大数赛《解析几何》第五章培训讲义

1、大学生数学竞赛解析几何培训讲义第五章 二次曲线的一般理论、本章知识脉络框图二、本章重点及难点二次曲线属于平面解析几何的内容。在中学我们已经对二次曲线的各种具体表现形式做了比较多的研究，如椭圆、双曲线、抛物线等。在这一章，我们主要是对所有的二次曲线作 一个一般理论上的研究。本章的重点是：二次曲线与直线的交点；二次曲线按中心分类、二次曲线按渐近方向分类； 二次曲线的中心、渐近方向和渐近线、主方向和主直径； 化简二次曲线本章的难点是：主方向和主直径； 化简二次曲线 利用二次曲线的不变量解决有关问题 三、本章的基本知识要点1将二次曲线的一般方程表示为双线性式：F3(x, y) 0F(x, y) xFi

2、(x, y) yF2(x, y)其中 F(x, y) aiix2ai2xy2a22y2ai3x 2a23y a33Fi(x,y)aiixai2yai3F2(x,y)ai2xa22ya23F3(x, y)a23 ya33也可以表示成短阵形式:F(x, y) x, y,i A yiai1ai2ai3其中矩阵A是个对称矩阵a21a22a3ia32a23 , aijajia332.将直线lx X°y y。tY代入二次曲线的方程中，得到(x,y)t22Fi(x0, y0)X F2(x0,y0)Y t F(x0, y0) 0其中（x,y）2 2aiix2ai2xy a22yFi(x°,

3、y°)X F2(x°,y°)Y(X,Y)F(Xo，y。)0通过方程的系数的讨论，直线与二次曲线的位置关系如下：(1) (x, y) 0, >0直线与二次曲线有两个不同的实交点(2) (x, y) 0,=0有一对相重合的实交点(3) (x, y) 0, v 0没有实交点(4) (x, y) 0,XFi(X0,y°) YF2(X0,y°) 0直线与二次曲线只有一个实交点(5) (x, y) 0, XFi(X0，y0)丫卩:仇以)0,卩亿小)0直线与二次曲线没有实交点(6) (x, y) 0, XFi(X0，y0)丫卩鸟侃。)0,卩侃以)0 直

4、线落在曲线上3.在二次曲线上一点 Mo(x。，yo )处的切线方程xFi(X0,y°) yF2(X0,y°) F3(x°, y°) 04.满足 (X,Y)0的方向 X,Y 称为二次曲线的渐近方向， 按渐近方向可以将二次曲线分成三类：(1) I 2>0 :椭圆型、(2) I 2=0 :抛物型(3) I 2 v 0：双曲型.ai1ai2a21 a22Fi(X0,y0)0的点(x o, yo )称为二次曲线的中心，按中心也可以将二次曲F2(x°,y°)00 :中心曲线(2)並亚亚：无心曲线ai2322923其中I25.满足线分为三类:

5、(1) Ia12a22a23F1（x°, y°）06.满足 F2（x°,y°）0的点(x。，y。)称为二次曲线的奇异点，二次曲线在奇异点的F3（x°, y°）0（3）ai2ai3:线心曲线.切线不确定7. 二次曲线的直径是二次曲线的对称轴.(1)中心曲线无实的渐近方向，对任意方向X,Y的直径为XF'x,y) YF2(x,y)0(2) 无心曲线的直径平行于曲线的渐近方向.(3) 线心曲线只有一条直径：aux a12y a13 08. 二次曲线的与非渐近方向X : Y共轭的直径方向X : Y(ai2X a22Y): (anX aY

6、)叫做非渐近方向 X : Y的共轭方向，具有共轭方向的直径称为共轭直径.9. 与共轭方向垂直的方向称为主方向，具有主方向的直径称为主直径X : Y成为二次曲线的主方向的条件是an X a2丫 a12 Xa22丫X（5Y1）a1a2由特征方程0a12a22即2 Il丨20解出 再代入(5 1)就可求出曲线的主方向其中11ana?210. 化简二次曲线的方程(1)用坐标变换化简二次曲线的方程如果曲线为中心二次曲线可以求出中心作新坐标系的原点进行移轴消去二次曲线方程的一次项，然后再通过使转角满足cot 2a222a12的转轴变换消去二次曲线方程的交叉项；如果曲线是无心曲线，则先作使转角满足cot 2

