第4章-线性方程组

1、4.1 消元法消元法4.2 矩阵的秩矩阵的秩 线性方程组可解的判别法线性方程组可解的判别法4.3 线性方程组的公式解线性方程组的公式解4.4结式和判别式结式和判别式2021/8/614.1 消元法消元法线性方程组的一般形式线性方程组的初等变换 矩阵、矩阵的初等变换、系数矩阵与增广矩阵用消元法解线性方程组2021/8/62一一. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式 ( m 个方程 n个未知数 ( m, n 0 ) )11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xa xa xa xa xba xba xb 解线性方程组的例子（例1）线性方程组的三种初等变换：l

2、 交换两个方程的位置；2. 用一个不为零的数乘以某一方程；3. 用一个数乘以某一个方程后加到另一个方程。定理定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为另一个与它同解的线性方程组。二. 线性方程组的初等变换三三. 矩阵、矩阵的初等变换、系数矩阵与增广矩阵、矩阵的初等变换、系数矩阵与增广矩阵矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaa系 数常数 项11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab 系 数 矩 阵增 广 矩 阵线性方程组的系数与常数项 表），叫做一个s 行 t 列的矩阵， 叫这个矩阵的元素。 1. 矩阵的定义矩阵的定义111212122212ttss

3、stcccccccccijcijc定义定义1 由 st 个数 排成的一个 s 行 t 列的表（下矩阵的表示：A，B，C，.、 等mnA2. 矩阵初等变换矩阵初等变换定义定义2 ： 矩阵的三种行(列)初等变换初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： 交换矩阵的两行(列)；2. 用一个不为零的数乘；3. 用一个数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列)。几个问题：1. 初等变换能把矩阵化为什么形式？2. 如何用矩阵的初等变换法解线性方程组？3. 线性方程组的解有哪几种情况？四四. 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组定理定理4.1.2 设A是一个m行n列的矩阵111212122212nnmmmn

4、aaaaaaAaaa通过和能把A化为以下形式1*01*0001*000000000000B 进而化为以下形式： 1,11,2,1,1,1000100010000000000rnrr nr rr nccccCcc 这里 r 0 ，r m ，r n。消元法及线性方程组解的三种情况消元法及线性方程组解的三种情况（A ,）可以化为（常数项列不前移）由定理4.1.2 知线性方程组的一般形式的增广矩阵11,11,22,1,1,11000100010000000000rnrr nrr rr nrmdccdccdccdd 相应的线性方程组为11,111122,1122,11100rrnnrrnnrr rrrn

5、nrrmycyc ydycyc ydycyc yddd11nnyyxx这里是的一个排列 相应的线性方程组为11,111122,1122,11100rrnnrrnnrr rrrnnrrmycyc ydycyc ydycyc yddd11nnyyxx这里是的一个排列由上页方程组可以看出：情形1：当 r m ，而 不全为零时， 方程组无解。情形2：当 r = m 或 r m而 全为零时，方程组有解。此时，原方程组与方程组(1)同解。1.当 r = n 时，方程组有唯一解 , i= 1, 2, n。2.当 r n 时，方程组有无穷多解，称为一般解(2)，其中 称为自由未知量，对其任意取一组值代入方程组

6、(2)都能得到方程组(2)也是原方程组的一个特殊的解。1,rmdd1,rmddiiyd1,rnyy11,111122,1122,11(1)rrnnrrnnrr rrrnnrycyc ydycyc ydycyc yd111,111222,112,11(2)rrnnrrnnrrr rrrnnydcyc yydcyc yydcyc y消元法解线性方程组的步骤：1. 写出增广矩阵；2. 做行初等变换，化为行最简形。具体解线性方程组时，一般不交换其增广矩阵的3. 判断解的情况，有解的给出其唯一解或一般解。此方法以及阶梯形矩阵和行最简型矩阵参见例2，例3题列，定理中其所以这样做，是为了使结果容易叙述，有关

7、4.2 矩阵的秩矩阵的秩线性方程组可解的判别法线性方程组可解的判别法 矩阵的秩线性方程组可解的判别法2021/8/616上一节解上一节解 线性方程组（线性方程组（1）时的几个问题：）时的几个问题： 1. 把（1）的系数矩阵（2）化为矩阵（3）时， r 与（2）究竟有什么关系？ 它是否依赖于所做的初等变换？因为一般来说不同的初等变换把（2）化为不同的形如（3）的矩阵 。2. 线性方程组（1）有解时，它的系数应满足什么条件？3. 线性方程组（1）有没有公式解？ k k 阶子式阶子式 矩阵的秩矩阵的秩mnA 定义定义1 在一个 m 行 n 列的矩阵中任意取 k 行 k 列（km,kn）。位于这些行列

