三角形的证明

1、2.1 2.1 等腰三角形等腰三角形知识目标：知识目标：1、了解等腰三角形的概念、掌握等腰三角形的轴对称性。、了解等腰三角形的概念、掌握等腰三角形的轴对称性。2、会在具体的图形中识别等腰三角形。、会在具体的图形中识别等腰三角形。能力目标：能力目标：经历等腰三角形对折的学习过程，培养学生探索知识的经历等腰三角形对折的学习过程，培养学生探索知识的能力。能力。情感目标：情感目标：感受等腰三角形在日常生活中的应用，增强学习等腰三感受等腰三角形在日常生活中的应用，增强学习等腰三角形知识的欲望。角形知识的欲望。教学重点：教学重点：等腰三角形的轴对称性。等腰三角形的轴对称性。教学难点：教学难点：通过操作，如

2、何观察、分析、归纳得出等腰通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形的有关性质。三角形的有关性质。a ac cb b腰腰底边底边底角底角顶角等腰三角形中，相等的两边都叫做等腰三角形中，相等的两边都叫做腰腰，另一，另一边叫做边叫做底边底边，两腰的夹角叫做，两腰的夹角叫做顶角顶角，腰和底，腰和底边的夹角叫做边的夹角叫做底角底角. .合作学习合作学习在透明纸上任意画一个等腰三角形在透明纸上任意画一个等腰三角形abc，画出它的顶，画出它的顶角平分线角平分线ad（如图（如图1），然后沿着），然后沿着ad所在的直线把所在的直线把abc对折（如图对折（如图2），你发现了什么？由此，你得出了），你发现了什么

3、？由此，你得出了什么结论？什么结论？abcdac(b)d结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角 平分线所在的直线是它的对称轴。平分线所在的直线是它的对称轴。a ab bc cd dab和和acbcaad和和bdabadb3. 3. 等腰三角形的两边分别是等腰三角形的两边分别是2cm2cm和和5cm5cm，则它的周长是则它的周长是_cm._cm.124、已知一个等腰三角形三边长为、已知一个等腰三角形三边长为,21,xx求这个等腰三角形的三边长。求这个等腰三角形的三边长。53,x5、在等腰三角形、在等腰三角形abc中，中，ab的长是的长是bc的的长的长的2倍，周长为倍

4、，周长为40，求，求ab的长。的长。1 1、 等腰三角形的底边长为等腰三角形的底边长为7cm7cm，一腰上，一腰上的中线把周长分为两部分，其差为的中线把周长分为两部分，其差为3cm3cm，则等腰三角形的腰长为多少？则等腰三角形的腰长为多少？2 2、 已知等腰三角形一腰上的中线将它的已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成周长分成15cm15cm和和6cm6cm两部分，求等腰三两部分，求等腰三角形的底边长。角形的底边长。想一想想一想3 3、 已知等腰三角形一腰上的中线将它分成已知等腰三角形一腰上的中线将它分成的两个三角形周长分别为的两个三角形周长分别为15cm15cm和和6cm6cm，求等腰三角

5、形的底边长。求等腰三角形的底边长。今天你学到了哪今天你学到了哪些内容些内容?1. 等腰三角形的概念等腰三角形的概念2. 会画等腰三角形会画等腰三角形3. 等腰三角形是等腰三角形是轴对称图形轴对称图形， 顶角平分线所在的直线顶角平分线所在的直线是它的是它的对称轴对称轴思考思考在平面内，分别用在平面内，分别用 3 3根，根，5 5根，根，6 6根根火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形？通过尝试，完成下形状的三角形？通过尝试，完成下面的表格。面的表格。7 7根火柴棒呢？根火柴棒呢？8 8根呢？根呢？你发现了什么规律？你发现了什么规律？火柴棒火柴棒356789示意图

6、示意图形状形状等边等边三角三角形形等腰等腰三角三角形形 等边等边三角三角形形ba如图，在如图，在44的方格中，是否存在格点的方格中，是否存在格点p，使得使得pab是等腰三角形。是等腰三角形。探究创新题探究创新题1.2 直角三角形直角三角形(2)北师大课标九上北师大课标九上 1.2 (2)美国第十七任总统的证法美国第十七任总统的证法22222122122121221221212122212212221211)2()(cbacababbasscabcababsabbababababasbacbac复习与回顾复习与回顾cabcabcabcab (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2