7、a11 a222a12的转轴变换消去二次曲线方程的交叉项，然后再通过对方程配方的方法找出移轴公式进行移轴化简方程；如果曲线是线心曲线，可以通过分解因式的方法化简利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，它有一个几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次确定的主方向为X : Y，那么曲线的主方向平行的位置这是因为如果二次曲线的特征根 由(5 1)可以得tanai2aiii22cot2i tan21a222ta n2ai2所以a22iai2aiia22ai2aiia22ai2a222ai22a12a22因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方程，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径(即对称轴)重合的

8、位置.如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合； 如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任 何一个中心重合.因此，二次曲线的方程的化简，只要先求出曲线的主直径，然后以它作为 坐标轴，作坐标变换即可.(2)用曲线的不变量和半不变量化简二次曲线的方程在直角坐标变换下，I i, I 2,1 3都是不变量;Ki0是半个不变量所以可以通过二次aiiai2ai3曲线的系数矩阵A求出二次曲线的标准方程.其中a2ia22a23a3ia32a33如果曲线为中心二次曲线,从特征方程Ii0求出2就可以写出曲线的简化方程为 ix22 y2如果曲线是无心曲线，简化方程为iiy2

9、|3x 0.如果曲线是线心曲线，简化方程为IiyKiii四、基本例题解题点击【例i】作转轴变换，消去二次曲线xyy2 2x 4y0中的xy项，求转角aa【解】因为作使cot 21122的转角就可以消去二1次曲线方程中的xy项2a121 1所以cot20，14【例2】求二次曲线3x2 2xy 3y2 4x 4y 40的简化方程.【提示】因为只要求曲线的简化方程,不要求画图因此可以用二次曲线的不变量来解【解】因为|2318 0，所以曲线为中心曲线1331 2I13 36,丨313264224从特征方程 2I11 20即2680求出 12，24简化方程为1X22亍上 0，解得简化方程为X2 2y2

10、4 0I 2【例3】作移轴变换，消去中心二次曲线x2 2xy 2y2 2x 4y 0中的一次项,求新原点的坐标1 1【解】因为I210，所以曲线为中心曲线.1 2只要求出曲线的中心作新坐标系的原点进行移轴就可以消去二次曲线方程的一次项解方程组y2y求得曲线的中心坐标为00，1)【例4】如果二次曲线x2 6xy ay23x 9y40是线心曲线，求a的值.【解】因为二次曲线为线心曲线的充要条件是a11a12a13a12a22 a231所以丄3求出a【例5】 求二次曲线x2 + 2xy+ y2 +3x+y = 0的渐近方向【解】因为满足 (X,Y)0的方向 X,Y 就称为二次曲线的渐近方向所以只要解

11、方程X2 2XY Y20就可以求得二次曲线的渐近方向2y 2x 3y 10对于方向1, 1共扼的直径.因此已知二次曲线只有一个的渐近方向X :Y 1: 1【解】将二次曲线表示成矩阵形式：1012x13x,y,11y2231112由方程组1y 10213xy022【例6】求二次曲线xy0解出中心坐标为(1,2)设与方向1, 1共轭的方向为X ,Y1 3由共轭方向之间的关系得一X -Y 02 2所以X ,Y 3,1因此二次曲线的对于方向1, 1共扼的直径为【例7】求二次曲线4x2 4xyy2 8x 8y 40的主方向和主直径【解】二次曲线的矩阵形式为424xx,y,1214y 044410，所以该

12、曲线为非中心曲线由于I由特征方程(5)0解出15, 20.分别将15,20代入线性方程组解出对应的主方向为2,1因此曲线只有一条主直径，方程为XiYi1,2.其中1,2是渐近主方向.2(4x2y 4)(2xy 4)o即 10x 5y 40【例8】设二次曲线a11x2 2a12xy2a22ya330表示两条平行直线，证明这两条直线的距离为【证明】 因为二次曲线表示两条平行直线，故有13 0,K1 v 0,从而该曲线为线心曲线，其简化方程为12K1I1K1I12所以两直线的距离为 d 2K1I124K1I12五、扩展例题解题点击【例1】 证明二次曲线x2 xy y2 2x 4y 0为中心二次曲线，

13、且直线7x y 20通过该中心。【提示】I?0曲线就是为中心二次曲线.求出中心坐标代入直线方程，如果满足直线方程，那么该直线就通过中心 【例2】证明二次曲线(ax by c)20上的每一点都是奇异点.【提示】用奇异点的定义【证明】 二次曲线可以表示为a ab acx, y,1 ab b2 be ac be e2由于对于二次曲线上的点2F1 (x, y)a x aby2F2(x, y) abx b yF3 (x, y) aex beyxy o1(x,y)，下面各方程aea(axbye)0beb(axbye)02ee(axbye)0是恒等式，故任意的（x,y都成立，所以二次曲线(ax by e)2

