2021版新高考数学一轮复习讲义：第三章第三讲第一课时三角函数公式的基本应用(含解析)

1、sin2 a= 2 2 第三讲两角和与差的三角函数 二倍角公式 第一课时三角函数公式的基本应用 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理双基自测 知识点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) sin 2 a= _2sin acos a ; (2) cos 2 a= _cos2 3 a sin2 a = _2cos2 a 1 = 1 _2sin2 a ； 2tan a kn n口 , n (3) tan 2 a= 2 且 a kn+;, k Z). 1 tan a 2 4 2 知识点三半角公式(不要求记忆) a (1) s

2、in 2 = a (2) cos = _a , /1 COS a sin a 1 COS a tan 2 : 1 + cos a 1 + cos a sin a . 重亘至星 sin2 a= 2 2 1 降幕公式: cos2 a= 1 + cos 2 a 1 cos 2 2 C. 1 D . 2 伽 a tan (n a; 1 +tan a tan (n+ a 1 + ta n a 4 1 tan a 4 4 .辅助角（二合一”）公式: asin a+ bcos a= a2+ b2si n ( a+ $), 题组一走出误区 1 .（多选题）下列命题不正确的是（CD ） A .存在实数 a, B

3、使等式 sin （ a+ = sin a+ sin B成立 B .在锐角厶 ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 C. y= 3sin x+ 4cos x 的最大值是 7 八亠 tan o+ tan Br【、【仆计、匚丄 D.公式tan （ o+ 3= an 仙B可以变形为喻 对任意角a B都成立 题组二走进教材 (必修 4P131T5 改编)计算 sin 43 c6s 13 + sin 47 B .申 C. 解析 原式=sin 43 cos 13 cos 43 s 13 = sin (43 13 = sin 30 另解： 原式=cos 47 cos13 si

4、n 47 sin 13 = cos (47 +13) = cos 60 n n 3. (必修 4P135T5 改编)cos28 sin笫=(B ) C. 解析根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知 C、D 是错误的, A、B 是正确的. COS a sin 2 a 2sin a 2 2tan a 1 tan a sin 2 a= 2 , COS 2 a= 2, 1 + tan2 a 1 + tan2 a 1 isin 2 a (sin aicos a)2. 其中 cos 0= j a a2+ b2_， sin片 b a2+ b2_ a+ tan B= tan ( a 3(1 tan otan

5、B，且 cos 103 的结果等于 =f 故选 A. 2 C. 1 D . 2 4. (必修 4P146A 组 T4 改编)(1 + tan 17 )1 + tan 28 )的值为(D )解析 cos2? sin2n= cos 8 8 n 4： 10 解析 原式=1 + tan 17 + tan 28 + tan 17 tan 28 = 1 + tan 45 (1 tan 17 tan 28 ) tan 17 an 28 =1 + 1= 2故选 D. 题组三考题再现 1 戸, 5. (2018 课标川，4)若 sin a= 3，则 cos 2 a= ( B ) 2,5 5 故选 B. 3 n

6、7. (2019 全国卷 I )函数 f(x)= sin (2x+ ) 3cos x 的最小值为 4 3 n 2 3 2 解析f(x) = sin (2x+ ) 3cos x= cos 2x 3cos x= 1 2cos x 3cos x= 2(cos x + 4) 17 + 8，因为 cos x 1,1，所以当 cos x= 1 时，f(x)取得最小值，f(x)min = 4.7 7 - - 9 9 8 8一9 9 - - 7 7一9 9 - - B D 解析本题考查三角恒等变换.因为 sin a= 3 所以 cos 2 a= 1 2sin2 a= 1 2 x (3)2 = 1 2 7 9=

