江苏省前黄中学溧阳中学2016届高三第二次联考数学试题

1、前黄中学、溧阳中学2016届高三下学期联考试题数学2016.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合，则中元素的个数为 2.设复数z满足，（为虚数单位），则复数的实部为 .3I0While I <9S2I + 1 II+3End WhilePrint S第4题图3. 已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，且xy = 60，则此样本的方差是 24. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为 135.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为 .6.已知，则 . 7.已知正三棱锥的体积为9cm3，

2、高为3cm则它的侧面积为 cm2188. 已知双曲线 (，)的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，且满足，则该双曲线的离心率是 9. 设等比数列的前项积为，若，则的值是 .210.已知，则不等式的解集为 . 11. 如图，已知是圆的直径，在圆上且， 则 .212.已知圆与圆 相交于 两点，且满足 ，则 . 13. 若函数有唯一零点，则的取值范围是 .14.已知函数，若存在非零实数，使得，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在中，角的对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若点为中点，且

3、，求（），即，所以，由 ,解得 7分 （范围不说明扣1分） （）解法一：取中点,连,则,则，则，由（）知，由正弦定理知，得. 14分解法二：由（）知，又为中点，在中，由余弦定理分别得： 又，由正弦定理知，得. 14分16. 如图，在三棱锥中，已知平面平面（1）若，求证：；（2）若过点作直线平面，求证：平面16（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面 3分因为平面，所以 又因为，且，平面,所以平面，又因为平面，所以 7分（2）在平面内过点作，垂足为因为平面平面，又平面平面BC，平面，所以平面10分又平面，所以/又平面，平面，/平面 14分17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其

4、中为行进时相对于水的速度，为行进时的时间（单位：小时），为常数，为能量次级数如果水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km（1）求关于的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定的大小，使该探测器消耗的能量最少解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h，即， 所以，即，； 4分 （2）() 当能量次级数为2时，由（1）知， （当且仅当即km/h时，取等号）9分 () 当能量次级数为3时，由（1）知， 所以得， 当时，；当时， 所以当时， 答：() 该

5、探测器消耗的最少能量为； () km/h时，该探测器消耗的能量最少 14分18.如图,已知椭圆：的上顶点为,离心率为. （）求椭圆的方程；（）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（） 由已知可得, ,所求椭圆的方程为 5分（）设切线方程为，则，即，设两切线的斜率为，则是上述方程的两根，所以 ； 8分 由得：， 所以， 同理可得：， 12分 所以， 于是直线方程为， 令，得， 故直线过定点. 16分19. 定义：从一个数列an中抽取若干项(不少于三项)按其在an中的次序排列的一列数叫做an的子数列，成等差

6、(比)的子数列叫做an的等差(比)子列 （1）求数列1，的等比子列； （2）设数列an是各项均为实数的等比数列，且公比q1 （i）试给出一个an，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）； （ii）若an存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k（1k3，kN*）， 当k2时， 设，成等比数列，则×，即mn2， 当且仅当n1时，mN*，此时m4，所求等比子数列为1，；设，成等比数列，则×，即mn12ÏN*；3分 当k3时，数列1，；，；，均不成等比， 当k1时，显然数列1，不成等比； 综上，所求等比子数列为1， 5

7、分 （2）（i）形如：a1，a1，a1，a1，a1，a1，（a10，q1）均存在无穷项 等差子数列： a1，a1，a1， 或a1，a1，a1， 7分 （ii）设a(kN*，nkN*)为an的等差子数列，公差为d， 当|q|1时，|q|n1，取nk1log，从而|q|， 故|aa|a1qa1q|a1|q|·|q1|a1|q|(|q|1)|d|， 这与|aa|d|矛盾，故舍去； 12分 当|q|1时，|q|n1，取nk1log，从而|q|， 故|aa|a1|q|q1|a1|q|q|1|2|a1|q|d|， 这与|aa|d|矛盾，故舍去； 又q1，故只可能q1，结合(i)知，q的所有可能值

8、为1 16分20.设函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，解：（1）当a0时，f(x)xlnxx，f(x)lnx，令f(x)0，x1，列表分析x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，) 3分（2）方法一、f(x)(xa)lnxxa，f(x)lnx，其中x0， 令g(x)xlnxa，分析g(x)的零点情况g(x)lnx1,令g(x)0，x，列表分析x(0，)(，)g(x)0g(x)单调递减单调递增g(x)ming()a，

9、 5分而f()lnae1ae，f(e2)2ae2(2ae2)，f(e2)2(2e2a)，若a，则f(x)lnx0，故f(x)在(e2，e2)内没有极值点；若a，则f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有两个零点，f(x)在(e2，e2)内有两个极值点；若a0，则f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有一个零点，f(x)在(e2，e2)内有一个极值点；综上所述，当a(，时，f(x)在(e2，e2)内没有极值点；当a(，)时，f(x)在(e2，e2)内有两个极值点；当a，0)时，

10、f(x)在(e2，e2)内有一个极值点. 10分方法二、f(x)(xa)lnxxa，f(x)lnx，令 （不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x(1，1a)，f(x)a1恒成立 11分证明如下：由（2）得g(x)在(，)上单调递增，且g(1)a0，g(1a)(1a)ln(1a)a因为当x1时，lnx1(*)，所以g(1a)(1a)(1)a0故g(x)在(1，1a)上存在唯一的零点，设为x0 由x(1，x0)x0(x0，1a)f(x)0f(x)单调递减单调递增 知，x(1，1a)，f(x)maxf(1)，f(1a) 13分 又f(1a)ln(1a)1，而x1时，lnxx1(*)， 所以f(1

11、a)(a1)11a1f(1) 即x(1，1a)，f(x)a1 所以对任意的正数a，都存在实数t1，使对任意的x(t，ta)，使 f(x)a1 15分 补充证明（*）： 令F(x)lnx1，x1F(x)0，所以F(x)在1，)上单调递增 所以x1时，F(x)F(1)0，即lnx1 补充证明（*）令G(x)lnxx1，x1G(x)10，所以G(x)在1，)上单调递减 所以x1时，G(x)G(1)0，即lnxx1 16分2016届高三下学期联考 数学附加题21【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4

12、1：几何证明选讲ABCDEO·（第21题（A）图）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2AB·ED证明：连接BD， 因为直线AE与圆O相切，所以EADABD 4分 又因为ABCD， 所以BADADE， 所以EADDBA 8分 从而，所以AD2AB·ED 10分B选修42：矩阵与变换已知，点在变换:作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点若点的坐标为，求点的坐标解： 4分设，则由，得8分所以，即 10分C选修44：坐标系与参数方程若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标

13、方程是（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线的参数方程为（为参数），当直线与曲线相交于两点，求解：（1）由，得， 4分所以曲线表示顶点在原点，焦点在轴上的抛物线 5分（2）将 代入得， 8分 10分解法二：代入得， 8分 10分D选修45：不等式选讲设函数（）当时，求函数的最大值；（）若存在，使得，求实数的取值范围解：（）当时， 2分函数在上是增函数，在上是减函数，所以 4分（），即，令，则存在，使得成立，即 7分当时，原不等式为，解得，当时，原不等式为，解得，综上所述，实数的取值范围是 10分22.设集合，从S的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设，若，则，就称子集A满足性质，求所取出的非空子集满足性质的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望.解：可列举出集合S的非空子集的个数为：个.（