8、交点处的元素所构成的 k 阶行列式叫做这个矩阵的一个 定义定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个。若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵矩阵的秩为零。矩阵A的秩表示为：秩A 或R(A)。(rank)几个问题： 1. 矩阵 的秩的范围？ （r0，rm，rn）2. 若矩阵 的秩为r，则有没有一个r+1（或 r-1 ）阶的不为零的子式？有没有可能所有的r-1阶子式都等于零？3. 讨论用定义求一般矩阵的秩的可行性？mnA初等变换与矩阵的秩初等变换与矩阵的秩218294003342000035000000定理定理4.2.1 初等变换不改变矩阵的秩。 此定理使矩阵求秩问题变得简单，我们先

9、把想要求秩的矩阵化为阶梯形，它的秩就等于不全为零的行的行数。看下列阶梯形矩阵它有一个3阶子式不等于零，4阶子式全为零，故秩是3。线性方程组可解的判别法线性方程组可解的判别法 解的个数解的个数定理定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。定理定理4.2.3 设线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 r ，那么当 r 等于方程组所含未知量的个数 n 时，方程组有唯一解；当 r n 时，方程组有无穷多解。4.3 线性方程组的公式解线性方程组的公式解 线性方程组的公式解齐次线性方程组及其有关结论2021/8/621m 个方

10、程个方程可以可以归结为归结为 r 个方程个方程12,tG GGiG12,tG GG线性方程组（1）的就是由它的系数和常数项表示而用初等变换化简方程组时，系数和常数项都发生了变化，因而此方法不能得到公式解。同样，若方程组（1）的 m 个方程（设为）中某一个方程 是其他 t 个方程（不妨设为 ) 的结果，即存在 t 个数 使则方程组（1）舍去 所得方程组与（1）同解。定理定理4.3.1 设方程组（1）有解，它的系数矩阵A和增广矩阵的秩都为 r0。那么可以在（1）的 m 个方程中选出 r 个方程，使得剩下的 m-r 个方程中的每一个都是这 r 个方程的结果，因而解方程组（1）可以归结为 解由这r 个

11、方程所组成的线性方程组。12,tk kk1122ittGk Gk Gk GiG线性方程组的公式解线性方程组的公式解1,rxx11 1111,1111 1,11(2)rrrrnnrrrrrrrrrnna xa xa xa xa xa xba xba x左上角的 r 阶子式不为零（线性方程组（1） 。则线性方程组（1）与线性方程组（2）同解。把 当成未知量，把 当成常数，将其写成下列形式：方程组（2）适合克拉默规则的条件，所以有公式解。 在公式解中， 为自由未知量。1,rnxx1,rnxx齐次线性方程组齐次线性方程组111122121122221122(3)000nnnnmmmnna xa xa

12、xa xaxaxa xa xax定义定义 若线性方程组的常数项都等于零，则此方程组叫做齐次线性方程组齐次线性方程组。齐次线性方程组系数矩阵与增广矩阵的一定相等，所以它一定有解，至少有零解（零解（ ）若还有其他解，则称为非零解非零解。10nxx齐次线性方程组的有关结论齐次线性方程组的有关结论定理定理4.3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：其系数矩阵的秩 r 小于未知量的个数 n。推论推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：方程组的系数行列式等于零。推论推论4.3.4 若齐次线性方程组中，方程的个数小于未知量的个数，那么这个方程组一定有非零解。注

13、：注：以上讨论的是求线性方程组的精确解的理论和方法，在实际问题中常常只需求近似解，它还有相应的另一套方法，参阅有关计算数学的书。4.4 结式和判别式结式和判别式2021/8/626关于结式和判别式的几个定理关于结式和判别式的几个定理101( )(0)nnng xbxbxb n101( )(0)nnng xb xbxb n101( )(0)mmmf xa xaxa m定理定理4.4.1 如果多项式如果多项式有公根，或者有公根，或者 ，那么它们的结式等于零。，那么它们的结式等于零。 定理定理4.4.2 设设是复数域是复数域C上的多项式。上的多项式。 是它们的结式。是它们的结式。000ab( , )R f g101( )(0)mmmf xa xaxa m 00a 12, ,mC 012( ,)() ()()nmR f ga ggg(i) 如果如果 ， 而而 是是 的