14、0上的每点都是奇异点【例3】 求二次曲线2x2 5xy 3y2 3x y 20的渐近线【解】二次曲线可以表示成短阵形式1 y> X,2 5-23-25-23 1 - 23-21-22由方程组c 53c2x y 0 2 25 c 1 cx 3y 02 21319解出中心坐标为(，)4949又由(X,Y) 2X2 5XY 3Y20，解得渐近方向为x,：y 1： 2,x2 ：y23:113191319xyxy因此渐近线为4949和49491231【例4】 求平面直角坐标变换将二次曲线x2 2xy y2 2x y 0化简为标准方程【提示】有两个方法化简一个是转轴移轴分别作；另一个是求出主直径就可

15、以求出坐标变 换公式化简方程下面给出一个解法【解】二次曲线的矩阵形式为111 x1x, y,1112 710110由于I121 1112,丨21 10，所以该曲线为非中心曲线由特征方程22(2) 0解出12, 20.分别将12, 20代入线性方程组1i1Xii 011iY解出12,对应的主方向为1,1因此曲线只有一条主直径，方程为(x y11) (x y -)0求出主直径与曲线的交点，即曲线的顶点为兰），所以过曲线的顶点且以非渐近16主方向为方向的直线为3 15xy血垃即x y 31 1 8这也是过顶点垂直于主直径的直线,取主直径y -0为新坐标系的x轴，而过4顶点垂直于主直径的直线0为y轴作

16、坐标变换，它的变换公式为9y 823x y _42解出x, y2x2、 2x2316'1516'2Ty2Ty代入已知方程，经过整理得2y 2化为标准方程2x4【例5】已知二次曲线的方程为 x22xy y2 2x 2y0.证明:1.二次曲线为线心曲线2.二次曲线的简化方程为2y2【证明】1.二次曲线的方程为x22xy2x 2y 3I20,丨3由于I 2 I 30，所以曲线表示线心曲线2.1 11 11313I12,K1简化方程为I22 K11y匚0即 2y 240【例6】证明以直线A1xBjyC1为渐近线的二次曲线方程总能写成(A1x B1 y C1)( AxBxC)【证明】设以

17、直线A1xC1为渐近线的二次曲线方程为F(x, y) a“x22a12xy2a22y2a13x2a23 ya330它的渐近线方程为(x x0, y y0) 0其中(xoy。)为曲线的中心，因为(x x°,y y°)是关于x x°,y y的二次齐次式，所以它可以分解成两个一次式之积，从而有(x X。，y y0)=(Ax B1 y CJ(Ax Bx C)22(x x°, yy°)=a11(xx0)2a12(xx0)(y y0)a22(yy0)=a11x22a12xy2a22 y2(anxai2yo)x2(ai2xoa22 y0 )2 aii x&#

18、176;2ai2x0y02a22 y0因为(xo, yo)为曲线的中心，所以 aux。 ai2yoaax。 a22y°a令(x0,y。) a33D代入上式得F(x,y) = (x x°,y y°) D即 F (x, y) = (A1x B1 y G)(Ax Bx C) D故以直线Ax Biy Ci 0为渐近线的二次曲线方程可写成：(A1x B-i y C1)(Ax Bx C) D 0【例7】试证明二次曲线两个不同特征根确定的主方向相互垂直【证明】设12，由它们确定的主方向分别为 Xi：Yi与X2 : Y2，则有an X1a2丫11X1ai1X2ai2Y22X2a1

19、2 X1a?2丫11 Yi与a2 X 2a22Y22Y21X1X21丫|丫2 (On Xiai2丫1 )X2(ai2 X1a22丫1)丫2所以 1X2 盹丫2)X1 (ai2X2a22Y2 )丫12X2X12丫2半故有（i2XX1X2 丫丫2）0因为12，所以X1X2 丫1丫2 0,故两个主方向 Xi ：Yi与X2 :Y2相互垂直【例 8】试证二次曲线 a11x22a12xy a22 y22a13x 2a23ya330是一个实圆的充要条件是I124I2,I113v 0.【证明】因为圆为椭圆的特例，故二次曲线是一个实圆的充要条件是I 2 >0 , I 11 3 V 0,且简化方程0中的12，所以特征方程2I1I 20的判别式I1241 20.所以有I124I 2，此时有1因此方程又可简化为 x2213I1I22I3由于I 2 >0 ,1ll 3 V 0可得 ->0，曲线为实圆1 11 2故该二次曲线是一个实圆的充要条件是I； 4I2, l1l3v 0.六、本章训练题及提示【训练题1】已知二次曲线的方程为X2xyy2 2x 4y