7、 = c2 +2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2 +4ab/2想一想想一想ca ca cb ca c2= 4ab/2 +(b-a)2 c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2 a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c24ab/2+(b- a)2想一想想一想w判断下列命题的真假判断下列命题的真假, ,并说明理由并说明理由: :w两个锐角对应相等的两个直角三角形全等两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ;w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等斜

8、边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ;w两直角边对应相等的两个直角三角形全等两直角边对应相等的两个直角三角形全等; ;w一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等的两个直角三角形全等. .想一想想一想设矩形的对角线设矩形的对角线ac与与bd的交点为的交点为o，那么，那么bo是直角是直角abc中一条怎样的特殊线段？它与中一条怎样的特殊线段？它与ac有什么大小关系？有什么大小关系？abcdoabco定理：直角三角形斜边上的中线等于定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边的一半abc=90，oa=ocac=2bo 或或 oa=

9、ob=oc引入新知引入新知特殊的直角三角形的性质特殊的直角三角形的性质: :1.1.在直角三角形中在直角三角形中, , 如果如果有一个锐角等于有一个锐角等于30300 0, ,那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半. .2.2.在直角三角形中在直角三角形中, , 如果如果一条直角边等于斜边一条直角边等于斜边的一半的一半, ,那么那么它所对的锐角等于它所对的锐角等于30300 0. .引入新知引入新知如果如果两个角是对顶角两个角是对顶角，那么，那么这两个角相等这两个角相等.如果如果两个角相等两个角相等，那么，那么这两个角是对顶角这两个角是对顶角.三角形中三角形中相等的边

10、相等的边所对的所对的角相等角相等.三角形中三角形中相等角相等角的所对的的所对的边相等边相等.直角三角形两条直角三角形两条直角边直角边的平方和等于的平方和等于斜边斜边的平方的平方. .如果一个三角形如果一个三角形两边两边的平方和等于的平方和等于第三边第三边的平方的平方, ,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .勾股定理：勾股定理：勾股定理逆定理：勾股定理逆定理：引入新知引入新知从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽去，横着比门框宽4 4尺，竖着比门框高尺，竖着比门框高2 2尺尺. .另一个醉汉另一个醉汉

11、教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了不少刚好进去了. . 知道竹竿有多长吗？知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程请根据这一问题列出方程. .（只列不解）（只列不解）22224xxxx尺，得设：竹竿问题讨论问题讨论直角三角形全等的判定定理及其直角三角形全等的判定定理及其三种语言三种语言l定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边斜边,直角边或直角边或hl).w如图如图,在在abc和和abc中中, c=c=900 , wac=ac , ab=ab(已知已知),

12、wrtabc rtabc(hl).abcabc引入新知引入新知用三角尺作角平分线用三角尺作角平分线l再过点再过点m作作oa的垂线的垂线,l如图如图:在已知在已知aob的两边的两边oa,ob上分别取点上分别取点m,n,使使 om=on;l过点过点n作作ob的垂线的垂线,两垂线交于点两垂线交于点p,那么射线那么射线op就是就是aob的平分线的平分线.l请你证明请你证明op平分平分aob.abopmnl已知已知:如图如图,om=on,pmom,pnon.l求证求证:aop=bop.l先把它转化为一个纯数学问题先把它转化为一个纯数学问题:问题讨论问题讨论w如图如图,已知已知acb=bda=900 ,

13、要使要使abc bda, 还需要什么条件还需要什么条件?把它们分别写出来把它们分别写出来.l增加增加ac=bd;abcdl增加增加bc=ad;l增加增加abc=bad ;l增加增加cab=dba ;l你能分别写出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗?l若若ad,bc相交于点相交于点o,图中还有全等的三角形吗图中还有全等的三角形吗?ol你能写出图中所有相等的线段你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗相等的角吗?l你能分别写出它们的证明过程吗你能分别写出它们的证明过程吗?问题讨论问题讨论 四年一度的国际数学家大会于四年一度的国际数学家大会于20022002年年8 8月月2020日在北京召开

