。于是，对于任给，存在，当，时，恒有成立。又存在，当，时，恒有成立。今取，则当，时，与必或同时属于，或同时属于，故恒有，即在上一致连续。（5）（有理函数） 均为常数，且。当时，上一致连续；当上非一致连续。（其中。4.2应用之三：反函数的一致连续性的应用由于反函数仍然是一个函数，只是其函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。所以我们仍然可以采取前面讨论一致连续的条件的方法。（1） 有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。（a） 闭区间上的一致连续函数的反函数仍然一致连续。证明：因为在区间一致连续，不妨设，由于具有

22、反函数的函数必然单调在区间连续。有定理1可得：在区间一致连续。（b）开区间上的一致连续函数的反函数一致连续。证明： 在区间一致连续，与存在，不妨分别设为A与B。存在反函数的函数必然单调，所以不妨设。在开区间有定义，且由定理2可得：在开区间一致连。综合以上两个结论可得结论1：有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。（2） 函数在区间上一致连续，如果存在，则函数的反函数不一致连续。（3） 若无穷区间上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限 则其反函数在无穷区间上不一致连续。若则其反函数在无穷区间上一致连续。 例19：证明：若函数在域上有定义并且是连续的，而且存在，则 在此域上是一致连续的。证明

23、：任给，由于存在，故必存在，使当，时，恒有，由于在连续，故一致连续，从而必有正数存在，使当，时，恒有，令。现设，为满足，的任何两点。由于故与或同时属于，或同时满足，。因此，恒有，故在上一致连续。（4）无穷区间上的一致连续函数的反函数的一致连续性。由于无穷区间有如下五中情况： 因此我们主要讨论最有代表性的区间（）上的情况，其余四种情况可以类似得出相应结论。由前面一致连续的条件的讨论可知区间上的一致连续函数可以分为两类。第一类： 与都存在，不妨设=A, =B。存在反函数的函数必然单调，所以不妨设。在开区间有定义，且所以有结论2：函数在区间上一致连续，如果存在，则函数的反函数不一致连续。为帮助理解上

24、面的结论，举例如下：例20：在一致连续，且所以其反函数在 不一致连续。第二类：存在而不存在时，不存在有两种情形，一种是x趋向于无穷时，函数的图像上下波动，函数的变化趋势不确定而造成无极限。由于具有反函数的函数必然单调，所以此种情况可排除，仅讨论第二种情况即此时函数满足存在(由结论1可得)，即有界。根据法则：反函数的导数等于原函数导数的倒数。当时，可设所以因此有如下结论：结论3：若无穷区间上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限 则其反函数在无穷区间上不一致连续。若则其反函数在无穷区间上一致连续。为帮助理解上面的结论.例21:在区间不一致连续，（因为）所以其反函数在区间一致连续。例22：设在区间

25、I上一致连续且存在，使得对任意的有成立，则函数在其定义域上一致连续。证明：讨论区间I上的一致连续函数的倒数在其定义域上的一致连续性。由于 =由在区间I的一致连续性得： 有所以, 发现，当有界时，即时，函数在其定义域上一致连续。 4.3 函数的四则运算性质的一致连续(1)若都在区间上一致连续,则也在上一致连续.证明：由于函数在区间I一致连续，所以时，有，所以一致连续。因此可推出一下定理若都在区间上一致连续,则也在上一致连续.(2)若都在有限区间上一致连续,则也在上一致连续.证明： 由于函数分别在I上一致连续所以：当时，有 所以 因此可推出定理若都在区间 (含无穷区间)上一致连续且有界,则也在上一致连续.（3）设在区间I上一致连续且存在，使得对任意的有成立，则函数在其定义域上一致连续。证明： =由在区间I的一致连续性得： 有所以： 发现，当有界时，即时，函数在其定义域上一致连续。 综合定理15与定理16可得（4）设与都在区间I上一致连续，且区间I上有界，且存在，使得对任意的有，则在区间I一致连续。(5)若在区间上一致连续 ,则也在上一致连续(其中为任意常数