立体几何平行证明问题讲义教师

1、立体几何平行证明问题讲义（一）平行的问题一“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，（如例 1 求证： PB/ 平面 AEC P、B 为顶点，平面AEC 内 E 为中点）采用中位线法。具体做法：如例1, 平面 AEC 的三个顶点，除中点E 夕卜，取 AC 的中点 0,连接 EQ 再 确定由直线 PB 和中点 E、 O D 确定的PBD （连接 PBD 的第三边 BD），在PBD 中， E0 为 PB 的中位线。 a规范写法：a/b,a ,b , b/b例 1 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点 E 是 PD 的中点 .求证：

2、 PB/ 平面 AEC ；例 2 三棱柱 ABC ABiG 中， D 为 AB 边中点。求证 :AG /平面 CDB ,;B 1BA【习题巩固一】1. （2011 天津文）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 0 为 AC 中点 M 为 PD中点 . （ I） 证明： PB/ 平面 ACM ;CAB21.（2013 年高考课标U 卷（文）如图 , 直三棱柱 ABC-ABG 中,D 是 AB 的中点 .（1）证 明BC/ 平面 AiCD;2. （ 2011 四川文）如图，在直三棱柱至点 P, 使 C1P = A1C1，连接 APABC A1B1C1交棱 CC1于 D .

3、中， / 求证：BAC=90 °PB1/ 平面AB=AC=AAi=1, 延长AiCiBDA 1；（二）平行四边形法：当直线上有一个中点形法。具体做法： FO 先与 E 连接（原因是关） , 再与ECD 的另两个顶点 CD 的中点FO/EM 。（如例 1 证明： FO/平面 CDE ； O 为中点）采用平行四边ECD 的三个顶点 E、C D 中只有 E 与已知平行条件EF/BC 有M 相连，构成平行四边形FOE （原因是EF/OM, EF=OM, 从而规范写法（如图）：EF/GH,EF GH , EFGH是平行四边形EH/FG,EH ,FG , EH /例 1【天津高考】如图，在五面体

4、ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF BC . （ 1）证明： FO/平面 CDE ; 2例 2(2013年高考福建卷(文 ) 如图，在四棱锥PABCD中， PCL平面ABCQ AB/ DC AB丄 ADBC= 5,DC=3,AD= 4,ZPA60 °.若M 为PA的中点,求证 ：DM / 面PBC;例 3 ( 2010 陕西文 ) 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA 丄平面 ABCD ,AP=AB,BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(I)证明：EF/平面FAD; (II)若H是AD的中点，证明：

5、EA/ 平面PHC【习题巩固二】1. 【 2010?北京文数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直EF/AC,AB=/2 ,CE=EF=1(I) 求证：AF/平面BDE2. ( 2013 年高考山东卷 ( 文) 如图 , 四棱锥 P ABCD 中，AB /CD, AB 2CD,E 为PB 的中点 (I )求证 :CE / 平面 PAD ；3.（2012 广东）如图 5 所示，在四棱锥P ABCD 中， AB 平面 PAD ,AB/CD,PD AD,1E 是 PB 中点， F 是 DC 上的点，且 DF AB ，PH 为 PAD 中 AD 边上的高。（ 3）证明：2EF/ 平面

6、 PAD .图? “线面平行”与“面面平行”的转化问题中截面法：当直线上有两个中点（如例 1 证明： MN / 平面 BCC&要做出平面BCC& 的中截面。具体做法：取AC 中点 P,连接MP NP 贝 U 面 MNP/ 平面 BCGB ,5）采用中截面法，如例1 只,b/【如下图】或者 Tep1:a,b,aI b O,a',b',a/a',b/b'/【如上图】Tep2:/线面平行） ;aa/（面面平行例 1 三棱柱ABC A 1B1C1 中， M,N 分别是 AB ,AC 的中点 . 求证 :CMN /平面BCC ;1例 2 （ 2013 年辽