14、，大会日在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为的一个大正方形，若大正方形的面积为2020，每个小直角三角形两，每个小直角三角形两条直角边的和是条直角边的和是6 6，求中间小正方形的面积，求中间小正方形的面积. .拓展拓展:若有一个矩形长为若有一个矩形长为5,宽为宽为4,请你把它请你把它分割成分割成6块块,使得这使得这6块拼成一个正方形块拼成一个正方形.2144问题讨论问题讨论定理定理1 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.定理定理2 在直角三角形中，两条直角

15、在直角三角形中，两条直角 边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于斜边的平方.定理定理3 在直角三角形中，如果在直角三角形中，如果 一个一个 锐角等于锐角等于30，那么它所对，那么它所对 的直角边等于斜边的一半的直角边等于斜边的一半.定理定理4 直角三角形斜边上的中线等直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半于斜边的一半特殊图形特殊图形w命题命题: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等如果一条直角边等于斜边的一半于斜边的一半, ,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30300 0. .w是真命题吗是真命题吗? ?w如果是如果是, ,请你证明它请你证明它. .300abc已知已

16、知:如图如图,abc,acb=900,bc=ab/2.求证求证:a=300.逆向思维逆向思维 acb=900,cd=bc(已知已知) ab=ad(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等端的距离相等)又又bc=ab/2(已知已知), bc=bd/2(作图作图), ab=bd(等量代换等量代换). ab=bd=ad(等式性质）等式性质）. abd是等边三角形是等边三角形(等边三角形意义等边三角形意义) b=600(等边三角形意义等边三角形意义). a=300(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余).abcd证明证明: 延长延长bc至至d,使使cd=bc,连接连接a

17、d.逆向思维逆向思维这是一个通过线段之间的关系来判这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数定一个角的具体度数(300)的根据之的根据之一一.w定理定理:在直角三角形中在直角三角形中, 如果一条直角边等于如果一条直角边等于斜边的斜边的一半一半,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于300.在在abc中中acb=900,bc=ab/2(已知已知),a=300(在直角三角形中在直角三角形中,如果如果一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半,那么那么它所对的锐角等于它所对的锐角等于300).abc300回顾反思回顾反思1.如图如图(1):四边形四边形abcd是一张是一张正方形正方形纸

18、片纸片,e,f分别分别是是ab,cd的中点的中点,沿着过点沿着过点d的折痕将的折痕将a角翻折角翻折,使得使得a落在落在ef上上(如图如图(2), 折痕交折痕交ae于点于点g,那么那么adg等于多少度等于多少度?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗?dacbefdacbef(1)(2)ga试一试试一试dacbef(2)ga1证明证明:df=dc/2(中点意义中点意义),a1d=ad=cd(正方形各边都相等正方形各边都相等)df=a1d/2(等量代换等量代换).da1f=300 (在直角三角形中在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于那么它所

19、对的锐角等于300).又又adefa1da=da1f=300 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等).adg=a1da/2=150(角平分线意义角平分线意义).300试一试试一试 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理:l 定理定理: :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等形全等(斜边斜边,直角边或直角边或hl).w 公理公理: :三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（ssssss）. .w 公理公理: :两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（sassas）. .w 公理公

20、理: :两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（asaasa）. .w 推论推论: :两角及其中一角的对边对应相等的两个三角两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（形全等（aasaas）. . 综上所述综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:w 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w 两边对应相等的两个直角三角形全等两边对应相等的两个直角三角形全等;课堂小结课堂小结w1.已知已知:如图如图,d是是abc的的bc边边上的中点上的中点,deac,dfab,垂足垂足分别为分别

21、为e,f,且且de=df.w求证求证: abc是等腰三角形是等腰三角形. 分析分析:要证明要证明abc是等腰三角形是等腰三角形,就需要证明就需要证明ab=ac; 进而需要证明进而需要证明bc所在的所在的bdf cde;而而bdf cde的条件的条件: 从而需要证明从而需要证明b=c; bd=cd,df=de均为已知均为已知.因此因此, abc是等腰三角形可是等腰三角形可证证.dbcafe课后练习课后练习w2.已知已知:如图如图,ab=cd,deac,bfac,垂足分别为垂足分别为e,f,de=bf.w求证求证:(1)ae=af;(2)abcd. 老师期望老师期望:请将证明过程规范化书写出来请将