7、 7故选 B . n (2019 全国卷n )已知 a (0,刃, 2sin 2 a= cos 2 a+ 1，则 sin a= ( B ) C. 解析 由 2sin 2 a= cos 2 a+ 1,得 4sin acos a= 1 2sin2 a+ 1，即 2sin acos a= 1 sin2 a 因为a (0, n，所以 cos a= 1 sin2 a,所以 2sin 彳 1 - sin2 a= 1 sin2 a,解得 sin a冷, sin (a+n) = 4 丿 C.-需 D -需 3 n i 已知 sin a= 5, a , n, tan ( n 3 =刁 则 tan ( a 3 的

8、值为(A ) 2 11 11 2 n （3）（2020 届甘肃兰州一中高三上期中）若 cos（4- 7 A. 25 C.-需 D -需 C. - 53 a =，贝U sin 2a= ( D ) 5 7 25 （2020 吉林百校联盟 9 月联考）已知 tan B= 2tan A,且 cos Asin B = 4 则 cos AB3n C. 4 解析因为 cos a= 5, a是第三象限的角，所以 sin a= 1 2 3 a= 3,所以 n sin ( a+ 4)= sin oco n 4 +cos ain 7 2 10 . (2)cos a= tan a= 1 tan a tan 3 2 t

9、an 3= 7, tan ( a 3 = =一 不 2 1 + tan in 3 11 由三角函数的诱导公式得 n cos 2 2 a = sin 2 a,所以 sin 2 a= cos n (2 一 2 a) = 冗2n a，由二倍角公式可得 sin 2 a= cos 2 才一a = Zcos2%) 1 = 2X(5)2 1=器一 H 25故选D . (4)由 tan B= 2tan A,可得 cos Asin B = 2sin Acos B. 4 2 又 cos Asin B=：,.sin Acos B =：, 5 5 n 3 n 2 则 cos (A B y)= sin (A B)= s

10、in Acos B+ cos Asin B = 5.故选 D. 名师点拨 ？ （1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 考点二三角函数公式的逆用与变形用 多维探究 7t 角度 1 公式的逆用 * 例 2 (1)在厶 ABC 中，若 tan Atan B= tan A+ tan B+ 1,贝 U cos C= n 2 n 3 n 4 n (2)cos geos 百 cos geos 百： _. 解析(1)tan (A+ B) = = = 1, 1 tan Ata n B 1 tan Ata n B7t =cos cos

11、 cos n n 2 n 4 n 1 8sin 9cos 9cos 7cos 9 8sin f 2 n 2 n 4 n 1 4sin Vcos Vcos 6 n 8s in 9 4 n 4 n 12sin Vcos V 2 (3)(2020 四省八校双教研联盟联考 )f(x)= sin 2x 2 x n 1 2sin2 2 4 (1 + , 3tan x)的最小正周期为 8 n n sin 9 1 sin n 9 2 n 8s in 9 2 n 8s in 9 解法二：由 sin 2 a= 2sin sin 原式= 2 n 4 n 9 sin 21 2n2 2sin 6 2sin 9 (3)f

12、(x) = sin 2x x n 1 2si n2? 4 n sin 9 1 2 n 16 8s in 9 acos a,得 cos sin 85 2sin 4 16 (1 +、 3ta n x)= sin 2 a a= 2sin a， x (1+ 3X 沁) cos x cos x 2 2 _. tan A+ tan B tan Ata n B 1 tan C= 1 又 c (o, n, C= n，cos c =普. (2)解法 cos 9COS 9 cos 9 cos 8sin 考点二三角函数公式的逆用与变形用 多维探究 7t . 2 2 n (2) Tsin 2 a= 3，cos ( a

13、+ 4)= c n 1 + cos 2 a+ 4 1 Sin 2 a 名师点拨 ？ (1)注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系. 1 3 注意特殊角的应用，当式子中出现 2, 1,牙,3 等这些数值时, 角，把“值变角”构造适合公式的形式. (2)熟记三角函数公式的 2 类变式 和差角公式变形: sin ain 升 cos ( a+ 3 = cos acos 3, cos ain 3+ sin ( a 3 = sin acos 3tan (tan 2sin xcos x cos x+ .,，3sin x n 而 x-cosix- = 2(

