海岸工程教学专用波浪理论实用教案

1、ppkz方程（-35）简化为： (7-36)方程(fngchng)（7-35）或 (7-36)只适于 z0 的区域讨论(toln)： 当z1时（-35）对于的正值无效。因小振幅波的近似(jn s)，即自由面条件（动力学条件）式（7-11）中用=代替了=上式第一项为波动压强，第二项为静水压强。上式第一项为波动压强，第二项为静水压强。 1. 当z 1时（初始平面以下所有深度） kp 第1页/共40页第一页，共41页。1pkp2.当时(7-37)压力压力(yl)分布与取正值的静水压力分布与取正值的静水压力(yl)分布分布规律相符规律相符 3.当时1cosh pkkhcosh phkh(7-38)即底

2、部的静水压力为/ 在波谷(bg)下（为负): 底部压力大于静水压力 cosh hhkh因为（739）第2页/共40页第二页，共41页。在波峰(bfng)下（为正):底部压力小于静水压力 若已知水平面以下某处的压强(yqing)，可以反过来预测波高。 底部压强(yqing)随时间和位置的变化将引起流体在砂床这类疏松介质中的流动。实际流体中会引起波能的粘性耗散。co sh hhkh(7-40)第3页/共40页第三页，共41页。第4页/共40页第四页，共41页。第5页/共40页第五页，共41页。- -波群与波群速波群(Wave Group )：多种不同频率(pnl)的波叠加在 一起形成的波。1sin

3、()akxt2sin()ak xt设和为两个(lin )简谐波为：12sin() sin()akxtkxt而kk，a, T相同(xin tn)，2 cos()sin()2222k kkkaxtxt （741）迭加后得合成波:第6页/共40页第六页，共41页。因，上式可近似(jn s)为使合成波列具有波长(bchng)/，周期/和波速（相速度）/；2 cos(sin()22kxtkkaxt(7-42)合成(hchng)波由两部分组成：sin(kx-t) : 负责调制合成波的波长与周期负责调制合成波的波长与周期第7页/共40页第七页，共41页。振幅调制波具有(jyu)较合成波列大得多的波长和周期k

4、dd k振幅调制波的传播速度 ,与合成波列的传播速度 不相同。2 cos()22k kat : 负责调制合成波列的振幅负责调制合成波列的振幅 gdCk kdk 4 4kk波长为 , 周期为 , 传播速度为振幅调制波2 cos()22k kat 的振幅在 2a之间随时间和空间作周期性变化。第8页/共40页第八页，共41页。振幅调制波将合成(hchng)波列分成振幅由小到大，又由大到小的一群。包络线将合成包络线将合成(hchng)波分成一个个波群。波分成一个个波群。群波的长度为：2k合成(hchng)波列称为波群（wave group) 第9页/共40页第九页，共41页。合成波列具有两个速度: 相

5、速度C群速度Cg合成波列以相对速度(xin du s d)(C-Cg)进入振幅调制波的节点, 振幅从零逐渐加大到2a,又逐渐减小到零。 群速度：振幅调制波的传播速度为这一群波的 前进(qinjn)速度。第10页/共40页第十页，共41页。振幅调制振幅调制(tiozh)(tiozh)波以群速度波以群速度CgCg传传播播Cg等于波能的传递速度(sd)（待续）群速度：()gdddCCCkCkdkdkdk(7-43)2tanh gCkhk由(7-23)式 两边对k求导得：22222tanh cosh coshdCghgghCCkhdkkkhkkkhk212 c o s h2d Cg hCd kCkk

6、hk所以：第11页/共40页第十一页，共41页。222111(1)2c o sh22c o shgg hCg hCCCCk hCk h上述(shngsh)结果代入（-）式：利用(lyng)(-3)以及sinh2x = 2sinhx coshx，202LLh适用于2gCC 深水波:(7-45)20sinh2khkh（因为 ）波群速为单独波群速为单独(dnd)水波前进速水波前进速度之半度之半12(1)2sinh2gkhCCkh上式简化成:(7-44)第12页/共40页第十二页，共41页。21sinh 2khkh极浅水波 ( 因 ):12(1)2sinh2gkhCCCghkh (7-46) 波群速与