22、证明过程规范化书写出来. bcaedf分析分析:(1)要证明要证明ae=cf,由此由此ae=cf可证可证. 需要证明内错角需要证明内错角a=c;而由而由abf cde可得证可得证. (2)要证明要证明abcd, 由已知条件由已知条件, ab=cd,deac,bfac, de=bf.可证可证得得abf cde,从而可得从而可得af=ce.课后练习课后练习探究直角三角形全等的条件探究直角三角形全等的条件1 1、判定两个三角形全等方法，、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。sssasaaassas3 3、如图，、如图，ab beab be于于c c，de be,de be,垂足为垂足为e e，

23、2 2、如图，、如图，rtrtabcabc中，直角边中，直角边 、 ，斜边，斜边 。abcbcacab（1 1）若）若 a= da= d，ab=deab=de，则则 abcabc与与 defdef （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据 （用简写法） abcdef全等全等asaabcdef（2 2）若）若 a= da= d，bc=efbc=ef，则则 abcabc与与 defdef （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据 （用简写法） aas全等全等（3 3）若）若ab=deab=de，bc=efbc=ef，则则 abcabc与与 defdef （填（填“全等全等”或或“不全等

24、不全等”）根据 （用简写法） 全等全等sas（4 4）若）若ab=deab=de，bc=efbc=ef，ac=dfac=df则则 abcabc与与 defdef （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据 （用简写法） 全等全等sss创设情境创设情境 舞台背景的形状是两个直角三角舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。角边被花盆遮住无法测量。(1)你能帮他想个办法吗？你能帮他想个办法吗？sasasaaas 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直工作人员

25、测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，发现它们分别对应相等。于是，他就肯定他就肯定“两个直角三角形是全等的两个直角三角形是全等的”。你相信的结论吗？你相信的结论吗？（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?让我们来验证这个让我们来验证这个结论结论。斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等两个直角三角形全等做一做做一做已知线段已知线段a,c(ac)a,c(ac)和一个直角和一个直角，利用，利用尺规作一个尺规作一个rtrtabcabc，c=, c=, ab=c, cb=a.ab=c, cb=

26、a.按照步骤做一做：按照步骤做一做：（1）作）作mcn=mcn=90; ;（2)2)在射线在射线cmcm上截取线段上截取线段cb=a;cb=a;（3)3)以以b b为圆心为圆心,c,c为半径为半径画弧画弧, ,交射线交射线cncn于点于点a; a; （4 4）连接）连接ab.ab.b ba a ac探索交流探索交流(1)abc就是所求作的三角形吗？就是所求作的三角形吗？（2）剪下这个三角形，和其他同学所）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？作的三角形进行比较，它们能重合吗？(3)交流之后，交流之后，你发现了什么？你发现了什么？想一想，在画图时是根据什么条件？想一想，在

27、画图时是根据什么条件？它们重合的条件是什么？它们重合的条件是什么？获得新知斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等的两个直角三角形全等. .简写：简写：“斜边、直角边斜边、直角边”或或“hl”hl”c=c =90 a b=a b a c= a c （ bc= b c ）rtabc rt a b c (h l)直角三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法想一想想一想到现在为止，你能够用几种方法到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？说明两个直角三角形全等？答：有五种：答：有五种：sassas、asaasa、aasaas、ssssss、hlhl知识运用知

28、识运用例例: :已知：已知：abacabac，cdaccdac，adadcbcb， 问问abc abc 与与cdacda全等吗全等吗? ?为什么？为什么？adadcbcb（已知）（已知）ac=caac=ca（公共边）（公共边）rtrtabdrtabdrtacd(acd(hlhl) )12 a bac a bac，cd accd ac1=2=90答：答：abc abc cdacda议一议议一议 如图，有两个长度相同的滑梯，左如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度边滑梯的高度ac与右边滑梯水平方向与右边滑梯水平方向的长度的长度df相等，两个滑梯的倾斜角相等，两个滑梯的倾斜角abcabc和和df

29、edfe大小大小有什么关系？有什么关系？解：解：bc=ef, ac=df.(bc=ef, ac=df.(已知）已知） rt rtabcrtabcrtdef (def (hlhl).).abc=def(abc=def(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).).又又def+dfe=90def+dfe=90, ,abc+dfe=90abc+dfe=90. . a=d=90（已知）（已知）随堂练习随堂练习 1. 1. 如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，一米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距两个木桩上，两

