选修2-3：1.3.2二项式系数的性质 (共26张)

1、人教人教A A版选修版选修2-32-3第一章第一章复习回顾复习回顾: :二项式定理及展开式二项式定理及展开式: :二项式系数二项式系数），（nrCrn210通通 项项rrnrnrbaCT11301122 2(),nnnnn nnnnna bC aC a b C abC b012321nnnnnnnnnnCCCCCCC，(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)601C02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C二项式系数的性质二项式系数的性质10nC二项式系数表

2、二项式系数表11C111211331146411510 10511615 20 1561(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？）上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? ?a).表中每行两端都是表中每行两端都是1。b).除除1外的每一个数都等外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=当当n n不大时，可用该表来求二项式系

3、数不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+= 3C25C24C14+= 10因为：因为：二项式系数的性质二项式系数的性质1112113311464115101051161520156121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C详解九章算法详解九章算法记载的表记载的表杨辉杨辉 三角三角杨辉杨辉 以上二项式系数表以上二项式系数表,早在我早在我 国南宋数学家国南宋数学家杨辉杨辉1261年所著的年所著的详解九章详解九章算法算法一书里就已经出现了，这个表称为杨

4、辉三角。一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在在详解九章算法详解九章算法一书里，还说明了表里一书里，还说明了表里“一一”以外的以外的每一个数都等于它肩上两个数的和每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。世纪。在欧洲，在欧洲，这个表被认为是法国数学家这个表被认为是法国数学家帕斯卡帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角

5、的发现要比欧洲个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左早五百年左右右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第第1行行第第2行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561先增后减先增后减mnnmnCC 对称对称函数定义：函数定义：如果如果A、B都是非空数集都是非空数集，那那A

6、到到B的映射的映射f f ：AB就叫做就叫做A到到B的函数的函数。可看成是可看成是集合集合0，1，n 到到二项式系数的集合二项式系数的集合的映射。的映射。 对于二项式系数对于二项式系数，r与与 之间也有对应关之间也有对应关系，系，即：即：rnCr 0 1 2 r nrnC0nC1nC2nCrnCnnC二项式系数与函数二项式系数与函数 从映射、函数的观点看，从映射、函数的观点看，二项式系数二项式系数可可以看作是一个定义域为以看作是一个定义域为 0，1，2，n n的函数当自变量从小到大依次取值时对应的函数当自变量从小到大依次取值时对应的的一列函数值。一列函数值。 即：即：r是自变量，是自变量，r

7、r自变量自变量二项式系数二项式系数是函数值，是函数值，组合数公式组合数公式就是相应函数的解析式。就是相应函数的解析式。)(xfy 123二二式式函数值函数值rnC二项式系数与函数二项式系数与函数当当n=6时，二项式系数时，二项式系数 （0r r6）用图象表示：）用图象表示：7个个孤立的点孤立的点13n12322nrC6Or f ( r )6361420 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等1 1：对称性：对称性2 2：增减性与最大：增减性与最大值值先增后减先增后减关于r= 3对称06，共，共7项，项，r=3时取得最大值时取得最大值21 nf（r）n为奇数

8、；为奇数；如如n=721 n2nf（r）rnO6152013n为偶数；为偶数；如如n=62n20103035On743关于关于r=n/2对称对称r=3和和r=4时取得最大值时取得最大值 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等性质性质1 1：对称性：对称性性质性质2 2：增减性与最大：增减性与最大值值先增后减先增后减u当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 的二项式系数的二项式系数 取得取得 最大值最大值 ；2nnCu当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 二项式系数二项式系数 和和 相等，且相等，且 同时取得最大值。同时取得最大值。 Cnn

9、21 Cnn21mnnmnCC 即 Tn12 即 和Tn121 Tn121 21 nk当当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。2nnC 当当n是是偶数偶数时，时，中间的一项中间的一项 取得取得最大最大时时 ；21 nnC21 nnC当当n是是奇数奇数时，时，中间的两项中间的两项 ， 相等，且相等，且同时同时取得取得最大最大值。值。由于由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)k (k-1) =Ck-1nkn k + 1Ck-1nkn k + 1Ckn

10、所以所以相对于相对于的增减情况由的增减情况由决定决定由于由于kn k + 11kn + 12因而因而2.增减性与最大值增减性与最大值 且奇数项的二且奇数项的二项式系数和等于偶数的二项式系数和项式系数和等于偶数的二项式系数和性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和nnnnnCCCC 210二项式系数的性质二项式系数的性质 nx）（ 1xCn122xCnnnnxC0nC + + + +令令x=1：赋值法赋值法令令x=-1：nnnnnnCCCC）（1210 也就是说也就是说, (1+x), (1+x)n n的展开式中的各个的展开式中的各个二项式系数的和为二项式系数的和为 ，12n 0241

