风险规避下的航空货运期权定价Stackelberg博弈模型

1、系统工程理论与实践Systems Engineering Theory & Practice第30卷第2期20102 月Vol.30, No.2Feb., 2010文章编号：1000-6788(2010)02-0264-08中图分类号：F560.84文献标忐码：A风险规避下的航空货运期权定价Stackelberg博弈模型雷丽彩，周晶(南京大学工程管理学猊，南京210093)摘 要构建了 一个考虑风险规避货运代理商的期权底价两阶段Stackelberg模型，分析航空公司的最优定价决策以及货运代理商的最优期权定购量和购买量.分析结果表明：风险規避贷运代理 商的航空货运运用期权與约可以有效規

2、避成本增加和现货市场运价上涨的风险，提高双方的收莹， 实现社会的帕累托最优.关键词 期权契约；收艾管理；航空贷运；实物期权Stackelberg game model of capacity options forair cargo under risk aversionLEI Li-cai, ZHOU Jing(School of Management & Engineering, Nanjing University, Nanjing 210093, China)Abstract The two stage Stackelberg model is established base

3、d on the assumption that freight forwarders are risk aversion. Then the article analyzes the optimal pricing of the airfreight carrier and the optimal option order quantity and option purchase quantity of the intermediary. The analysis shows that air cargo industry under risk aversion applying optio

4、n contract can effectively avoid the risk of cost increasing and spot price rising and can increase revenue of the whole system and further achieve the Pareto optimal of society.Keywords option contract; revenue management; air cargo; real option1引盲随着电子市场(Marketplace)的兴起，以电子市场为交易平台的现货市场(Spot markets

5、)因其交易灵 活和便捷性而被广泛采用但是在现货市场中，市场上的供求关系直接决定了商品的价格，价格波动较大，因 为往往不能达成交易，使得交易稳定性差;而在传统的契约市场(Contract markets)中,买卖双方通过谈判来 确定商品的交易价格，并且通过签订各种契约以明确双方长期的供求关系.所以供求双方的合作关系较为持 久和稳定,但契约市场往往因其交易刚性而使买卖双方无法从价格波动中获利，因此越来越多的企业开始采 用契约市场和现货市场两种供应和采购手段，这在资本密集型的航空货运行业中尤为广泛.在航空货运业 中，航空货运公司通过与货运代理商提前签订长期的包當协议(通常为六个月期的契约,即契约市场

6、)来销售 一部分舱位;在航班起飞前几天时间内，货运代理商可以根据观察到的货运需求再向航空货运公司购买需求 未被满足的货运舱位，即现货市场.因此在契约市场和现货市场共存时.研究航空货运业如何应用期权契约 充分利用两个交易市场的优点，交易双方该如何制定最优决策的何题显得具有广疙的实际意义.目前关于期权契约等各种供应链萸约的文献很多.Cheng等最早建立了二级供应链的数址弹性契约模 型.SignoreUi等用Benetto公司作为典型案例以说明实施数吐弹性契约不仅可以增加销售商的利润，而 且也可以增加生产商的利润.Eppen等在数於弹性契约的基础上构建了补偿协议模型，对此，Cachon叫 收稿日期:

7、2008-11-06 资助项目：国家自然科学摊金(70371019,70571033)作者简介:宙丽彩(1984J,女,汉,博士研究生，研究方向：收益管理,E-mail: leiBcaiO266系统工程理论与实践第30卷Ferguson等也进行了类似的研究.Anupindi等将数就弹性契约拓展到零售商动态订购的情况；Bas- sok等还研究了多阶段需求下的数虽弹性契约模因；TsayW则建立了多周期数最弹性契约模型.Barnes- SchusterM等通过研究两阶段两产品的期权契约棋型证明运用期权契约能够改善整个系统的绩效.Kleindo rfer（n5等通过调査B2B交易中期权的使用情况，研究

