第四章数值积分与数值微分§2牛顿—柯特斯公式PPT课件

1、第四章第四章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 2 2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 一、牛顿一、牛顿柯特斯公式柯特斯公式 二、偶阶求积公式的代数精度二、偶阶求积公式的代数精度三、几种低阶求积公式的余项三、几种低阶求积公式的余项 四、举例四、举例 nkknknbaxfCabIdxxf0)()()()(一、牛顿一、牛顿柯特斯公式柯特斯公式1. 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式对于机械求积公式对于机械求积公式,nabh 将积分区间将积分区间a,b划分为划分为n等分，步长等分，步长 nkkkbaxfAdxxf0)()(选取等距节点选取等距节点 构造出的插值型求构造出的插值型求积公式积公式 khaxk

2、 称作称作Newton-Cotes公式公式柯特斯系数柯特斯系数2. 柯特斯系数的计算柯特斯系数的计算由插值型求积公式可知由插值型求积公式可知 baknkknkkkbadxxlxfxfAdxxf)()()()(00所以所以 baknkdxxlabC)(1)(引入变量变换引入变量变换thax dxxxxxabjkjbankjj 01则则jhaxkhaxjk ,于是有于是有dtjkjtabhCnnkjjnn 00)(dtjtjknnnkjjnkjj)(11000 ( )nabh dtjtnkkknnnkjj)().(2)(1(11).1(1100 dtjtknnknnkjjkn)()!( !)1(0

3、0 即柯特斯系数的计算公式即柯特斯系数的计算公式dtjtknnkCnnkjjknnk)()!( !)1(00)( 当当n=1时，时， 1001)1(0)1()!01( ! 01)1(dttC21 1011)1(1)0()!11( ! 11)1(dttC21 故一阶的牛顿故一阶的牛顿柯特斯公式为柯特斯公式为梯形公式梯形公式当当n=2时，时， 2002)2(0)2)(1()!02( ! 02)1(dtttC61 20)2(1)2)(0(21dtttC64 故二阶的牛顿故二阶的牛顿柯特斯公式为柯特斯公式为辛甫生辛甫生(Simpson)公式公式 20)2(2)1)(0(41dtttC61 )()2(4

4、)(6bfbafafabS 而而 n= 4时的牛顿时的牛顿柯特斯公式为柯特斯公式为)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC 这里这里4,abhkhaxk 特别称为特别称为柯特斯柯特斯(Cotes)公式公式注：其余柯特斯系数详见书上表注：其余柯特斯系数详见书上表4-1.二、偶阶牛顿二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数柯特斯求积公式的代数精度精度实际的代数精度实际的代数精度到底是多少？到底是多少？作为插值型的求积公式，作为插值型的求积公式，n阶阶牛顿牛顿柯特斯公式至少具有柯特斯公式至少具有n次代数精度，那么次代数精度，那么 两种特殊偶阶求积公式的代数精度两种特殊

5、偶阶求积公式的代数精度辛甫生辛甫生(Simpson)公式公式)()2(4)(6bfbafafabS 首先它是二阶公式，因此至少具有二次首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数精度，进一步当代数精度，进一步当 f(x)=x3时，时，)2(46333bbaaabS 而而4443abdxxIba 这时有这时有S=I即辛甫生公式对次数不超过三次的多项即辛甫生公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，式均能准确成立，又容易验证它对又容易验证它对 f(x)=x4是不准是不准确确的，因此，二的，因此，二阶式阶式实际上具有实际上具有三次代数精度。三次代数精度。对四阶柯特斯公式进行检验发现：对四阶柯特斯公式进行检

6、验发现：四阶柯特斯公式实际上具有五次代数精度。四阶柯特斯公式实际上具有五次代数精度。这不是偶然，一般地，有下面的定理。这不是偶然，一般地，有下面的定理。 偶数求积公式的代数精度偶数求积公式的代数精度定理定理当当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿柯特斯公柯特斯公式至少有式至少有n+1次代数精度。次代数精度。注：注：在实际应用时，出于对计算复杂性在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。公式。三、几种低阶求积公式的余项三、几种低阶求积公式的余项利用数值求积公式的余项公式利用

7、数值求积公式的余项公式)()()()1(0mnkkkbaKfxfAdxxffR1. 求梯形公式的余项求梯形公式的余项)()(2bfafabT 3)(12)(abfRT 证明：按余项公式（证明：按余项公式（4.1.7），梯形公式的余），梯形公式的余项为：项为：这里核函数这里核函数(x-a)(x-b)在区间在区间a, b上非正上非正积分中值定理积分中值定理根据积分中值定理：在根据积分中值定理：在(a, b)内存在一点，内存在一点， 使使)()(2bfafabT 3)(12)(abfRT 梯形积分公式及其余项：梯形积分公式及其余项：2. 求辛甫生公式的余项求辛甫生公式的余项辛甫生公式辛甫生公式)()

8、2(4)(6bfbafafabS )(2180)4(4fababRs证明：证明：辛甫生公式具有至少辛甫生公式具有至少3次代数精度，次代数精度，为此构造次数不大于三的多项式为此构造次数不大于三的多项式 H(x)，使，使之满足：之满足：H(x)是三次多项，下面积分公式准确的是三次多项，下面积分公式准确的上式的右端实际上按辛甫生公式求得的积上式的右端实际上按辛甫生公式求得的积分分S，因此积分余项，因此积分余项插值余项：插值余项：故有：故有：用积分中值定理有：用积分中值定理有：辛甫生积分公式及其余项辛甫生积分公式及其余项)()2(4)(6bfbafafabS )(2180)4(4fababRs3. 柯

9、特斯公式的余项柯特斯公式的余项)()4(945)(2)6(6 fababCIRc 101010311012011.859140921( )(1 0)0.2265235, (0,1)1212 14e + 1.7188612611 0( )(180243xxxe dxe dxeeeR fee dxeeR fe 运用梯形公式、辛普森公式分别计算积分，并估计误差。解： 运用梯形公式 其误差为 运用辛普森公式 其误差为例 41) =0.00094385, (0,1)28802880ee四、举例四、举例四、举例四、举例试分别使用梯形公式和辛甫生公式计算试分别使用梯形公式和辛甫生公式计算积分积分 211dxex的近似值，并估计余项。的近似值，并估计余项。解解用梯形公式计算用梯形公式计算1835. 2)(21221121 eedxex3)(12)(abfRT 余项余项,)(1xexf ,1)(12xexxf ,)12()(143xexxxf 1548. 8)1(| )(|max21 fxfx所以所以余项为余项为3)(12)(|abfRT 6796. 0| )(|max12)12(213 xfx用辛甫生公式计算用辛甫生公式计算0263. 2)4(612215 . 11121 eeedxex余项余项)(2180)4(4 faba