第二章_自动控制系统数学模型学习教案

1、会计学1第二章第二章_自动自动(zdng)控制系统数学模型控制系统数学模型第一页，共65页。控制(kngzh)单元执行(zhxng)单元控制(kngzh)对象测量单元p(t)q(t)y(t)b(t)r(t)e(t)+-f(t)y(t)=F(r(t),f(t) 为研究系统输出为研究系统输出y(t)随时间变化的规律随时间变化的规律，以及系统的特性，必须研究系统的数学模，以及系统的特性，必须研究系统的数学模型。型。STEND第1页/共65页第二页，共65页。 任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述(mio sh)，控制系统也不例外。例如：RCUi(t)UO(t)）（）（t)(iooUtUdtt

2、dURC解解ST第2页/共65页第三页，共65页。RCUi(t)UO(t)RCTeUtUTtio）（）（/1t)(ST当Uo(0)=0时，）（）（t)(iooUtUdttdURC第3页/共65页第四页，共65页。一般(ybn)地，对于线性定常系统，可描述为：x(t)x(t)b b + + + dtdtx(t)x(t)d d b b+ + dtdtx(t)x(t)d d b b= = y(t)y(t)a a+ + + dtdty(t)y(t)d d a a+ + dtdty(t)y(t)d d a a 0 01 1- -m m1 1- -m m1 1- -m mm mm mm m0 01 1-

3、-n n1 1- -n n1 1- -n nn nn nn nSTEND第4页/共65页第五页，共65页。 系统的数学模型可以用微分方程表示，但对复杂的微分方程，其求解过于(guy)困难，甚至无法求解。为此研究系统的复数模型，即传递函数。 为把实数模型转换为复数模型，必须借助拉氏变换，即 Laplace 变换。ST第5页/共65页第六页，共65页。 1. Laplace 变换 积分变换的一种，它把复杂的微分方程(wi fn fn chn)转换为简单的线性代数方程。定义为：ST0)()()(dtetfsFtfLst其中，s=+j； F(s)f(t)的象函数(hnsh)；f(t)F(s)的象原函数

4、(hnsh)例如：ssedtetsFtLstst1)( 1)()( 1 00第6页/共65页第七页，共65页。 2. 常用(chn yn)拉氏变换：STssFtf1)(1)(ssFetft1)()(21)()(ssFttf1)()()(sFttf第7页/共65页第八页，共65页。 3. 拉氏变换(binhun)定理：ST)()()()(2121sFsFtftfL)()(sAFtAfL)()(sFetfLs)()(ssFdttdfL)()(sFsdttfdLnnnssFdttfL)()( 条件(tiojin)：f(0)=0,即初始条件(tiojin)为0 条件(tiojin)：f(0)=f (0

5、)=f (0)= f (n-1)(0)=0)(lim)(lim0tfssFts)(lim)(lim0tfssFts第8页/共65页第九页，共65页。 4. 拉氏逆变换：ST873513 ) 8)(3)(1()3824()4911()( 831) 8)(3)(1(13310615)(321321232132122243512133106152322sssssscccscccscccscscscssssssFsssss 可通过公式推导，但通常(tngchng)通过查拉氏变换表。如不能直接查到，则应先分解为部分分式和。例如：)()(1sFLtfttteeesFLtf831753)()( 第9页/共6

6、5页第十页，共65页。 5. 传递函数：STRCUi(t)UO(t)）（）（t)(iooUtUdttdURC）（s)()(iooUsUsRCsU 设Uo(0)=0，则第10页/共65页第十一页，共65页。ST）（s)()(iooUsUsRCsU)() 1(1s)(sGRCsUsUio）（）（s)()(ioUsGsU 从以上可以看出，只要(zhyo)G(s)一确定，该电路（环节、系统）的输出与输入之间的关系便已确定。因此，将G(s)称为该电路（环节、系统）的传递函数。 第11页/共65页第十二页，共65页。ST传递函数的定义：线性定常系统在初始条件为零的情况(qngkung)下，其输出量的拉氏变

7、换与输入量的拉氏变换之比。x(t)x(t)b b + + + dtdtx(t)x(t)d d b b+ + dtdtx(t)x(t)d d b b= = y(t)y(t)a a+ + + dtdty(t)y(t)d d a a+ + dtdty(t)y(t)d d a a 0 01 1- -m m1 1- -m m1 1- -m mm mm mm m0 01 1- -n n1 1- -n n1 1- -n nn nn nn n下面推导一般(ybn)系统的传递函数：第12页/共65页第十三页，共65页。ST01110111s)()(asasasabsbsbsbXsYsGnnnnmmmm）（在初始