8、了期权如何整合短期和长期契约.Wu（12）最早研究契 约市场与现货市场并存时交易戒方的最优左价和订购策略取得校大的进展郭琼"I通过设计期权契约，研 究电子半导体产业中供应商的最优定价和产能决策以及零售商的最优产品订购卿.Stefan【则等也通过考 虑与经济状态相关的需求、成本以及支付意愿函数进一步拓展Wu的模型.但是目前将期权契约应用于航空货运业中的研究还不是很多，尤其是在国内还鲜有文献涉猎.RoM通 过建立两阶段的运力期权定价模型，将期权契约应用于航空货运业，但是其假设航空公司和货运代理商均为 风险中性，并且假设成本均为已知的不变参数.前述研究大蒂基干风险中性的假设，然而实验经济学

9、家们的研究表明，决策考们很少是风险中性的，所 以在分析货运代理商的订购决策时，只有考虑决策考的风险态度才能真正理解代理商实际的舱位订购行为. 基于此，本文在前人研究的基础上，假设货运代理商为风险规避者,并将航空公司的成本分为长期成本和短期 成本（不失一般性，假设长期成本小于短期成本），建立航空货运业的期权定价Stackelberg博弈模型，并将所 有相关的外生风险因素，如需求、价格波动和成本变动风险包含在模型中.本文构建了航空货运公司的最优 定价和运力分配决策与货运代理商的最优期权购买址决策之间的动态博弈模型，通过相应的数学推导分析, 说明了期权契约在风险共享中的贡献，为双方提供具有实际参考意

10、义的管理策略.2模型说明2.1问题描述本文假设航空公司和货运代理商都是经济人，这就决定了他们在进行决策时都会在给定条件下做出自身 利益最大化的理性选择.在契约市场和现货市场共存的航空货运业，航空公司通过与货运代理商签订期权契 约来提前销書运力，也可以将其过剩运力在现货市场进行销售，从而转嫁部分风险给代理商承担.本文假设 现货市场为完全克争市场，价格只受宏观市场环境的影响.航空公司和货代均为现货市场价格的接受者.但 是在签订期权契约之前，航空公司和货运代理商均无法获得现货市场的价格信息.但由于现货市场运价的波动，航空公司需推断代理商的最优行动，从而制定合理的期权价格并因此合理 分配运力；而代理商

11、需根据航空公司的期权定价来决定期权订购旨和执行量，因此他们之间存在相瓦作用的 博弈行为以最大化自己利益本文将他们这种先后行动的行为描述成如图1所示的两阶段动态博弈模型.图1興约市场磁货市场并存时的两阶段博弈模型（爺头的方向代表活动或支付的方向）将这个两阶段模型看作Stackelberg博弈，作为Stackelberg博弈领导者的航空公司首先在第0期公布 期权费r和期权执行价格T,货运代理商根据这套契约参数来确宦自己的嚴优运力订购童.航空公可根据其 所获得的信息，推断货运代理商的最优运力订购址并据此制定最佳的舱位分配决策.在契约交易日，代理商 根据现货市场的运力价格和期权的执行价格决定其期权执行

12、童和现货市场的运力购买量：当现货市场运价 大千期权执行价格时，代理商将全部执行期权；一旦现货方场运价小于期权执行价格，代理商则放弃执行期 权转而在现货市场购买全部的运力.2.2符号定义r表示单位运力的期权价格(期权费)；=表示单位运力的期权执行价格；w为市场经济状况，代表航空 货运市场需求状况;瓦表示现货市场的单位运价;h(p9)为瓦的概率密度函数；H伉)为p9的分布函数;N 为货运代理商的期权购买呈；K表示航空公司提供的总运力；f表示航空公司发生的单位运力固定成本(如 飞机购买成本，机场维护成本等)；m为航空公司的过剩运力能在现货市场成功找刮相应买家的概率;qe表示 期权执行量;N表示现货市