7、宁卷（文）如图 , AB 是圆 O 的直径， PA 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆 O 上的点 .（II） 设 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心，求证：QG/ 平面 PBC.【习题巩固三】1. 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD BC ， E,F 分别为棱 AB,PC 的中点 . 求证： EF II平面 PAD .D2. 如图 ,长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AE、CD,的中点。（ I）求证： MN / 平面 ADD 1A1 ;3. （2012 辽宁文科）如图，直三棱柱 ABC A /B/C/，点 M,N 分别为 A

8、B 和 BC，的中点。 （I ）证明： MN / 平面 AACC ；立体几何经典题精选题重点复习题型篇（一）平行的问题参考答案一 ?“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）例 1 证明：连接 BD AC BD=O 连接 E0,在 PBD 中， OD=OJB E0 为 PB 的中位线，EO/PB, 又 E0 面 AEC, PB 面 AEC ,PB/ 面 AEC例 2 证明：连接 BSQC BE 0，连接 OD 在 AB C!中， OB 00 , 0D 为 AG 的中位线，OD/AC ,又 0D 面 CDBAC , 面 CDB ,AC,/ 面 CDB ,【习题巩固一】1?证明：连接 BD ，M0

9、 , 在平行四边形 ABCD 中，因为 0 为 AC 的中点，所以 0 为 BD 的中 点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB/MO 。因为 PB 平面 ACM ，M0 平面 ACM ，所以 PB/ 平面 ACM 。2. 证明：连接 AC, A,C AC , 0, 连接 OD 在 ABC, 中，OA OC ,，OD 为 BC,的中位线，OD/ BC i ,又 OD 面 CDA , BC , 面 CDA ,BC ,/面 CDA ,3.连结 AB与 BA 交于点O,连结 OD,v CD / 平面 AA,AC/AP , /? AD=PD，又AO=BO, ?OD,/PBj 又 OD 面 BDAj P

10、B ,面 BDA ,A PB, /平面 BDA （二）例,证明：取 CD 的中点M 连接 OM EM EF/OM, EF=OM FOEMfe平行四边形，从而FO/EM, 又 EM 面 CDE,FO 面 CDE , F0/ 面 CDE例 2证明：取 PB 中点 N ,连结 MN , CN 在 PAB 中，M 是 PA 中点,?MNPABMNAB31CDPABCD3MNPCDMNCD 2,又,/.,?四边形 MNCD 为平行四边形 ，二 DM PCN又 DM 平面 PBC, CN 平面 PBC ? DMP 平面 PBC例 3 证明： （I ）在厶 PBC 中, E, F 分别是 PB PC 的中点

11、， ? EF/ BC又 BC/ AD ? EF/ AD 又 T AD 平面 PADEF 平面 PAD ? EF/ 平面 PAD （II）连接 FH 易证EAFH 是平行四边形，所以EA/FH, 从而得证。【习题巩固二】1. 证明： （ I） 设 AC, BD 交于点 G 因为 EF/ AG 且 EF=1, AG=1 所以四边形 AGEF 为平行四边形，所以 AF/ EG因为 EG 平面 BDE,AF 平面 BDE 所以 AF/ 平面 BDE2.证明：取PA中点，连结MD,ME因为M4E 是 PB 的中点，所以 ME / 1 AB 。/2因为 CD1AB，所以 CE DM ，所以四边形 MDCE

12、 是平行四边形，CE / DM , 又 CE 面 PDA,DM面 PDA ， CE/ 面 PDA3. 证明：取 PA 中点 M，连结 MD ，ME。因为 E 是 PB 的中点，所以ME / 1 AB 。因为 DF / 1 AB ，所以 ME/ DF ，2 2所以四边形 MEDF 是平行四边形，EF / DM , 又 EF 面 PDA, DM 面 PDA ， EF/ 面 PDA“线面平行”与“面面平行”的转化问题例 1 略例 2 连 0G 并延长交 AC 于 M，连接 QM ，Q0, 由 G 为 AAOC 的重心，得 M 为 AC 中点 .由 Q 为 PA 中点，得 QM /PC. 又 O 为 AB 中点，得 OM /BC.因为 QM n MO = M ,BC n PC = C, 所以平面QMO / 平面 PBC.因为 QG 平面 QMO ，所以 QG / 平面 PBC.【习题巩固三】1?思路：取 PB 的中点 M，连接