8、条件为零的情况下，对两边(lingbin)求拉氏变换得：)X(s)X(s)b b + + +s sb b+ +s s(b(b= =)Y(s)Y(s)a a+ +s sa a+ +s s(a(a0 01 1- -m m1 1- -m mm mm m0 01 1- -n n1 1- -n nn nn n 传递函数G(s)在复数域表征了在零初始条件下系统的输出量与输入量之间的关系(gun x)。 对于实际的系统，总有nm。即G(s)是复变量s的有理分式。第13页/共65页第十四页，共65页。STniimiipszsKXsYsG11)()(s)()(）（将G(s)写成：其中，X(s)=0称为系统的特征

9、方程，也即对应(duyng)微分方 程的特征方程； pi(i=1n)为X(s)=0的根，称为G(s)的极点； zi(i=1m)为Y(s)=0的根，称为G(s)的零点。如果系统特征方程中s的次数是n，则称该系统称为n阶系统。第14页/共65页第十五页，共65页。ST传递函数的性质：1）分母次数n分子次数m，惯性所致；2）an,an-1,a1,a0 ; bm,bm-1,b1,b0取决于系统中各元件的参数；3）传递函数反映系统的固有特性，取决于系统的结构和参数， 与系统存在的物理(wl)形式、输 入输出的形式以及初始条件无关；4）传递函数的零极点若为复数，则必为共轭复数，成对出现；5）传递函数的拉氏

10、逆变换实际上是系统的理想单位脉冲响应（简 称脉冲响应）；6）传递函数在系统中 起信号的传递或转换作用。第15页/共65页第十六页，共65页。ST 由于传递函数反映的是系统的固有特性，取决于系统的结构和参数， 与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以及初始条件无关，因此在研究控制系统时往往仅从系统的传递函数入手，而不去关心系统的结构形式。因为，对于控制系统，最重要(zhngyo)的是： （1）系统的动态过程是否稳定，以及稳定程度如何；（2）系统是否存在静态偏差，以及静态偏差的大小；（3）寻找提高稳定性和减少静态偏差的途径。传递函数的用途：（1）求系统或环节输出量的表达式；（2）分析系统的稳定性、

11、动态特性和静态特性。第16页/共65页第十七页，共65页。ST 6. 传递函数的方框图： 将一个环节用方框图表示，并将其传递函数写在方框中，便得到该环节的传递函数方框图；若用方框图描述(mio sh)一个系统，并将系统中各个环节用传递函数方框图表示，则得到该系统的传递函数方框图。G(s)Xi(s)XO(s)）（s)()(ioXsGsX环节(hunji)的传递函数方框图第17页/共65页第十八页，共65页。STG1(s)G2(s)G3(s)G4(s)P(s)Q(s)Y(s)B(s)R(s)E(s)+-F(s)控制系统(kn zh x tn)的传递函数方框图）s ()()(BsRsE）s ()()

12、(1GsEsP第18页/共65页第十九页，共65页。ST传递函数的方框图的基本元素：（1）函数方框：方框中的传递函数表示该环节的动态特性，其输出等于该环节的传递函数和输入的乘积。环节的输入会影响环节的输出，但输出不会影响输入。（2）信号线：带箭头的信号传递路线，信号线上标出其携带的信号变量。信号传递具有单向性。（3）引出点（交叉点，测量点）：信号线的分叉点。同一位置引出的信号在数值和性质(xngzh)方面完全相同。（4）比较点（会合点）：对两个以上的信号进行代数运算，其输出等于各个输入的代数和。END第19页/共65页第二十页，共65页。STs)()()(XsYsGs)()()(XsGsY又设

13、系统(xtng)的输入 x(t)=(t)，即X(s)=1)(1)()(sGsGsY对Y(s)求拉氏逆变换得到(d do)系统的脉冲响应输出y(t)。设系统(xtng)的传递函数为：则系统的输出则第20页/共65页第二十一页，共65页。ST11ss)()()(sXsGsY对Y(s)求拉氏逆变换得到系统(xtng)的阶跃响应输出y(t)= (t) 。那么(n me)系统的输出若nm，则在G(s)中至少(zhsho)出现s的一次方项。设G(s)=s01110111s)()(asasasabsbsbsbXsYsGnnnnmmmm）（假设对系统输入一个单位阶跃输入x(t)=1 ，即X(s)=1/s该系统