13、场购买就;bc表示单位产品的长期准备成本(即为满足代理商购买期权而产生的 单位运力成本)；表示单位产品的短期准备成本(航空公司将其过剩运力在现货市场销售时发生的单位运 力成本，包括临时的搬运成本以及各种信息成本等);U(D)为市场的支付意愿(Willingness-topay, WTP)函 数;Dc为契约市场运力需求;D9为现货方场运力需求汀(Q)和F(D)分别为货运需求的概率密度函数和分 布函数.2.3假设说明1) 虽然长期而言，市场经济状况w为不确定的随机变址，但是对于特定的某一时期，市场经济状况是一 个确定的变星.因此本文假设市场经济状况为持定时期的非随机变址.2) 现货市场的单位运价p

14、9为外生随机变堆，完全由市场经济状况w决定而不受航空公司和货运代理 商的影响，且厉关于w单调递增.3) 货运代理両的市场期里收益U(D)可写成:mw) = Z(D)(w).由效月理论可知货运代理商的边 际期望收益关于市场需求D单调递减，因此假设Z(D)关于市场需求D递增且为凹函数以表示U(D)的这 F质;另外假设(w)关于市场经济状况w递煉所以U(D)为增因数且二阶可微网.4) 假设契约市场和现货市场的货运術求均服从正态分布，和 % 为契约市场货运需求的均值和标 准基;“色和6b.为现货市场货运需求的均值和标准差现货市场；运价也爪从正态分布.5) 応空公司'和货运代理商均为完全理性者,

15、且货运代理商为风险厌恶者，所以只有当U(D)大于代理人 的所有成本支岀时，代理商才会签订这项期权契约，否则拒绝签订合约.3 Stackelberg博弈模型的构建将图1的两阶段模型看作Stackelberg博弈，航空公司为领导者(Leader),而货运代理商为追随者(Fol- lower),双方的博弈时间顺序如F：1) 在模型的第0期(契约市场就空公司选择期权费r和期权执行价格z;2) 货运代理商观察到航空公司的期权定价政策(r,x),根据其对市场的预期收益效用函数，选择最优运 力订购最N,并支付期权费3) 在期权交易日(第1期)，货运代理商根据现货市场的运价Ps和期权的执行价格*来决定其是否执

16、 行期权，及期权执行量示和现货市场的运力购买址石并支付执行费毎和现货市场采购成本阪获得其 效用；4) 航空公司支付其长期准备成本和短期准备成本 呵,获得其效用.航空公司可E将其过剩的运力在现货市场进行销售，由于现货市场较高的不确定性,所以设航空公司的 剩余运力能在现货市场适时找到代理商的概率为m(ps)f 0<m< 1且m关于冗递减,即随看现货市场运 价增加，航空货运公司成功销售其剩余舱位的可能性就越小.将航空公司的成本分为长期准备成本瓦和短 期准备成本瓦,通常矗V瓦冋.航空公司的利润函数为nA(r,x-tbe,ba,N) = rN 4- qe(x - Kc) + min(K -

17、N,D9)(p9 - fes)+m - fK其中式(1)第一项表示航空货运公司收到的期权费用;第二项为货运代理商执行期权给航空公司多带来的收 益；第三项为航空公司在现货市场销售剩余货运舱位所获得的收益；第四项表示航空公司运营一架货运飞机 的固定投资.货运代理商的标准拟线性间接效用西数V可丧示成讥祗 N,% N) = U(qe +心-rN-玩十 P,q.式中的U(D)为货运代理商的市场期須收益，根据风险规避货代假设,令其为&(示+N)=出叫咛炖 其中a和0均为正数.第二项为货运代理商支付的期权费用，第三项是其支付的期权执行费用，最厉一项表 #系统工程理论与实践第30卷示其从现货市场购买运

18、力的成本.4 Stackelberg博弈的分析本文利用逆向归纳法来求解上述Stackelberg博弈.首先求解作为追随者的货运代理商的最优行动，然 后将其代入进一步求解领导者航空货运公司的最优决策.4.1货运代理商的晨优决策问题利用动态规划中的逆向推理的方法来求解货运代理商的最优订购决策将货运代理商的问题分成两个阶 段第一阶段:首先求解代理商在期权订购址N和现货市场运价瓦已知时的期权执行莹或和现货市场的舱 位购买址乞决策;第二阶段:然洁再根据第一阶段球的示和乞来求解货运代理商的最优期权订购倣 4.1.1货运代理商最优期权执行和现货市场消费量的组合货运代理商的目标为使其自身的期望效用最大化，即可

