1.2.1任意角的三角函数

1、1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数sinBCAAB tanBCAAC cosACAAB 1.在初中我们是如何定义锐角的三角函数？在初中我们是如何定义锐角的三角函数？ac bc ab ABCabc复习回顾复习回顾 上述定义只限于直角三角形中的锐角，上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如而现在角的定义已经拓广到任意角，如:?315tan?150cos?120sin000ObaMP yx思考思考1 1：为了研究方便，我们把为了研究方便，我们把锐角锐角放到放到直角坐标系中，在角直角坐标系中，在角的终边上取一点的终边上取一点P P（a，b b），那么，），那么，si

2、n,cos，tan的值分别如何的值分别如何表示？表示？一、任意角的三角函数一、任意角的三角函数22ba r rO OP PraOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的是终边上的任意一点，点任意一点，点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而有关，而与点与点 在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关.P定义推广：

3、定义推广：任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 （单位圆）（单位圆）设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ,则则),(yxP（1） 叫做叫做 的的正弦正弦，记作，记作 ，即，即 ；ysinysin（2） 叫做叫做 的的余弦余弦，记作，记作 ，即，即cosxxcos xy（3） 叫做叫做 的的正切正切，记作，记作 ，即，即 。 tan0tanxxy0 , 1AOyxy yx x, ,P P 正弦、余弦，正切都是以正弦、余弦，正切都是以角角为自变量，以单位圆上点的为自变量，以单位圆上点的坐标坐标或坐标的比值或坐标的比值为函数值的函数。为函数值的函数。以

4、上三种函数统称以上三种函数统称三角函数三角函数例例1、求、求 的正弦的正弦,余弦余弦,正切的值正切的值2335sin yyxO53 53 1123213,22P 12x 32y 2135cos x335tanxy点评：若已知角点评：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角终边与终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。值。32OxyP（x，y）M2332sin2132cos332tan32)23,21(P分析：可得与单位园的交点 ，故练习：求角练习：求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。22( 3)( 4)5r 解解:由已知可得由已知可得

5、例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求，求角角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P 4sin;5yr 3cos;5xr 4tan3yx思考：思考：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，在弧度制中，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？这三个三角函数的定义域分别是什么？三角函数三角函数定义域定义域sincostanRR()2kkZ 三角函数可以看成是以实数为自变量，以实数为函数值的三角函数可以看成是以实数为自变量，以实数为函数值

6、的函数函数.oxy的的终终边边 ),(yxPrMxyoxy的的终终边边 ),(yxProxy的的终终边边 ),(yxProxy的的终终边边 ),(yxPr?tancossin在各象限的符号问题、xyo sin tan cos xyo ry(1)sin rx(2)cos xy(3)tan xyo全为全为+sincostan一全正一全正二正弦二正弦三正切三正切四余弦四余弦三角函数值的符号三角函数值的符号: sin tan cosxyo xyo xyoxyo规律规律:变式变式3：解答下列问题：解答下列问题：(1)若若 ，试指出，试指出 所在的所在的象限；象限；tan0,sin0第三象限第三象限A课堂

7、练习课堂练习D?sin)360sin(有有关关系系吗吗与与 koxy的的终终边边 ),(yxPrMxy终终边边相相同同的的角角与与 360 kxykrxkryk )360tan()360cos()360sin( 由三角函数的定义有由三角函数的定义有 cos sin tan 结论结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等终边相同的角的同一三角函数的值相等.二、三角函数的诱导公式一二、三角函数的诱导公式一:sin2sin kcos2cos ktan2tan k的角）。之间找出与它终边相同到（方法在的角的同一三角函数值到化为正切函数值，余弦正弦作用：可以把任意角的000036003600, 611ta

8、n3;49cos2;780sin1 224cos)24cos(49cos2 336tan)26tan()611tan(3解：解： )360260sin(780sin160sin23例例2:求下列三角函数值：求下列三角函数值：特殊角的三角函数特殊角的三角函数:sincostan00101010角度角 的弧度数00101321233222213231206030459018027036006342322不存在不存在不存在不存在sincossincosxxyxx2、函数、函数 的值域是的值域是( ) .2,4.2,0,2.2,0,2,4.4, 2,0,2,4ABCDsinsin22 1、设角、设角

9、属于第二象限角属于第二象限角,且且则角则角 属于第属于第 象限角？象限角？2.ABCD一二三四BC1.2.2 三角函数线三角函数线当角的终边不在坐标轴上时，我们把当角的终边不在坐标轴上时，我们把 ，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段有向线段OMMP三角函数线三角函数线：用：用有向线段的数量有向线段的数量来表示。来表示。sin(yMPMPrOP 正弦线正弦线) )cos(xOMOMrOP 余余弦弦线线) )tan(yATATxOA 正正切切线线) )yOxPMAT(1) 作出角的终边，画单位圆作出角的终边，画单位圆;作作三角函数线三角函数线的

10、步骤的步骤:(2) 设设的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P，作，作PMx轴于轴于M，则有向线段，则有向线段MP是正弦线是正弦线,有向线段有向线段OM是余弦线是余弦线;(3) 设单位圆与设单位圆与x轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点A，过点过点A作作x轴的垂线与角轴的垂线与角的终边的终边(或其反向延长线或其反向延长线)交于点交于点T，则有向线段则有向线段AT是正切线是正切线.yOxyOxyOxyOxP终边终边 MATPMAT正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线PPMATPMAT1注意： 、正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义。2、正弦线的起点在x轴上，正弦线与y轴平行；余弦线的起点在原点，余弦线在x轴上；正切线的起点在A（1，0）,正切线与y轴平行.3、当正弦线、余弦线、正切线的方向与x轴或y轴的正方向相同时，对应的三角函数值为正值；与x轴或y轴的正方向相反时，对应的三角函数值为负值。例例1. NoImageD例例2. 54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(1与与与与与与比比较较大大小小：-1xy11-1O例例3在单位圆中作出符合条件的角的终边在单位圆中作出符合条件的角的终边: 21sin121y665Zkkk