函数项级数一致收敛的判别

1、河南师范大学新联学院本科毕业论文 学号：0901174099函数项级数一致收敛的判别专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 2009级1班 姓 名： 张庆明 指导教师： 左红亮 2013年04月 河南师范大学新联学院本科毕业论文 函数项级数一致收敛的判别摘 要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。 本文则在数项级数的基础上, 分析函数项级数的收敛性定义及其判定, 函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。本文对函

2、数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致敛的定义, 重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。 Discrimination of uniform convergence of function seriesAbstract: The uniform convergence of function series is the concept of series of functions are the most basic

3、 and most important problem. In this paper, on the basis of a number of series, the definitions of convergence of function series and its decision, uniform convergence analysis of properties and functions related to the function of series. Therefore, this paper proposes a definition of uniform conve

4、rgence of function series, Cauchy uniform convergence criteria the Weierstrass discrimination method (M identification method), Dirichlet discrimination law, Abel discriminant law, the remainder discriminant method, integration criterion method and article on the function series convergence discrimi

5、nant method to promote mainly summarized Diagnostic Method derivative test, continuity discrimination law, forcing several discriminant method of convergence discrimination law and M inference of discrimination law, and apply function series consistent definition of convergence, it is important disc

6、rimination method and the necessary and sufficient conditions are given some proof of the conclusion of the paper.Keywords: Function Series; uniform convergence; discrimination law.前 言 一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则,M-判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，莱布尼兹判别法或者直接根据一

7、致收敛的定义进行判别。 而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，M-判别法，阿贝尔判别法，莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了方便。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广, 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例, 它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数, 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质. 比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性。 这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。 即函数项级数的一致收敛性。 文献1讨论了函数项级数一致收

8、敛的基本判别法, 给出了一致收敛的定义和莱布尼茨判别法; 文献678给出了函数项级数一致收敛的重要判别法, 如阿贝尔、狄利克雷以及积分判别法; 文献53给出了函数项级数一致收敛的两个充要条件: 柯西准则, 余项定理, 并用上述方法判别一致收敛以及证明其它的一些定理; 文献10对该问题进行了推广, 得到了比试和根式判别法, 同时也有其它一些文献, 得到了一些其它的结论。本文结合上述文献, 总结出了函数项级数一致收敛的其它判别法, 如对数判别法, 导数判别法, M判别法的推论等, 并给出了一些判别法的证明, 此外也用一些例题验证它的可行性。 1. 函数项级数一致收敛的定义定义1 设是定义在数集上的

9、一个函数列, 表达式, (1) 称为定义在定义域上的函数项级数, 简记为或。称, , (2)为函数项级数(1)的部分和函数列。 若, 数项级数 , (3)收敛, 即部分和当时极限存在, 则称级数(1)在点收敛, 称为(1)的收敛点。若级数(3)发散，则称级数(1)在点发散。若级数(1)在上的某个子集上的每个点都收敛, 则称级数(1)在上收敛, 并且称(1)的收敛域为, 级数(1)在上的每一点与其所对应的数项级数(3)的和构成一个定义在上的函数, 称为(1)的和函数, 并写作, 即 , 也就是说，函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列(2)的收敛性。定义设是函数项级数的部分和数列。若在数

10、集上一致收敛于函数, 则称函数项级数在上一致收敛于, 或称在上一致收敛。由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和数列来确定, 所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义。 定义3 设函数项级数在上和函数为, 称, 为函数项的余项。2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法2.1 M判别法定理 (M判别法) 设函数项级数定义在数集上, 为收敛的正项级数, 若对一切, 有, , 则函数项级数在上一致收敛。证明： 由假设正项级数收敛, 根据数项级数的柯西准则, 任给正数,存在某正整数, 使得当及任何正整数, 有,所以对一切有根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛。例1 证明函数项级数，一致

11、收敛。证明： 由不等式可知对任意x,有。因收敛，由M-判别法知在上一致收敛。2.2 莱布尼茨判别法定理2 若交错级数满足下述两个条件： 数列单调递减；，则交错级数收敛。例2 试证在区间上一致收敛。证明：是任意闭区间的连续函数列, 且有 , ,由上述定理知, 函数项级数在区间上一致收敛。2.3 定义判别法例3讨论。解： 显然所以，对任给的只要取对一切成立，因此在上一致收敛于。2.4 余项判别法 定理 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是。证明 () 已知函数项级数在区间一致收敛于, 有,从而 ,即,()已知,即有,所以有.即级数在区间上一致收敛于。例4 讨论函数项级数的一致收敛性。解： 设。