19、以表述为下述的优化问题：max EV(qpN)q心8t >0, 9e>0t qt<N, q9 <(3)对规划(3),我们用约束优化中KKT定理(KuhnTuckr theorem)求解最优值(求解过程见附录1),得N,0,到货运代理商的最优期权执行董乞为x<p9x>p9由于货运代理商是风险规避考,其期权购买凰N不会超过当现货市场运价等干期权执行价格x时市场 的需求址0(叭即N S D(x).当期权执行价格z小于现货市场价格p9时,代理商的最优期权执行量/等 于其期权购买最N;当现货市场的运价ps低于期权执行价格z时，代理商从现货市场购买运力会带来较高 的收益

20、，所以其期权执行虽为0,而在现货市场购买所需的全部运力.同理，可求得货运代理商蚁优的现货市场购买值石为石=碣)_N, I 0，UfN) >p9>x p9 > UN) > z(12)269系统工程理论与实践第30卷当期性执行价格R大F现货市场运价Ps时,代理商在现货市场购买的运力为现货市场价格为认时的运 力爲求最当现货市场价格P,大于期权执行价格场如果方场的需求高于期权购买低M代理商则根 据他的支付能力UN)与现货市场运价瓦大小来确定其是否从现货市场购买所需的剩余需求(D(pJ-7V): 当代理商的支付能力大干现货市场运价p9时.即UN) >ps>x.代理商将

21、从现货市场购买D(pJ - N运 力以满足市场的货运需求；一旦现货市场的运价大于零售商的支付能力时，代理商不能从现货市场购买运力 获利.4.1.2货运代理商的最优期权订购量根据规划(3)由所求得的最优期权执行扯©和现货市场购买魅按照货运代理商的期望效用最大化 原则，将求解代理戒的最优期权订购量的过程表示为下述优化问题：max EV(jV,z,r) 8.t. AT > 0(6)根据规划衣得货运代理商的晟优期权购买址N如定理1所述.定理1当航空公司的期权定价政策为(r.x)时,货运代理商的最优期权购买试N可以满足下面这个等式:证明因为規划可以写成:max EV(N, z, r) =

22、 maxU(qc + - rJV - ps(Dc - 所以有EV =E%示 + q9)-rN- EDC p.ha)dpa - xh(p.)dpa bcf(bc)dbc-Th®临.J： Nf(bc)dDc - J：认畑 d认：(Be - N)f(Dc)dbc因为XT 一0隔丽=E匾卜J；讪伉)d瓦所以货运代理商的期望效用函数V可以等价表示成： _AOONzooEV(N,x.r) = E&(示 +a)-rN-p,EDc + J 伉一x)hp9) Dcf(Dc)dbc + 厶 Nf(Dc)dDc =+ /) 一N 一 p.ElDJ + E(pt 一 x)+E min(DCl N)根

23、据式和式(5),将代理商的期望效用函数进一步求解如下=-rN +U(N) 一 psNdh(p + /°° 他一 x)Ndh(p9)Ep = -rN + /+ 豹 一 P,Dh(p,)dp, + j (p,-x)+Nh(p,)dp,UD(p9)-p9D(ps)dh(p9) +将上式对N求一阶偏导数，得到：豁= -r + J；(n)©(N) -padH(pJ + jr°°(p,-x)dH(p.)(1 一丽)d爲-/ (1 一丽)硕0瓦d0®+ir(N)l - H(UN) - / psdHp9) - xl- H(p,) o1- h(p9)d

24、p9进一步求二阶导数，得到 船 = 1- H(0(N)前(N),由于货运代理商为风险规避者，所以前(N) < 0, 因此船 =1- H(0(N)0(N) < 0,所以E0N,0,N)为关于期友购买最N的凹函数.令 需 =0,有T + f E)(1 - h)dp, = 0,因此货运代理商的最优期权购买虽N满足下面的等式： rVN.r = J(1 _ 屈)d瓦进一步我们可以得到货运代理商的最优期权才购R N的性质如定理2所示.定理2货运代理商的最优期权订购當N关于期权执行价格z和期权价格r严格单调递减.证明 将定理1的式用莱布尼茨公式(Leibniz5 rule,关于莱布尼茨公式请见附