7、单独波群速与单独(dnd)水波前进速水波前进速度相等度相等第13页/共40页第十三页，共41页。- - 船 波Kelvin计算了以等速U前进的压力(yl)点的兴波情况, 波系见下图, 图中为波峰线。22/LUg横波波长 : (7-47)第14页/共40页第十四页，共41页。横波和散波互相干扰并随同压力(yl)点一起前进。 船首、船尾形成前、后驻点。驻点处流体的动能转变成压能, 该处压力升高,可认为该点的造波作用(zuyng)与压力点相同。 第15页/共40页第十五页，共41页。船舶航行(hngxng)首尾各有一Kelvin波系见下图：船舶(chunb)所遭受的兴波阻力与首、尾两个横波系之间的干

8、扰有很大关系。第16页/共40页第十六页，共41页。兴波阻力系数曲线上的“峰”和“谷”就是(jish)这一干扰的结果, 见下图： 设计船舶时,应使在设计航速时船舶处于兴波阻力系数“谷点”的位置,有利(yul)干扰兴波。第17页/共40页第十七页，共41页。- -波能的传递(chund)(chund)及兴波阻力水波运动是流体动能与势能之间的平衡结果，讨论波能的传递与兴波(xn b)阻力的研究很有关系。1. 波浪的总能量(nngling)为动能与势能之和，动能与 势能相等。2.波能与波幅的平方成正比，与水深无关。3. 波能的传播速度就是群速度。结论：第18页/共40页第十八页，共41页。2201c

9、os ()2Lgakxt dx2000122LLLIIdm g hdxggdx对于余弦波，一个波长(bchng)的势能为：2211224Lgaga L(7-48)2201()2LzzhTvvd z d x 动能 ：2201()() 2Lhdzdxxz 第19页/共40页第十九页，共41页。: 一个波长内由自由(zyu)表面、底面及两侧面组成的闭边界线.12sTd sn利用Green公式，将面积分(单位宽度的体积分)变为线积分:(7-49)为边界(binji)外法线,第20页/共40页第二十页，共41页。左右垂直侧面上积分路线相反(xingfn)，积分互相抵消。水底:0nz（-49）式中只剩下(

10、shn xi)沿自由表面OAB的积分对于微振幅波， 取值近似由=代替=z001()2LzTdxz因此(7-50)第21页/共40页第二十一页，共41页。 cosh ()sin()cosh agk zhkxtkh由式（7-26）sinh ()sin()cosh agkk zhkxtzkh0sin()zagkxt(7-51)0tanh sin()sin()zagkkhkxtakxtz(7-52)因gk tanh kh, 则将（7-51），（7-52）代入（-50）：第22页/共40页第二十二页，共41页。22000()sin ()22lLzTdxa gkxt dxz2011cos 2()22Lag

11、kxtdx201sin 2()44LLagxkxt214Tg aL所以所以(7-53)比较（7-48）和（7-53）得 进行波动能与势能相等进行波动能与势能相等一个波长(bchng)的波总能量为(7-54)212E II Tga L 第23页/共40页第二十三页，共41页。2012EEgaL单位长度波浪的总能量：在一个(y )周期时间内，通过轴传播的能量等于压力对轴所做的功，即：波能传递(chund)结论结论(jiln)：波能的传播速度就是群速度：波能的传播速度就是群速度证明：00TxhWdzpv dt(7-55)第24页/共40页第二十四页，共41页。由（7-26）式得cosh ()sin(

12、)cosh agk zhkxtkh（7-56）cosh ()cos()cosh xkagk zhvkxtxkh所以（7-57 ）pgzt 由（-34）式得当const. 这时gz为常数， 随时间变化t能量传播，只与 有关 t 由（7-56）式有：cosh ()cos()cosh k zhagkxttkh(7-58)第25页/共40页第二十五页，共41页。将式（7-57）和（7-58）代入（7-55）：2220220cosh()cos ()coshThg a kk zhWdzkxt dxkh20cos ()2TTkxt dt因为22022cosh()2coshhg a kTWk zh dzkhz

13、轴处，x=0所以22022co sh()2co shhga kTWkzh d zkh02sinh22cosh()(1)2sinh2hkhkhk z h dzkkh积分 第26页/共40页第二十六页，共41页。222sinh 22(1)2cosh4sinh 2g a kTkhkhWkhkkh所以212(1)22sin h 2CkhTg akhEL单位长度波能gC群速gWECTL(7-59)所以所以表明：单位时间通过轴的能量，等于(dngy)单位长度波能乘上群速度，即波能传递速度等于(dngy)群速度。第27页/共40页第二十七页，共41页。兴波(xn b)阻力 船舶在水面航行(hngxng)，兴