14、在实际中不存在。第21页/共65页第二十二页，共65页。STG2(s)G1(s)G3(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xo(s)()()()( )()()()()()(12312323sXsGsGsGsXsGsGsXsGsXio)()()()()()(321sGsGsGsXsXsGio1.串联方框(fn kun)的等效变换第22页/共65页第二十三页，共65页。STG2(s)G1(s)G3(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xo(s)()()()()()(321sGsGsGsXsXsGioG (s)Xi(s)Xo(s)第23页/共65页第二十四页，共65页。ST)()()()()(21sGs

15、GsXsXsGioG2(s)G1(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xo(s)2.并联方框(fn kun)的等效变换G (s)Xi(s)Xo(s)第24页/共65页第二十五页，共65页。STG1(s)H(s)+)()()()()()()()()(111sXsXsXsHsXsXsGsXsXfiofo3.反馈连接(linji)方框的等效变换X1(s)Xf(s)Xi(s)Xo(s)A第25页/共65页第二十六页，共65页。STG1(s)H(s)+)()(1)()()()(11sGsHsGsXsXsGioX1(s)Xf(s)Xi(s)Xo(s)AG (s)Xi(s)Xo(s)反馈连接(linji)传递

16、函数也称为闭环传递函数；若在A点断开，则为开环，开环传递函数为：)()(1sGsH前向通道(tngdo) 反馈通道(tngdo)第26页/共65页第二十七页，共65页。ST)(1)()()()(11sGsGsXsXsGioG1(s)+Xi(s)G (s)Xi(s)Xo(s)Xo(s)若反馈通道的传递函数H(s)=1，则称为(chn wi)单位反馈。第27页/共65页第二十八页，共65页。ST4.引出(yn ch)点的移动相邻的引出点可以相邻的引出点可以(ky)前后任意改变次序前后任意改变次序ABBA第28页/共65页第二十九页，共65页。ST顺着信号传递的方向跨越(kuyu)环节)(1sG乘以

17、G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X3(s)X1(s)X2(s)1/G(s)第29页/共65页第三十页，共65页。STG(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)G(s)X3(s)X1(s)X2(s)逆着信号传递的方向跨越(kuyu)环节乘以G(s)第30页/共65页第三十一页，共65页。STX1(s)X2(s)X4(s)5.汇合点的移动(ydng)X3(s)X1(s)X2(s)X4(s)X3(s)ABAB相邻的汇合点可以前后任意改变相邻的汇合点可以前后任意改变(gibin)次序次序第31页/共65页第三十二页，共65页。ST乘以G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(

18、s)G(s)X3(s)X1(s)X2(s)5.汇合点的移动(ydng)顺着信号传递的方向(fngxing)跨越环节第32页/共65页第三十三页，共65页。ST乘以G(s)X3(s)X1(s)X2(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)1/G(s)(1sG逆着信号传递(chund)的方向跨越环节第33页/共65页第三十四页，共65页。ST相邻相邻(xin ln)的引出点和汇合点不可改变次序的引出点和汇合点不可改变次序X1(s)X2(s)ABX1(s)X2(s)AB第34页/共65页第三十五页，共65页。ST逆着信号逆着信号(xnho)传递的方向移动传递的方向移动引出引出(yn ch)点点汇合

19、点汇合点顺着信号传递的方向移动顺着信号传递的方向移动乘以 G(s)(1sG)(1sG乘以乘以乘以 G(s)引出点和汇合点的移动原则：保持移动前后的信息总量不变。引出点和汇合点的移动原则：保持移动前后的信息总量不变。第35页/共65页第三十六页，共65页。STG2G3 G1 H1 H2_ Xi(s)Xo(s) _G2G3 G1 H1H2/G1 _ Xi(s)Xo(s)_练习(linx)1：第36页/共65页第三十七页，共65页。STG2G3 G1 H1H2/G1 _ Xi(s)Xo(s)_G3H2/G1 _ Xi(s)Xo(s)_G1G21G1G2H1第37页/共65页第三十八页，共65页。ST

20、_ Xi(s)Xo(s)G1G2G31G1G2H1 G2G3H2G1G2G31G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 Xi(s)Xo(s)第38页/共65页第三十九页，共65页。STG2(s)G3(s)G1(s)G4(s)G5(s)_+G6(s)_+ X(s)Y(s)练习(linx)2：第39页/共65页第四十页，共65页。STG2(s)G3(s)G4(s)G5(s)+_G6(s)X(s)Y(s)练习(linx)3：第40页/共65页第四十一页，共65页。ST1.比例环节(hunji)：环节(hunji)的输出随输入成比例变化 xo(t)=kxi(t)其传递函数为：任何复杂的控制系统都是由最