14、cos x+，3sin x)= 4sin (x+ 6)， cos x 则最小正周期 T = 2 n 角度 2 公式的变形应用 _. i 例 3 (1)(2020 天津耀华中学模拟)已知 sin (a+ 3) = Q , sin (a-3)=3，则 log5 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2 (2)(2020 陕西吴起高级中学模拟 )已知 sin 2 a= 2 3 1 B . A. 6 1 D . 2 C ； 1 6 则 cos2(a+4)=( 52= ( B ) i 解析(1) -sin ( a+ 3) = , sin ( a- /sin aos 1 3+ cos osin 3= Q

15、, sin acos 3 cos ain /sin aos 5 . 1 3= 12，cos ain 3=匚, tan a tan3=5，/log tan ；5 (tan 32=log 七 52 = 4,故选 B . 故选 A. 定要考虑引入特殊 tan aan 3= tan (a 3 ( ?tan a tan 3. 倍角公式变形: 配方变形： a a 2 2 a 2 a 1 in a= (sin 2cos 2)1 + cos a= 2cos2, 1 cos a= 2sin2. 变式训练 1 A . tan 25 4 tan 35 4 , 3tan 25 tan 35 B. 2(sin 35 c

16、os 25 4 cos 35 cos 65 ) 1 4 tan 15 1 tan 15 n tan 6 2 n 1 tan6 (2)(角度 2)(2018 课标 n, 15)已知 sin a4 cos 3= 1, cos a4 sin = 0，贝U sin ( a4 3)= 解析(1)对于 A , tan 25 4 tan 35 4 3tan 25 tan 35 = tan (25 4 35 )(1 tan 25 tan 35 ) 4 ,3tan 25 tan 35 = .3 . 3tan 25 tan 35 + ,3tan 25 tan 35 = 3. 对于 B,2(sin 35 cos 2

17、5 4 cos 35 cos 65 ) =2(sin 35 cos 25 4 cos 35 sin 25 )= 2sin 60 = 3. tan 45 4 tan 15 =tan 60 1 tan 45 tan 15 n n tan 2ta n A 6 1 6 1 =_x =_x tan 2 n 2 2 n 2 1 tan 6 1 tan 综上，式子的运算结果为 .3 的是 ABC .故选 A、B、C. (2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式. 由 sin a4 cos = 1, cos a4 sin 3= 0, 1 两式平方相加，得 24 2sin 久 cos 34 2c

18、os asin 3= 1,整理得 sin ( a4 3)= 降幕公式 1 + COS 2 a _ 2 COS 1 COS 2 a _ 2 a= (1)(多选题)(角度 1)(2020 河北武邑中学调研 )下列式子的运算结果为 3 的是(ABC 1 4 tan 15 对于 C，1 tan 15 对于 D, 利用平方关系：Sin2 a4 cos2 a= 1，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟 练掌握.考点三角的变换与名的变换 师生共研 _ : 5 n 1 * 例 4 (1)(2018 课标全国 n, 15)已知 tan (a)=，贝U tan 4 5 7 A. 25 C.-晋 5 n

19、 5 n 2 1 tan a 7tan 口 1 _ 且 COS a= 7 , COS ( a+ 3 = 4, 所以 sin a= 1 cos2 a= 45 / 2 5 也 sin ( a+ 3 =飞；1 cos a+ 3= 14 , 则 sin 3= sin ( a+ a =sin ( a+ 3)cos a cos ( a+ sin a 5 1 ( %心厘 14 7 I 14 丿入 7 n n 2 n、r n , n 1 6 a+ 6，设 3= a+ 6，由 cos (a+ )= , zn 2J2 W2 2 7 得 sin 3= 3 , sin 2 3= 2sin 3cos 3= 9 , co