14、起波浪，一部分波能由船舶提供，这就是兴波阻力。船舶遭受的阻力有：粘性阻力和兴波(xn b)阻力，兴波(xn b)阻力是理想流体作用于船舶上的压差力。船到波随，船波波速就等于船速第28页/共40页第二十八页，共41页。22112(1)222sinh 2wCkhga VtgatR Vtkh02(1)2sinh 2CkhEtkh时间内船后新增波浪长度由老波以波群速传来一部分能量由于(yuy)=，故 另一部分由船舶克服兴波阻力做功而提供wR Vt则能量(nngling)平衡方程式为：总能量 212(1)4sinh 2wkhRgakh(7-60)第29页/共40页第二十九页，共41页。20sinh2kh

15、kh对于深水214wRga则（761）这一结论不仅适用于余弦(yxin)波，其它波动同样适用深水中船舶所遭受的兴波阻力深水中船舶所遭受的兴波阻力(zl)是波能的一是波能的一半半兴波阻力的大小兴波阻力的大小(dxio)与振幅的平方成与振幅的平方成正比正比在极浅水中，波浪前进的最大速度不能超过临界速度 ，ghgh若船的航行速度大于 ，则没有波浪可以跟随它，兴波阻力也就不可能产生。第30页/共40页第三十页，共41页。例.1 某小船在无限深水的波浪中每分钟摇摆 30次，求波长，圆频率，波数， 以及(yj)波形传播速度解: 船航速为零，单纯由波浪(blng)引起的摇摆1min2( )30Ts则周期23

16、.14(1/ ) sT圆频率21.006kg波数 26.26Lmk波长3.12/Cmsk波速第31页/共40页第三十一页，共41页。例.3 水深=10，自由面上有一沿轴正向 传播的平面小振幅(zhnf)波， 波长=30求：）波幅.1m时的自由面形状;）波的传播速度；）波幅0.1m衡位置在水平面以下0.5处 流体(lit)质点的运动轨迹；）水平面以下1，2处流体(lit)的平均压力；）波系的群速度。第32页/共40页第三十二页，共41页。cos()akxt解: 1）由式（7-16）220.20930kL波数圆频率(pnl)由（-20）为tanh9.8 0.209tanh(0.209 10)1.3

17、81gkkh波面方程为0.1 cos(0.2091.381 )xt1.3816.6080.209Ck）波的传播速度(sd)(相速度(sd)第33页/共40页第三十三页，共41页。）由（-20）式流体(lit)质点的轨迹方程220022()()1xxzza0cosh()sinhak zhakh0sinh()sinhazhkh其中20.00869a20.00806取 Z0=0.5m，a=0.1m，h=10m，k=0.209，得: :4 ) 4 ) 由（-25-25）式计算(j sun)(j sun)压力pz在一个周期内的均值为零，故有：压力(yl)与静压分布相同第34页/共40页第三十四页，共41

18、页。122mmpp 故水下1和2处流体的压力分别为:12(1)3.2722sinh2gkhCCkh5 )5 )由式(7-44)可得：第35页/共40页第三十五页，共41页。例7.4 波长为6.28m，在某一深度(shnd)次波面的波高 减小一半，试求这一深度(shnd)。所以(suy) z=ln(1/2)= - 0.693m解：流体(lit)质点得轨圆半径为= aekz 在波面上 Z0=0, r0=a在任意水深 = aekz 由题意 r0=2a，则= aekz ，a=2 aekz所以 ekz1/2K=2/ =6.28/6.28=1ekz = ez = 1/2第36页/共40页第三十六页，共41

19、页。例7.6 设无限(wxin)深水中波浪得波长为15m和150m，求：1）这两种波长(bchng)的波速和周期。 2）当波浪传播(chunb)入水深为10m的水域时，讨论 波浪运动的变化。解：解：1） 对于深水：对于深水： 154.836922gLgCm s22153.1011LTsgg 则 波长为15m15m的波进入10m10m水域后仍为深水波，波速和周期仍为上述计算结果。2133hLL当h=10m时2）第37页/共40页第三十七页，共41页。 对于深水：对于深水：150Lm9.8 15015.322gLCm s221509.81LTsgg当当h=10米时，米时， 采用有限水深公式计算，采用有限水深公式计算，115 3LhL这里(zhl)波长暂用150m，波速暂用15