21、基本的典型(dinxng)环节所组成的。ksXsXsGio)()()(第41页/共65页第四十二页，共65页。ST（1）弹性元件：位移(wiy)随外力大小成比例变化，比例系数取决 于元件的弹性大小。与输入输出无关。片簧片簧金属膜片金属膜片波汶管波汶管FFP第42页/共65页第四十三页，共65页。ST（2）节流元件：前后压力(yl)差的大小随气流量成比例变化，比 例系数取决于元件的弹性大小。与输入输出 无关。p (t)=Rq (t)G (s)=P (s)/ Q(s) = R第43页/共65页第四十四页，共65页。ST（3）喷嘴挡板(dn bn)机构：输出压力随喷嘴挡板(dn bn)的开度成比例变

22、化恒节流恒节流(ji li)孔孔背背 压压 室室喷喷 嘴嘴挡挡 板板喷嘴挡板机构结构示意图喷嘴挡板机构结构示意图气源输出第44页/共65页第四十五页，共65页。ST0.10MPa0.02MPa1022h(um)MPa喷嘴挡板机构喷嘴挡板机构(jgu)的静特性的静特性第45页/共65页第四十六页，共65页。ST（4）放大器：对输入(shr)信号成比例放大 输出输出(shch)输入输入气气动动功功率率放放大大器器第46页/共65页第四十七页，共65页。STIIIIIISP输入(shr)FP0Pa第47页/共65页第四十八页，共65页。ST电电动动(din dn)功功率率放放大大器器R1Rfu0ui

23、iiiiffiokuuRRRRuu11第48页/共65页第四十九页，共65页。ST2.积分环节：环节的输出(shch)与输入对时间的积分成比例。dttxktxio)()(sksG)(若k=1, 则ssG1)(第49页/共65页第五十页，共65页。STqpdtqcp1cssQsPsG1)()()(dmcdpdpdmc1dtqcdpqcdtdmcdtdp111输入量为气体(qt)流量，输出量为气容气压（1）气容）气容第50页/共65页第五十一页，共65页。STdticu10cssIsUsG1)()()(0Cuoi输入量为电流(dinli)，输出量为电容两端的电压（2）阻容电路）阻容电路(dinl)

24、第51页/共65页第五十二页，共65页。STdtRucdticuio111csRsUsUsGi101)()()(输入量为电压(diny)，输出量也为电压(diny)（3）运放电）运放电(fng din)路路uiC+uoiiR1)(1)(1sUcsRsUio第52页/共65页第五十三页，共65页。ST)1( )1(1212dtRucRRudticiRuiio)1()()()(1120csRRRsUsUsGi（4）f ig. 2-35uiC+_uoiiR1)()1()(112sUcsRRRsUioR2第53页/共65页第五十四页，共65页。ST（5）积分）积分(jfn)环节的阶跃响应环节的阶跃响应

25、ssUsUsGi1)()()(0设 ui(t)=1,则Ui(s)=1/s21 11)()()(ssssUsGsUiottuo)(tu(t)第54页/共65页第五十五页，共65页。ST3. 一阶惯性环节： 输入突变时，输出的变化滞后于输入的变化，并按一定的规律(gul)趋近于输入值。p0piR节流盲室u0uiRCKRC电路uiRfC-+R1uo运算放大电路第55页/共65页第五十六页，共65页。STuouiRCKdttictuo)(1)(i)()()(tutiRtuoi)()()(tutudttduRCioo)()()(sUsUsURCsioo1111)()()(TsRCssUsUsGio因分母

26、最高次数为1，所以为一阶惯性(gunxng)环节。第56页/共65页第五十七页，共65页。ST11)()()(TssUsUsGio一阶惯性(gunxng)环节的阶跃响应：设 ui(t)=1,则Ui(s)=1/sTssTsTssTssUsGsUio11111 111)()()(Ttoetu/1)(024681000.10.20.30.40.50.60.70.80.91一般系统对单位阶跃函数的响应：第57页/共65页第五十八页，共65页。STuiRfC-+R1uo运算放大电路)()()(1dttduCRtuRtuofoi)()()(1sCsURsURsUofoi111)()()(11CsRRRCsRRsUsUsGfffio第58页/共65页第五十九页，共65页。ST4. 一阶微分环节：环节的输出(shch)与输入的微分成比