20、s 2 3= 2cos 3 1 = 9, 解得 tan a= 2 5 (2)因为已知a (0, n n 2), 3 (0, 2)， 3 a= _2 . n 1 已知a、3(0,刁，且 cos a= 7 11 小 cos ( a+ 3 = 14 贝 y sin 3=_ 2 _. (2018 课标全国n, 15)设a为锐角，若 n 1 n cos (a+ 6)=-，则 sin (2 a+12)的值为(B ) 18 解 (1)本题主要考查两角差的正切公式. 解法一: tan a= tan ( a竽 + 予 tan 5 n 5 n a 7 +tan 7 3 , 5 n 解法二：tan (a)= 5 n

21、 tan a tan 4 tan a 1 1 1 + tan 仙 1 + tan a 5 11 n (3) Ta为锐角， 0a2， /sin (2 a+ 右)=sin (2 a+ 扌一=sin (2 3-=sin 2 3DOS cos 2 传 in 才 名师点拨？ (1)角的变换： 明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角 的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如： 2 a= (a+ ( a , a= ( a+ 3)- 3= ( a + 40 = 60 20 (；+ 砧+(n-=扌,a= 6 7 X4 等- 名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角

22、关系、诱导公式，把正 弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦. 变式训练 2 n 3 n (1)已知 tan(a+ 4)= 4,贝V cos2(4- 0 = ( B ) 7 25 16 C. 25 S2020山西康杰中学月考)若sin兰覽=3,tan (a- 3=2,则tan (3-2a=_4 6 解得 tan a=- 7, =(-)V - (-7)V=害.故选 B- 18 9 25 24 25 解析 (1)由 tan( a+ 4)= 1 + tan a 1 tan 3 4, sin a+ cos a tan a+ 1 (2) = = 3, ta n a= 2. sin a cos a t

23、an a 1 tan (a- = 2, tan a 3 + tan a 4 tan ( 2 a)= tan ( 3 a a = tan ( a + a= =- 1 tan a 3 tan a 3 MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛素养提升n 所以 coEq - a= n 1+ cos 2 2 a 2 1 + sin 2 a 1 2 = 2 + sin acos a, . sin acos a tan a 又 sin acos a= 2 厂= 2 sin a+ cos a tan a+ 1 7_ 50, 1 2+ sin acos a= _9 25.

24、 w 2x+ n 3n+ 2k n, k Z,得 k n+ 7 x 严+ kn, k Z.：x 0 , n，当 k= 0 时，可得单调 6 2 6 3辅助角公式的应用 应用 1 求值 n 岭 例 5 (2020 届安徽江淮十校联考)已知 cos (x n)= ，贝 U cos x+ cos(x n)= C. D . rx n j 3 n 解析 TCOS (x 6) = 3, cos x + cos (x 3) = cos x+ cos xcos 3+ sin xsin 3= ?cos x+ 7 cos x + *sin x)= 3cos (x=3 x (F = - 1. 应用 2 求最值 例

25、6 (2017 全国n )函数 f(x) = 2cos x + sin x 的最大值为 5 . 函数 f(x) = 2 ,3sin x cos x 2sin2x 的值域为3,1. 分(2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为 解析(1)f(x)= .5(cos x 255 + sin xf)= .5s in (x+妨 Asin ( 3x+ . (其中 cos 0=, sin(j)= -5),显然 f(x)的最大值为5. 5 5 (2)f(x)= pj3sin 2x+ cos 2x 1 =2( 23sin 2x+ fcos 2x) 1 n =2si n (2x+ 6) 1. 显然 f(x)max = 1 , f(x)min = 3. 故 f(x)的值域为3,1. 应用 3 求单调区间 函数 f(x) = n勺单调递减区间为(B ) n 5 n C. 3，石 7 解析 函数 f(x)= cos2x+ . 3sin xcos x= 2 + *cos 2x+ 齐 n 2x= sin (2x+ 才 +1.由 2k n+ 才 静 x= 、 n 2 n , 递减区间为 6，3，故选 B 名师点拨 ？ 用辅助角公式变形三角函数式时： (1)遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组; 遇