2021年江苏高考数学一轮复习讲义第2章第9节函数与方程

1、1第九节函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断元二次方程根的存在性与根的个数.必备知识填充J1. 函数的零点函数零点的定义对于函数 y= f(x)(x D),把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y= f(x)(x D)的零占八、(2) 三个等价关系方程 f(x) = 0 有实数根？函数 y= f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零 占八、(3) 函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y = f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)v0，那么，函数 y= f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在

2、 c (a, b)，使得 f(c) =0，这个 c 也就是方程 f(x) = 0 的根.2. 二次函数 y= ax2+ bx+ c(a0)的图象与零点的关系 0= 0X 0rI卩二次函数 y= ax2+ bxd /+ c (a 0)的图象pfr与 x 轴的交点血 0)，(x20)(xi.0)无交点零点个数210常用结论有关函数零点的 3 个结论(1) 若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.护參思皎与坍打除双基方点2(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.学情自测验收

3、一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.()(2) 函数 y=f(x)在区间(a, b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)v0.()(3) 若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a) f(b)v0,则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点.()二次函数 y= ax2+ bx+ c 在 b24acv0 时没有零点.()答案(1)X(2)x(3)x V二、教材改编1.已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4337424.536.7123.6贝 U 函数 y=f(x)在

4、区间1,6上的零点至少有()A. 2 个B . 3 个C. 4 个D . 5 个B f(2) f(3)v0, f(3) f(4)v0, f(4) f(5)v0,故函数 f(x)在区间1,6内至少有 3 个零点.2.函数 f(x) = In x+ 2x 6 的零点所在的区间是()A. (0,1)B . (1,2)C. (2,3)D. (3,4)C 由题意得 f(1) = ln 1 + 2 6= 4v0, f(2) = ln 2 + 4 6= ln 2 2v0,f(3) = ln 3 + 6 6= ln 3 0,f(4) = ln 4 + 8 6= ln 4 + 2 0,3 f(x)的零点所在的区

5、间为(2,3).43 函数 f(x) = ex+ 3x 的零点个数是_.11由已知得 f (x) = ex+ 30,所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(- 1)=-3DV0, f(0)= 1 0,因此函数 f(x)有且只有一个零点.11x、，、4.函数 f(x) = x 2 的零点个数为121作函数 y1= x 和 y2=由图象知函数 f(x)有 1 个零点.总结常打虽课堂考点探究破解高亦毓难考点 1函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法(1) 解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程.(2) 零点存在性定理.(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为

6、两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.旳圧逊 1函数 f(x)= In x疋的零点所在的区间为()A. (0,1)B . (1,2)C. (2,3)D. (3,4)1B由题意知函数 f(x)是增函数，因为 f(1)V0,f(2)= In 2丁In 2 In . e 0,所以函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选 B.2 的图象如52.若 avbvc，则函数 f(x)= (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a)的两个零点分别位于区间()A (a, b)和(b, c)内B. (乂, a)和(a, b)内C.(b,和(c,+x)内D.( , a)和(c

7、,+x)内A tavbvc,二 f(a)=(ab)(ac)0,f(b)=(bc)(ba)v0,f(c)=(ca)(cb)0,由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a, b)(b, c)内分别存在一个零点；又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a, b), (b, c)内，故选 A.k k+13 .已知函数 f(x) = In x + 2x 6 的零点在 2 (歩 Z)内，那么 k=15 tf(x)= - +20,x(0,+x),f(x)在 x(0,+)上单调递增，x555且 f2 = In 2 1v0, f(3) = In 30, . f(x)的

8、零点在 2，3 内，则整数 k= 5.EU 平f(a) f(b)v0 是连续函数 y= f(x)在闭区间a, b上有零点的充分不必 要条件.(2)若函数 f(x)在a, b上是单调函数，且 f(x)的图象连续不断，贝Uf(a) f(b)v0?函数 f(x)在区间a, b上只有一个零点.考点 2 函数零点个数的判断観那函数零点个数的讨论，基本解法有(1) 直接法，令 f(x) = 0,在定义域范围内有多少个解则有多少个零点.(2) 定理法，禾 U 用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3) 图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个 数得出函数的零点个数.6酸斜刃(1

9、)(2019 全国卷川)函数 f(x)= 2sin x sin 2x 在0,2n勺零点个数为7In xx2+ 2x, x0,2x+1*0的零点个数为()C. 2(3) 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x) = ex+x-3,则 f(x) 的零点个数为()(1)B(2)D(3)C(1)由 f(x) = 2sin x sin 2x=2sin x 2sin xcos x=2sinx(1cos x)=0 得 sin x=0 或 cos x=1,二 x=knkZ,又vx0,2 x=0,n2n即零点有 3 个，故选 B.(2) 依题意，在考虑 x 0 时可以画出函数 y= ln

10、 x 与 y= x2 2x 的图象(如图),可知两个函数的图象有两个交点，当x 0 时，令 f(x) =ey= ex和 y令 f(x) = 2x|log0.5x19定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点.故选 B.2, x0,2已知函数 f(x)=,u门 若 f()= 2, f(- 1)= 1,则函数x+bx+c,xW0,g(x) = f(x) + x 的零点个数为_ .c= 2,3 依题意得1 b+ c= 1,b 4,由此解得c- 2.由 g(x) 0 得 f(x) + x 0,x 0,该方程等价于2+ x 0,xW0,或2x24x2+x0.解得 x 2,解得 x 1 或 x 2

11、.因此，函数 g(x) f(x) + x 的零点个数为 3.考点 3 函数零点的应用観 3根据函数零点的情况求参数的 3 种常用方法(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确 定参数范围.(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象，10然后数形结合求解.芒自.根据函数零点个数求参数酸斜刃 已知函数 f(x) |x2+ 3x|, x R，若方程 f(x) a|x 1| 0 恰有 4个互 异的实数根，则实数 a 的取值范围是_ .(0,1)U(9,+x)设 yi= f(x)

12、= |X2+ 3x|, y2= a|x 1|,在同一直角坐标系中作出yi=X+ 3x|,y2= a|x1|的图象如图所示.1y,-,=ld+3!d-3-2-101亠由图可知 f(x) a|x 1|= 0 有 4 个互异的实数根等价于 yi= |x2+ 3x|与 y2= a|x1|的图象有 4 个不同的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1,2y = x 3x,所以有两组不同解，y= a 1 x消去 y 得 x2+ (3 a)x+ a= 0 有两个不等实根，所以= (3 a)? 4a0, 即卩a 10a + 90,解得 av1 或 a9.又由图象得 a0,0vav1 或 a9.兰评 由函数的零点个

13、数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.考向 2 根据函数有无零点求参数0, x0则使函数 g(x) = f(x) + x m 有零点的实11数 m 的取值范围是_ .(%, 0u(1,+)函数 g(x) = f(x) + x m 的零点就是方程 f(R + x= mx, x0观察它与直线 y= m 的交点，得知当 mW0 或 m 1 时，有交点，即函数 g(x)=f(x)+ x m 有零点.IS 疔半 函数有无零点问题？函数图象与 X 轴有无公共点问题.才 I-, -i 根据零点的范围求参数瑟斜刃 若函数 f(x)= (m 2)x2+ mx+ (2m + 1)的两个零点分别在区间(一 1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是_ .1 14，2依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足m2,f10V0,f 1 f 2V0,m 2,即m2m+