30、个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。离相等吗？请说明你的理由。ab=ac（已知）（已知）ad=ad（公共边）（公共边）rtrtabdrtabdrtacd(acd(hlhl) )bd=cd解：解：bd=cd adb=adc=902 2 如图，如图，ac=adac=ad，cc，dd是直角，是直角，将上述条件标注在图中，你能说将上述条件标注在图中，你能说 明明bcbc与与bdbd相等吗？相等吗？解：解： bc=bdab=ab(公共边）公共边） ac=ad.（已知）（已知） rtacb rtadb (hl).bc=bd(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等).c=d=90c=d=90(

31、(已知）已知）归纳小结归纳小结l通过这节课的学习，通过这节课的学习， 你能获得哪些收获？你能获得哪些收获？斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等形全等. .简写：简写： hl直角三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法探索问题的方法探索问题的方法 如图，如图，acb=bda=90acb=bda=90。要说明。要说明acbacbbda,bda,需要再补充几个条件，需要再补充几个条件， 应补充什么条件？把它们分别写出来，应补充什么条件？把它们分别写出来，有几种不同的方法就写几种。有几种不同的方法就写几种。 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定

32、定理，并利用定理解决几能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并利用定理解决几何问题。何问题。2.用尺规作线段的垂直平分线。用尺规作线段的垂直平分线。等腰三角形顶角平分线有哪些性质？等腰三角形顶角平分线有哪些性质？垂直底边，并且平分底边垂直底边，并且平分底边回顾 思考adad所在的直线即线段所在的直线即线段abab的垂直平分线的垂直平分线垂直且平分一条线垂直且平分一条线段的直线是这条线段的直线是这条线段的垂直平分线段的垂直平分线. . 如图，如图，a a、b b表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在a a、b b一侧的河岸边建一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造一

33、个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置在什么位置? ?abc线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. . 已知已知: :如图如图,ac=bc,mnab,p,ac=bc,mnab,p是是mnmn上任意一点上任意一点. . 求证求证:pa=pb.:pa=pb.acbpmn证明：证明：mnab，pca=pcb=90ac=bc，pc=pc, pcapcb(sas)；pa=pb(全等三角形的对应边相等) 性质定理性质定理: :线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点 到这条线到这条线段段 的两端点的距离相等的两端点的距离相等pabpbp

34、aabp的垂直平分线上在线段温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图：直线如图：直线mnmn是线段是线段abab的垂直平分线，点的垂直平分线，点c c为为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？你能写出上面这个定理的逆命题吗？你能写出上面这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上即分线上即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 当我们写出逆命题时，就

35、想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。则需用反例说明。性质定理性质定理: :线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。已知：线段已知：线段abab，点，点p p是平面内一点且是平面内一点且pa=pbpa=pb。求证：求证：p p点在点在abab的垂直平分线上。的垂直平分线上。证明：过点证明：过点p p作已知线段作已知线段abab的垂线的垂线pc, pc, pa=pbpa=pb，pc=pcpc=pc，rtrtpacrtpacrtpbc(hl)pbc(h

36、l)。ac=bcac=bc，即即p p点在点在abab的垂直平分线上。的垂直平分线上。b bp pa ac c性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上线上已知：线段已知：线段abab，点，点p p是平面内一点且是平面内一点且pa=pbpa=pb求证：求证：p p点在点在abab的垂直平分线上的垂直平分线上证法二：证法二：取取abab的中点的中点c c，过点，过点p,cp,c作直线作直线pcpc ap=bp ap=bp，pc=pc.ac=cbpc=pc.ac=cb， apcapcbpc(sss)bpc

37、(sss) pca=pcb(pca=pcb(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) ) 又又pca+pcb=180pca+pcb=180， pca=pcb=90pca=pcb=90，即，即pcab pcab p p点在点在abab的垂直平分线上的垂直平分线上bpac已知：线段已知：线段abab，点，点p p是平面内一点且是平面内一点且pa=pbpa=pb求证：求证：p p点在点在abab的垂直平分线上的垂直平分线上证法三：证法三：过过p p点作点作apbapb的角平分线交的角平分线交abab于点于点c cap=bpap=bp，apc=bpcapc=bpc，pc=pcpc=pc，apca