25、录2)分别对期权执 行价格x和期权价格r求全微分，得到：.&N1药=17(冋1 - W(N川< °(10)时1 - h(x),麺=17(用)1 一 昭的)V °显然，最优期权订购虽N，关于期权执行价格x和期权价格r严格单调递减.由定理2可知货运代理商的最优期权订购墩N，为期权执行价格z和期权价格r的减函数，因此当航 空货运公司增加其期权价格和期权执行价格时,代理商的最优期权订购册就会相应减少.4.2航空公司的最优定价决策问题在契约市场和现货市场共存的航空货运销售中，航空公司决策的堆点在于如何制定合理的期权价格政 策，从而使其自身的期望利润最大化.如果航空货运公

26、司制定的期权价洛过高.货运代理商可能会减少其期 权订购从而降低航空公司的收益.在契约交易日，如果期权执行价格高于现货市场的运价，货运代理商会 放弃执行期权从而在现货市场购买其运力，而航空公司在现货市场成功销售其剩余絵位存在一定的风险；反 之，若期权执行价格过低，则会賊少航空公司的收益.因此，按照航空公司期望於润最大化原则，得到如下规 划问题：_max En>(r,x;N) = maxEr7Ve +- 瓦)+ min(K - NJ 万J伉一 fKr,x2(11)s.t.r > 0. a; > 0根据所得到的式子 ,式(11)可以重芟为下式：nA =rN + 9 - bc) r

27、Nf 伉)d瓦 + m(pf -K-N产1K-NEJ(B)d$ +(K - N)f(Ds)db9 一 fK(12)272系统工程理论与实践第30卷用KKT定理求解规划)，可以得到航空公司的最优期权执行价格丹和最优期权价格埒如定理3 所述：定理3当契约市场和现货市场并存时,航空货运公司的最优期权执行价格疋以及最优期权价格r-满 足下面的方程组：N+ + (刃-Mil - 0(先)- m(pa-b.rl -他，册网和占顾硕 +【1=0(13)(14)(15)(16)(17)苗1 -巩/)卜(x-瓦)警 + -m血- &,)+(1 - 0(欣十)“的；1?站,(护罚+ " 0W00

28、 = 0/i > o J2 > 0,> 0, r* > 0证明用KKT定理求解有约束的规划问题(11)的最优解，巳知拉格朗日函数为拉格朗日函数的一阶最优条件为 hr = 0; l2x = 0;非负条件：/1 > 0; Z2 > 0; r > 0; x > 0.根据假设条件得知货运需求服从正态分布，根据式(12),可以得到航空货运公司的期望利润关于r和z 的一阶偏导数分别为：其中 Zx =专尹，0(斑)=fWtt将式命式(10)分别代入式子(20)和式(21),然后再将他们分别代入式子(18)和(19)就可以得到 式(13)和(14),所以定理3得

29、证.定理3包含了以下四种可能的情况：h = 0；" > 0,根据定理3得知航空货运公司此时的最优定价策 略为：严> 0;才=0,则此时双方签订的是订舱址固定的契约(Fmitment contract),即只存在刚性 的契约市场；h > 0;仏=0,决策变最的最优值为八=0;h > 0,这时航空货运公司接受所有的舱位预订而 不收取任何的预订费用，即此时只存在现货市场；“ =0;倍=0,此时决策变於旳最优值为r- > 0;h > 0, 此时现货市场和契约市场并存，双方签订的契约是期权契约；®/i> 0;Z2 > 0,得到严=0;h