12、因而，。解，得。易知，该点为函数于是： 故原级数在上一致收敛。推论 是函数项级数的部分和函数列, 和函数, 都是定义在同一数集上, 对于任意的, 存在数列, 使得对, 有, 且, 则称函数列一致收敛于, 即函数项级数在上一致收敛于函数。证明： 因, 故对任给的, (与无关), 使得当时, 对一切, 都有。由定义2得函数列一致收敛于, 即函数项级数在上一致收敛于。注 用放大法判定函数项级数一致收敛性时, 需要知道。2.5 柯西准则定理 (一致收敛的cauchy准则) 函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为：任给>0。 存在，当时, 对一切， 都有成立。证明： (必要性) 设在上一致收敛,

13、于是有根据定义,对任意的, 存在正整数, 只要, 对一切和任意正整数有,因此只要, 对一切有,所以, 对存在正整数, 只要, 对一切和任意正整数有,必要性得证。(充分性) 设对任意的, 存在正整数, 只要, 对一切和任意正整数有,所以对一切和一切任意正整数, 令, 可得, 只要, 对一切有,所以函数项级数在数集上一致收敛, 充分性得证。推论2若 在上一致收敛，则。例5：设，在连续且在内一致收敛，且由均收敛，证明上一致收敛。证明：由内一致收敛及均收敛，知，同时有因而，有故在一致收敛。3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法3.1 阿贝尔判别法定理5 (Able判别法) 定义在区间上的函数项级

14、数 (4)(1) 在区间I上一致收敛；(2) 对于每一个是单调的；(3)在上一致有界, 即对一切和正整数, 存在正数, 使得, 则级数(4)在上一致收敛。例6 证明函数项级数在上一致收敛。解：设。根据优级数判别法，易知由阿贝尔判别法，知原级数在上一致收敛。例7 设收敛，则在上一致收敛。证明：是数项级数，它的收敛性就意味着关于x的一致收敛性。而关于n单调，且，对一切n成立。由阿贝尔判别法可知级数在上一致收敛。特别地，比如在上是一致收敛的。3.2 狄利克雷判别法定理6 (Dirchlet判别法) 设(1) 的部分和函数列 ()在上一致有界；(2) 对于每一个是单调的；(3) 在上(); 则级数(4

15、)在上一致收敛。证明：由(1)正数, 对一切, 有,因此当有任何正整数时,对任何一个, 再由(2)及Abel引理, 得到 ,再由(3)对当时, 对一切, 有, 所以,于是由一致收敛的Cauchy准则知级数(4)在上一致收敛。例8 试判别的一致收敛性。解:因而，级数的部分和函数列在上一致有界。又对单调减少且，于是在上一致收敛于零。根据Dirchlet判别法知，原级数在上一致收敛。例9 在上，级数。证明： 首先，的部分和函数列在上是一致有界的。其次，对每一个关于n是单调递减的，且有 ，。于是根据Dirichlet判别法，即得所证。3.3 积分判别法定理7 设为区域上的非负函数, 是定义在数集上正的

16、函数项级数, 且为非负函数, 如果在上关于为单调减函数, 若含参变量反常积分在数集上一致收敛, 在数集上一致收敛。证明: 由在数集上一致收敛, 对, , 当时, 对一切自然数和一切, 有, 由 ,所以在数集上一致收敛。例10 讨论P级数的敛散性。解：函数，当p>0时在上是非负减函数。由反常积分在P>1时收敛，p1时发散。再由积分判别法得当p>1时收敛，当0<P1时发散。至于P0的情形，则可由级数收敛的柯西准则的推论知道它也是发散的。例11 讨论下级数（1）； （2）的敛散性。解：研究反常积分，由于当P>1时收敛，P1时发散。根据定理7知级数（1）在p>1时收

17、敛，p1时发散。对于（2），考察反常积分，同样可推得级数（2）在P>1时收敛，在P1时发散。4. 函数项级数一致收敛方法的的推广4.1 比式判别法定理 (比式判别法)设 ( x) 为定义在数集D 上正的函数列,记(x) =存在正整数N 及实数q、M ,使得: q < 1 , M 对任意的n > N , x D 成立,则函数项级数在D 上一致收敛。证明:易见(x)= = 而等比级数当公比0 < q < 1 时收敛,从而由函数项级数一致收敛性的优级数判别法知,在D 上一致收敛。 推论3 (比式判别法的极限形式) 设为定义在数集上的函数项级数, 记, 若, 且在上一致有