11、3=nnnnnCCCCC024130nnnnnCCCCC （）（）回顾例题回顾例题例例1、证明、证明（a+b）n 的展开式中，奇数项的二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明证明:011222(),nnnnnnnnnnabC aC ab C abC b对于0123(1 1)( 1)=11,nnnnnnCCCabC 则：令,012340( 1),nnnnnnnnCCCCCC 即：024135,0nnnnnnCCCCCC即：024135+,nnnnnnCCCCCC于有：是所以（所以（a+b）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等

12、于偶的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。数项的二项式系数的和。上述证明过程中上述证明过程中用到了什么方法？用到了什么方法？赋值法变式练习变式练习1：-2-10941093723670123671267135702460127(1 2 )=2=3=4 | | | | | | |=xaa xa xa xa xa xaaaaaaaaaaaaaaaa已知则：1）(1-2x)15的展开式中的展开式中各项系数各项系数和是和是_(1-2x)15的展开式中所有的展开式中所有二项式系数二项式系数和是和是_变式练习变式练习2：371521 一定要看清楚：各项系数，二项式系数各指什么！a0

13、,a1 ,a2, 这是系数的关系精选ppt解：解： 02413024130123401234() ()() ()aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa原原式式 4012344012344422 41(23)1( 23)(23) ( 23)( 3)2 1xaaaaaxaaaaa 令令令令原原式式4432012342202413(23)()()xa xa xa xa xaaaaaa若若求求拔高练习拔高练习：652310110123101112101102410(1+ ) (1 2 )=2+=xxaa xa xa xa xa xaaaaaaaa若则：1）拔高练习拔高练习：65 32 证明略例例5.

14、若若 的展开式中，所有奇数项的展开式中，所有奇数项 的系数之和为的系数之和为1024，求它的中间项，求它的中间项.解：解：展开式中各项的二项式系数与该项的展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等的系数相等由已知可得：由已知可得：2n-1=1024解得解得 n=11，有两个中间项分别为有两个中间项分别为T6=462x-4，T7=462x 1561 35211()nxx+123n 求解二项式系数和时，灵活运用赋求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取时取1 1，1 1，0 0。例题讲解例题讲解2223222632 13 1(3)2

15、,222992,=51=56T90T270nnnnnxxnnxx解：展开式中各项系数和为二项系数之和为 ，由得（）时，展开式一共 项，二项式系数最大的项为第三、四项，则：，例例2、已知：、已知： 的展开式中，各项系数和比它的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大的二项式系数和大992。（1）求展开式中）求展开式中二项式系数最大的项二项式系数最大的项（2）求展开式中）求展开式中系数最大的项系数最大的项223(3)nxx例题讲解例题讲解例例2、已知：、已知： 的展开式中，各项系数和比它的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大的二项式系数和大992。（1）求展开式中）求展开式中二项式系数最大的项

16、二项式系数最大的项（2）求展开式中）求展开式中系数最大的项系数最大的项223(3)nxx1110 4551315111+25510 4 42644334 152133TTT=3TT3379=422T=3=405rrrrrrrrrrrrrrrrrxrrxx （ ）设展开式中系数最大的项为第项,则有：CC，又由C有:，CC解得：，即展开式第五项的系数最大，即：C解：练习练习2、求：、求： 的求展开式中系数最大的项的求展开式中系数最大的项7(2 )xy1、已知：、已知： 的展开式中所有二项系数的展开式中所有二项系数和为和为128，则展开式中二项系数是最大的项，则展开式中二项系数是最大的项3*21()

17、 ()nxnNx645=78T35T35nxx 解：，展开式一共 项，二项式系数最大的项为第三、四项，则：，11771177525255 171221316=53322T=2=672rrrrrrrrrrrxyx y设展开式中系数最大的项为第项,则有：CC，解得：，即CC展开式第六项的系数最大，即：C （）解：提高：提高：1、求、求 的展开式整理过后的常数的展开式整理过后的常数项是多少？项是多少？*1(2) ()2nxnNx101105 11( 2)=563 2T=2rrrrrTxr设展开式中常数项为第项,则有：C，解得：展开式第解：六项为常数项，即：精选ppt所要求的各项系数的和就是所要求的各

18、项系数的和就是a0+a1+a2+a60.又将又将x=1代入得代入得 f(1)= a0+a1+a2+a60=(31+23)8(35)4(742)6=16. 各项系数的和为各项系数的和为16.1 1、在、在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式系数相同展开式中，与第五项二项式系数相同的项是的项是( ).( ).C课堂练习课堂练习: :A.A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5 5项和第项和第7 7项项CA.A.第第1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项2 2、在、在(a(ab)b)1111展开式中，二项式系数最大的项展开式中，二项式系数最大的项( ).( ).4，化简 + + + +15C25C35C45C55C=52 1 3 3， 已知已知 展开式中只有第展开式中只有第1010项二项式系数最大，则项二项式系数最大，则n=_n=_。 nxx 43118小结小结: : （2 2） 数学思想：函数思想数学思想：函数思想a a