配方法解方程案例

1、配方法解一元二次方程教学案例学校：安丘市吾山镇吾山初级中学 教师： 辛茂学一、教学案例背景1、面向学生：初中三年级 2、学科：数学 3、课时：1课时4、学生课前准备：复习开平方的意义，预习配方法解一元二次方程。5、教师准备：教学案例，课件及导学案讲义。二、教学目标【知识与技能】使学生学会用配方法解一元二次方程。【过程与方法】经历列方程解决问题的过程，体会配方法的推导过程，能熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技巧。【情感、态度与价值观】通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。三、教学重点难点【重点】用配方法解一元二次方

2、程【难点】配方的过程四、教学方法：分组讨论、合作探究。五、本节课的设计理念 教学前用百度引擎() 搜索用配方法解一元二次方程的相关教学材料。并根据课堂需要在百度网() 搜索用配方法解一元二次方程的相关教学视频，在课堂上放给学生观看，加强学生的视觉直观印象。励学生从事观察、应用、推理等活动，帮助学生有意识地积累数学应用的经验，教学中应鼓励学生动手、动口、动脑和交流，充分展示“观察想象应用归纳”的过程，使学生在直观的基础上学习归纳，促使学生形成良好的品质。六、教学过程设计 （一）创设情境 导入新课 演示文稿1.ppt导语一（1）你能解哪些一元二次方程？（2）解方程x2+12x-15=0的困难在哪里

3、？你能将方程x2+12x-15=0转化为上面方程的形式吗？导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？2、将下列各式配成完全平方式。（1）a2+12a+ 62 =(a+ 6 )2；（2）x2- x +=(x+ )2；3、若x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±6 。导语三 2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题吗？设这两年的年平均增长率为x，则1600(1+x)2=1936，解得x=10%，x2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%（二）合

4、作探究1、配方法问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何问题，请一位同学回答，教师演示答案。）即：设场地宽xm，则长为(x+6)m。根据矩形面积为16m2，列方程x(x+6)=16，即x2+6x-16=0 （思考）怎样解方程x2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x2+6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考

5、、讨论发表意见，同时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x2+6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。）x2+6x-16=0 移 项x2+6x=16 两边都加上9（即()2）使左边配成 x2+2bx+b2的形式x2+6x+9=16+9 左边写成平方形式(x+3)2=25 降次x+3=±5 解一次方程x+3=5,x+3=-5x1=2，x2=-8像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方的目的是为了降次，把一个一元二

6、次方程转化成两个一元一次方程来解。2、归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（2）方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方，解这个一元二次方程。（三）应用迁移 巩固提高类型之一 用配方法解一元二次方程演示文稿3.ppt【例1】解下列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导。）（1）x2-10x+24=0； （2）2x2 +5x+2=0； （3）3x2-6x+4=0解：（1）移项，得x2-10x=-24

7、配方，得x2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=±1，x=5±1x1=6，x2=4（2）移项，得2x2+5x=-2两边同除以2得：x2+x=-1，配方，得(x+)2=，开方得x+=±，x1=-， x2=-2（3）移项，得3x2-6x=-4二次项系数化为1，得x2-2x=-，配方，得x2-2x+12=-+12,(x-1)2=-因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。（注：本次活动，教师应鼓励学生大胆猜想，勇于发表自己的见解）。练一练 演示文稿2.ppt解下列方程：（1）x2-8

8、x+1=0； （2）2x2+1=3x； （3）4x2-6x-3=0【分析】（1）把x2-8x+1=0移项，得x2-8x=-1，两边都加一次项系数的一半的平方，得x2-8x+42=-1+42，即(x-4)2=15，再开平方即可求出方程的解。（2）先移项化为2x2-3x+1=0,再方程两边同时除以2，得x2-x+=0，再移项，配方。（3）两边同时除以4，把二次项系数化为1，再移项，配方。特别提示（1）配方法的含义是把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边若为非负数，然后用开平方法求解。（2）配方的关键是“方程两边都加上一次项系数一半的平方”类型之二 二次三项式的配方【例2】填空：(1)x2+6x

9、+_=(x+3)2；(2)x2-5x+_=(x-_)2；(3)x2+x+_=(x+)2；(4)x2+px+_=(x+_)2。（学生练习，教师巡视辅导，然后由学生回答，师生一起纠正，然后归纳。）【归纳】左边常数项是一次项系数的一半的平方，右边是一次项系数的一半。【答案】(1)32；(2)()2 ；(3)()2；(4)()2 .【例3】用配方法将下列式子化为a(x+h)2+k的形式。(1)-3x2-6x+1； 解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-)=-3(x2+2x+12-12-) = -3(x+1)2-=-3(x+1)2+4【点评】化二次三项式ax2+bx+c(a0)为a(x+h)2

10、+k形式分以下几个步骤。（1）提取二次项系数使括号内的二次项系数为1.（2）配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方。（3）化简、整理（4）本例题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础。（四）小结反思 拓展升华演示文稿4.ppt小结1.本节主要学习了用配方法解一元二次方程。2.本节用到的数学方法是转化思想.根据实际问题建立数学模型。反思用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？(1)把二次项系数化为1；方程的两边同时除以二次项系数。(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。(3)配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+a)2=b的形式。(4)用直接开平方法解变形的方程(x+a)2=b的形式。拓展用配方法证明：多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值。【分析】欲证2x4-4x2-1>x4-2x2-4，即证(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)>0，只要算出(2x4-4x2-1)-(x4-