18、界, 则函数项级数在上一致收敛。证明: 由则存在正整数, 使得当时, 有,由在上一致有界, 则对任意的正整数, 及任意的, 存在正整数, 使得, 令 , 则有, 而几何级数当时收敛, 由函数项级数一致收敛的M判别法知在上一致收敛, 得证。例12 试证函数项级数在 ()上一致收敛。证明: 因为,而,所以由比式判别法的极限形式知函数项级数在 ()上一致收敛。4.2 根式判别法定理 (根式判别法) 设为定义在数集上的函数项级数, 若, 则函数项级数在上一致收敛。证明: 由则存在正整数, 当时, 有, 则对任意的, , 有, 而几何级数收敛, 由函数项级数一致收敛性的M判别法知在上一致收敛, 定理得证

19、。例13 试证函数项级数在上一致收敛, 其中()。证明: 设=, 因为,所以由根式判别法可知函数项级数在上一致收敛。推论4 (根式判别法的极限形式) 设为定义在数集上的函数列, 若一致收敛于, 即, 且, ,对成立, 则函数项级数在上一致收敛。证明: 由一致收敛于 , 取, , 当时, 对一切有,所以,即,又因为,由M判别法知在上一致收敛。 推论5 有函数项级数, 若对, 有, 则函数项级数在上一致收敛。例14 判别函数项级数在上的一致收敛性。证明: 因为,所以由推论5知函数项级数在上一致收敛。4.3 对数判别法定理 (对数判别法) 设为定义在数集上的函数列, 若有存在, 对 则函数项级数在上

20、一致收敛。证明: 由定理条件可知：对使得对, 有,即,则当时, 对成立时, 有而级数当收敛, 而优级数判别法可知函数项级数在上一致收敛. 所以得证。例15 证在上一致收敛。证明: , 因为,所以由对数判别法知函数项级数在上一致收敛。4.4 导数判别法定理 (导数判别法) 设函数列在区间上连续, 可微, 且存在一点使得在点收敛；在上一致收敛；则函数项级数在上一致收敛。证明: 已知在点收敛, 在上一致收敛, 即使得时对有,对有 ,根据拉格朗日中值定理有 介于与之间于是, ),故在上一致收敛。例16 设, , 证在上一致收敛。解： 对于每一个, 易见为上的增函数, 故连续且可微, 对于有,故收敛级数

21、为的优级数, 所以由M判别法知在上一致收敛。故原级数在上一致收敛。4.5 连续性判别法定理 设函数项级数 在区域上点态收敛于, 如果(1) ()在上连续,(2) 在上连续,(3) 对上每个固定的, 不变号, 则 在上一致收敛于。例17 证明 ()的一致收敛性。证明: 由于 ,在R上点态敛于, 在R上连续, 而在R上连续, 对R上每个固定的, 不变号。则由定理12知原级数一致收敛于。推论6 设在上连续, 又在上收敛于连续函数, 则函数项级数在一致收敛。例18 试证 在()内一致收敛。解: 对, 都有,又当充分大时单调递减, 故连续, 和函数在上连续, 故由推论知在上一致收敛。4.6 迫敛性判别法

22、定理 (迫敛性定理) 设, 都有成立, 且和在I上都一致收敛于, 则在I也一致收敛于。证明: 设, , , 因为, 都有,所以, 都有,又级数, 在I一致收敛于, 即, , ,有,及,所以即, , , 有,由函数项级数一致收敛定义知, 在I上也一致收敛于。推论7 已知数项级数, 都收敛, 若存在, 当时有, 则函数项级数于一致收敛。(显然, 当, 则为常数项级数, 则可判断收敛)。推论8 设函数列, , , 在单调, 且及都绝对收敛, 则级数在上一致收敛。4.7 M判别法的推论推论9 设有函数项级数, 存在一收敛的正项级数使得对, 有(), 则函数项级数在区间一致收敛。证明: 已知(), 即有

23、,即 ,从而,又因为收敛, 则也收敛, 由M判别法得函数项级数在区间上一致收敛。注意 我们知道广义调和级数, 当时是收敛的, 故当时, 则有下列推论：推论10 设函数项级数, 若存在, ,则函数项级数在区间一致收敛。例19 证明函数项级数在上是一致收敛的。证明: 对于, 存在收敛的正项级数, 且, 由推论10知函数项级数在上是一致收敛的。总 结函数项级数一致收敛是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要作用。而本论文在给出柯西准则, M判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法以及积分判别法等判别函数项级数一致收敛的同时, 也对函数项级数的定义及基本定理的推广给了更加普遍性的结论, 此外对数项级数的比式判别法, 根式判别法进行推广得到使其适用于函数项级数的一