2020年浙江高三数学总复习：解三角形课时训练

1、第二节解三角形 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 题号 知边的恒等式解三角形 3,6 知角的恒等式解三角形 12,14 知边与角的恒等式解三角形 2,4,5,7,8,10,11,13,15 三角形形状的判断 1,9 一、选择题 1. 在厶 ABC 中,若 sin 2A+sin2Bsin2C,则厶 ABQ 的形状是( C ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 解析：在厶 ABC 中,因为 sin A+sin Bsin C, 所以由正弦定理知 a2+b2c2( / C 最大). az + /jz - c2 所以 cos C 1 0, 即 C 为钝角， AB

2、C 为钝角三角形.故选 C. 2. ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 acos C, bcos B,ccos A 成等差数列，则角 B 等于(B ) (A)30 (B)60 (C)90 (D)120 解析:acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得 sin Acos C+sin C cos A=2s in Bcos B,si n( A+C)=2s in Bcos B, 即 sin B=2sin Bcos B, 因为 sin B 工 0,则 cos B=, 又因为 0 B0,贝卩 sin B=. 因为 B (0, n ),所以 B=或：. 又 b2=a

3、c,则 b a 或 b 2ac-ac,得 ac 9, 1_ 9 締 所以 SABC= acsin B : 5/3 当 a=c=3 时, ABC 的面积取得最大值 I .故选 D. 6. 若 6 是厶 ABC 的重心,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边，若 a + T Q T b + c，=0,则角 A 等于(D ) (A)90 (B)60 (C)45 (D)30 解析：因为 G是厶ABC 勺重心，所以，=-(+ ). T T Q T 又 a +b + c =0, 所以(a- c) +(b- ； c) =0. 因为与，不共线， 所以 a- c=0,b- ； c=0, A/3 迥 即 a=

4、 c,b= ；c. 因为 a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，由余弦定理, + c1 又因为 0 A180 ,所以 A=30 故选 D. 二、填空题 7. ABC 的周长为 20,面积为 10，A=60 ,则 BC 边的长 为 _ . 1 10. 在锐角三角形 ABC 中,tan A= ,D 为边 BC 上的点， ABD ACD 的面积分别为 2 和 4.过 D 作 DEL AB 于 E,DF 丄 AC 于 F,则:= 得 cos A= = 2卫2 3 解析：设三角形三边长分别为 a,b,c, 依题意知,a+b+c=20, bcsin A=10 , 所以 bc=40,根据余弦定理得 2

5、2 2 2 2 a =b +c -2bccos A=(b+c) -3bc=(20-a) -120, 解得 a=7,即 BC=7. 答案：7 8. （2018 浙江卷）在厶 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a二,b=2,A=60 ,贝 U sin B= _ ,c= _ . a b b ? * 0 解析：如图，由正弦定理宀I =；,得 sin B= sin A=】x =. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bc cos A, 得 7=4+C2-4C x cos 60 , 即 C2-2C-3=0, 解得 c=3 或 c=-1(舍去). 亘 答案：.3 9. 在厶 ABC 中

6、,已知 2sin Acos B=sin C, 那么 ABC 的形状是 2 1 解析: 解析：在厶 ABC 中,2si n Acos B=s in( A+B)=si n Acos B+cos As in B, sin Acos B-cos Asi n B=s in( A-B)=0. 可得 A=B. 由题意得 sin A二，cos A= , AB- AC sin A=6? AB- AC=12 , 1 i 又 AB- DE=2, AC- DF=4, 所以 AB- DE- AC- DF=32, 32 所以 DE- DF=：. 32 T T - 因为 D,E,A,F 四点共圆，因此 =DE- DF- c

7、os( n -A)= X 2 16 (- )=- 16 答案:-_ 11. 在厶 ABC 中,已知 sin A： sin B= : 1,c2=b2+ bc,则三内角 A,B,C 的度数依次是 _ . 解析:由题意知 a二 b,a 2=b2+c2-2bccos A, 即 2b2=b2+c2-2bccos A, 又 c2=b2+ bc, 遇 1 所以 cos A= ,A=45 ,sin B= ,B=30 , 所以 C=105 . 答案:45 ,30 ,105 n 所以 ABC 是等腰三角形. 答案:等腰三角形 12. 在厶 ABC 中 ,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,B=,且 sin

8、 A : b sin C=3 : 1,贝的值为 _ . 解析:sin A : sin C=a : c=3 : 1, 所以 a=3c. rr u2 + c2 - b2 1 由余弦定理得 cos =, 10c2-/J2 i 所以 =,7c2=b2, b2 所以，=7, b 所以=. 答案: 13. 在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长, tanC tartC + =6cos C, b a 解析:+ =6cos C? 6abcos C=a2+b2, 3c2 6ab 1 =a2+b2,a 2+b2=, tanC tanC sinC cosRwin百 + sinBco

9、sA sinC sin(A + B) -cosC . slnAsinB 1 sinC -cosC . smAsinl3 由正弦定理，得 答案：4 三、解答题 14. 锐角 ABC 勺内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(B-A)二 c 2sin 2 . (1) 求 sin Asin B 的值； 若 a=3,b=2,求厶 ABC 的面积. c 解:(1)由 cos(B-A)=2sin 2 ,得 cos(B-A)=1-cos C=1+cos(B+A), 所以 cos Bcos A+sin Bsin A=1+cos Bcos A sin Bsi n A, i 所以 sin As

10、in B= . sin A a 3 (2) 因为=二， I sin Asi n B= , 解得 sin A= ,sin B= , 1 上式二 13c2 =2 =4. 因为 ABC 是锐角三角形， 所以 cos A= ,cos B= , f 2 + 3 sin C=si n( A+B)=s in Acos B+cos Asi n B= , 1 I 卯 + 凋 3 + 73 S= absin C= x 3x2x 二 15. 已知 ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,向量 m= (cos B,cos C),n=(2a+c,b), 且 mil n. (1) 求角 B 的大小； 若 b=,求 a+c 的取值范围. 解:(1)因为 m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b), 且 ml n. 所以(2a+c)cos B+bcos C=0, 所以 cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0, 所以 2cos Bsin A+cos B