30、 = 0,这只是 一个理论上的最优解.没有实际的经济意义航空公司可以利用定理3来制定其期权价格和期权执行价格，使期权执行价格z等¥或小于其单位运 力的长期准备成本，而通过设定合理的期权价格r来弥补其因保证货运代理商的期权订购比而使其运力无 法在现货市场销售而导致的机会成本，从而保证自己能获得一定的收益，而且增加期权执行价格比增加期权 价格更容易使货运代理商降低其对期权契约的期望价值：因为只有当期权执行价格低于现货市场运价时,货 运代理商才执行期权，增加执行价格将增加代理商的采购成本，从而使其更有可能转向现货市场.A/ *（4-）帧”P图2期权费的两个组成部分图2显示了航空公司最优期权

31、价格卢的两个主要组成 部分：黑色阴影部分代表在契约市场销售运力的机会成本; 条纹部分表示边际成本高于期权执行价格的风险.因此航 空公司主要利用期权价格来规避两个方面的风险：成本增 加的风险和现货市场运价上涨的风险.5小结本文考虑货运代理商为风险规避者，构建契约市场和 现货市场并存时航空货运业用期权契约的两阶段Stackeb berg博弈模型.求碍了航空公司的最优定价和运力分配决 策，以及货运代理商的最优期权购买址使航空公司和货运 代理商协商设计恰当的期权契约模型，从而充分利用电子市场和契约市场的优点，运用期权契约有效规避成 本增加和现货市场运价上涨的风险，提高整个合作系统的收益，节约社会成本，

32、进而实现社会的帕累托最优.在本文研究的基础上还有许多相关问题值得进一步讨论，如均衡条件下双方的最优决策问题.并且鉴 于篇幅限制，本文仅进行了理论推导，关于实证研究，另文再述.釜考文献1 E>Marketplaces will lead US business e-commerce to $2.7 trillion in 2004(Z. Press Release, Forrester Research Inc., Cambridge, MA, 2000.2 Cheng F, Ettl M, Lin G, et al Flexible supply contracts via option

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41、N -五一 P.Q. 4 h(N 兀)+ I五 + l3qe + 厶(方。血)-示).e®-陌皿)一丄-/+3严-0+£) _瓦+人_ “ = 0dL对拉格朗日函数分别求兀和N的一阶偏导数，并令之等F 0,有互补条件：H(N-心=0隔=0, l3qc = 0,【4(隔)-9,) = 0. 非负约束：/i>0(t= 1,2,3,4),> 0, AT - > 0, qe > 0, D. - g. > 0.下面分情况来讨论：当/)= 0 ,/2 = 0, Z3 > 0 J4 = 0时，得到解：乞=0,此时伺x > p<D当 h &g

42、t; 0J2 = 0J3 = 0山=0时，有x<p则最优解为0 = N;由情况和O可以得到公式(4).当 Zi = 02 = 0J3 = 0J4 > 0 时，有 x>p 可得最优解乞=E血);©当 <i=0,lj> OJ3 = OJ4 = 0 时，有 x <无 此时的最优解乞要分为两种悄况进行讨论：当货运代理商的边际支付能力鶉 大于现货市场的运 价觴即Uf(N) >ps>x代理商从现货市场购买运力仍然能够获得大于卑的边际利润，因此他将从现货 市场购买D(pt)-N的运力以满足市场上的货运需求，所以E = D9(ps) - N;当代理商的

43、支付能力 鶉 小 于现货市场运价瓦时，代理商在现货市场购买舱位将会产生负的边际利润，他在现货市场购买的运力越多, 其面临的亏做就越大，所以最优解为乞=0養厂gz)dx =广A(x)Ja(i)附录2莱布尼茨公式 薯dx + /(b(z),z)鲁 一 /(a(z),z；务mHnsig1 1 11 1 WANiFANGDATA X_风险规避下的航空货运期权定价Stackelberg博弈模型作者：雷丽彩，周晶，LEI Li-cai , ZHOU Jing作者单位：南京天学,工程管理学院南京,21009刊名：系统工程理论与实践|忖Tit |曰|泅英文刊名：SYSTEMS ENGINEETHEORY & PRACTICE年，卷(勒：2010,30(2)参考文献(17条)1.E-Marketplaces will lead US business e-commerce to $2.7 trillion in 200420002. Cheng F.