38、pcbpc(sas)bpc(sas)ac=bcac=bc，pca=pcbpca=pcb又又pca+pcb=180 pca+pcb=180 pca=pcb=90pca=pcb=90pp点在线段点在线段abab的垂直平分线上的垂直平分线上b bp pa aca ac cb bp pm mn npa=pb(pa=pb(已知已知),),点点p p在在abab的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条线段两个到一条线段两个端点距离相等的点端点距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线在这条线段的垂直平分线上上).).温馨提示温馨提示: :这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明点在直线点在直线上上( (

39、或或直线经过直线经过某一某一点点) )的根据之一的根据之一. .判定定理判定定理 ：到一条线段两个端点距离相等：到一条线段两个端点距离相等的点的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上. .：做一做：用尺规作线段的垂直平分线做一做：用尺规作线段的垂直平分线. .作法：作法：1.1.分别以点分别以点a a和和b b为圆心为圆心, ,以大于以大于 1/2ab1/2ab的长为半径作弧的长为半径作弧, ,两弧交于点两弧交于点c c和和d d。a ab bc cd d2. 2. 作直线作直线cdcd。则直线则直线cdcd就是线段就是线段abab的垂直平分线。的垂直平分线。请你说明请你说明

40、cdcd为什么是为什么是abab的垂直平分线的垂直平分线, ,并与同伴进行并与同伴进行交流。交流。已知已知: :线段线段ab,ab,如图如图. .求作求作: :线段线段abab的垂直平分线。的垂直平分线。1.1.如图如图, ,已知已知abab是线段是线段cdcd的垂直平分线的垂直平分线,e,e是是abab上的一点上的一点, ,如果如果ec=7cm,ec=7cm,那么那么ed=ed= cm;cm;如果如果ecd=60ecd=600 0, ,那么那么edc=edc= 0 0. .老师期望老师期望: :你能说出填空结果的根据你能说出填空结果的根据. .e ed da ab bc c7 760602.

41、2.已知直线和直线上一点已知直线和直线上一点p,p,利用尺规作的垂线利用尺规作的垂线, ,使它经过点使它经过点p.p.a ab bc cl lp p已知：直线已知：直线l l和和l l上一点上一点p p求作：求作：pc l pc l 作法：作法：1 1、以点、以点p p为圆心，以任意长为半径作弧，为圆心，以任意长为半径作弧，与直线与直线l l 相交于点相交于点a a和和b b2 2作线段作线段abab的垂直平分线的垂直平分线pcpc直线直线pcpc就是所求的垂线就是所求的垂线3 3如图，求作一点如图，求作一点p p，使，使pa=pbpa=pb，pc=pdpc=pda abc cd dpp点即所

42、求作的点点即所求作的点4.4.已知：如图已知：如图ab=acab=ac，bd=cdbd=cd， p p是是adad上一点，上一点， 求证：求证：pb=pcpb=pcpbdca本题综合运用了线段垂直平分线的本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，认真写出过性质定理和判定定理，认真写出过程哦！程哦！1.1.性质定理性质定理 ：线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。两个端点距离相等。2.2.判断定理：判断定理： 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。3.3.用尺规作线段的

43、垂直平分线。用尺规作线段的垂直平分线。a ac cb bp pm mn n1.角平分线的性质定理和判定定理。2.用尺规作角的平分线。还记得角平分线上的点有什么性质吗还记得角平分线上的点有什么性质吗? ?你是怎样得到的你是怎样得到的? ? 与小组同学交流。与小组同学交流。角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 回顾 思考角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图，已知：如图，ococ是是aobaob的平分线，点的平分线，点p p在在ococ上，上，pdoapdoa，peobpeob，垂足分别，垂足分别为为d d、e e求证：求证：

44、pd=pepd=pe证明：证明：1=21=2，op=opop=op，pdo=peo=90pdo=peo=90，pdopdopeo(aas)peo(aas)pd=pe(pd=pe(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )aocb12pde定理：角平分线上的点到这定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等. .ococ是是aobaob的平分线的平分线,p,p是是ococ上任意上任意,pdoa,peob,pdoa,peob,垂足分别是垂足分别是d,e(d,e(已知已知) )pd=pe(pd=pe(角平分线上的点到这个角的两边距离相角平分线上的点到这个角的两边距离相等等).

45、).aocb12pde你能写出上面这个定理的逆命题吗你能写出上面这个定理的逆命题吗? ?性质定理性质定理: :角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上是这个点不在这个角的平分线上角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边