数学建模GDP预测

1、GDP是衡量国家经济实力，经济规模的重要指标，是国家制定宏观调控政策的重要依据。人均GDP是最能体现一个国家的经济实力、发展水平和生活水准的综合指标，它不仅考虑了经济总量的大小，而且结合了人口多少的因素，在国际上被广泛用于评价和比较一个国家和地区的经济发展水平。本文利用线性自回归模型研究我国人均GDP数据的建模预测问题，得到以下结果：1应用线性自回归模型对我国人均GDP进行建模预测，建模中采用最小二乘估计方法进行拟合，用最佳预测方法进行预测。关键词：中国人均GDP；AR模型；最小二乘估计利用AR模型进行人均GDP预测1、 AR模型AR模型是一种常见的时间序列模型。在这个模型中，时间序列的现在值

2、是用该序列过去数值的线性组合加上一个白噪声扰动项来表示。白噪声是满足某些特定统计意义的时间序列统计变量，如用来表示，对于所有，必须满足: E()=0 (1) Var()=2 (2) COV(,-k)=COV(-i,-k-i)=0(对所有i，k，ik)(3)其中为常数。对于时间序列Y,如果满足:Y=1Y-1+2Y-2+nYn+ (4)就称模型(4)为n阶自回归模型,式(4)中，1，2n都是未知参数，是相应的白噪声序列。因此，使用滞后算子表达式可以将式(4)写为：QnLY= (5)式中： QnL=1-1L-nLn (6)式(6)称作滞后算子三的n阶AR多项式。Qn(L)=0称为模型的特征方程。特征

3、方程的n个根i，i=l，2，n，称为模型的特征根。如果n个特征根都在单位圆外，即： i>1 i=1，2，n 则称模型是稳定的，故式(7)又称为平稳性条件。AR(n)模型与多元回归模型不同，多元回归模型是一种静态数学模型，它描述的只是一个变量与另外一组变量在同一时刻的静态相关。由于AR模型不存在其它的自变量，不受模型变量“相互独立”假定条件的约束。因此，用AR模型及其原理可以构成多种模型以消除或改进普通回归预测中由于自变量选择，多重共线性，序列相关等原因所造成的困难。此外，在AR模型中，各种因素对预测目标的影响是通过它们在时间过程中的总和体现被考虑的，是将序列历史观察值作为诸因素影响与作用

4、的结果用于建立其本身的历史序列线性回归模型的，因此，用普通最小二乘法就可以对模型进行估计和求解。在许多实际问题中，我们得到的量测数据序列显然不能近似看作是平稳的，某些序列并不是稳定在同一水平上，而是具有明显的增长或减少趋势。由于建立时间序列模型通常是要求该序列具有平稳性，因此，对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再使用AR模型对这个差分序列建模预测。2、 数据的的平稳性检验与平稳化处理采用逆序检验法判定处理后的时间序列是否平稳:逆序检验法的一般步骤:第一步，由时间序列求出一个大致不相关的均值或方差的序列。具体地可以将整个序列分成M段，然后求出每段数据按时间

5、平均的均值和方差，设所得序列为y1，y2，ym。第二步，计算均值序列(或方差序列)的逆序总数。对于yi(i=1，2，m一1)来说，若后边有一个值大于它，即yj(j>i)，则称为一个逆序，记yi的逆序数为Ai(即它后面有Ai个值大于它)，逆序总数为A=i=1m-1Ai第三步，计算统计量进行统计检验可以证明，一个随机序列的逆序总数A具有以下的期望和方差:E(A)=14m(m-1)D(A)=m(2m2+3m-5)72其中，m为数据个数，并且统计量Z=A+12-E(A)D(A)渐近服从于N(0，1)分布。因此对于均值(或方差序列)y1,y2,ym可以依据以上三式求出统计量Z的值，在显著水平=0.

6、05情况下，Z<1.96，则认为序列无明显的趋势，否则认为序列是非平稳的。3、 AR(n)模型参数的估计建立自回归模型之前，我们仅仅只是掌握了大量的观测数据。因此在进行动态数据预处理后，必须先从这些样本数据中估计出模型参数，而采用不同的估计方法会带来不同的误差，其大小直接影响了模型的精度。我们先在阶数给定的情形下，即假设自回归阶数n已知时，为已经进行过零均值化的观测数据y1，y2，yN建立一个AR(n)模型 Y=j=1njY-j+ 0 (7)先讨论此模型的参数估计，然后再讨论模型阶数的估计。AR模型的最小二乘估计理论最小二乘估计是线性模型中最常用的估计方法，它有计算简单的优点。如果d1,

7、d2,dn是自回归系数1,2,n的估计，白噪声j的估计定义为: j=yi-(d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n) p+1jN (8)通常称j, p+1jN为残差。如果d1,d2,dn是自回归系数1,2,n的较好估计，残差的方差不应当很大。于是，合理的估计量d1,d2,dn应当使得残差平方和 S(d1,d2,dn)=j=p+1Nyi-(d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n)(9)的取值比较小。另一方面，在考虑用yj-1,yj-2,yj-n的线性组合d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n对yi进行预测时，合理的估计量d1,d2,dn也应当使得预测误差的平方和取值较小。基于以上原因，我们

8、把由(9)定义的S(d1,d2,dn)最小值点称为自回归系数的最小二乘估计。引入列向量和矩阵Y=yp+1yp+2yN， X=ypyp-1y1yp+1ypy2yN-1yN-2yN-p， d=d1d2dn可以把函数S(d1,d2,dn)写成(N-p)维欧氏空间中距离的形式 S(d1,d2,dn)=|Y-Xd|2根据垂直距离最短的道理，S(d1,d2,dn)的最小值点d应当使得(Y-Xd)和X的每个列向量正交，也就是d使得 XTY-Xd=0 (10)实际上，若d是(10)的解，则对任一个p维列向量c=(c1,c2,cp)T，有 Sc1,c2,cp=Y-Xd2=Y-Xd-Xc-d2 =|Y-Xd|2+

9、|X(c-d)|2+2Xc-dT(Y-Xd) =|Y-Xd|2+|X(c-d)|2 |Y-Xd|2于是，线性方程组(10)的任一解是自回归系数(1,2,n)的最小二乘估计。特别当p×p对称矩阵XTX正定时，自回归系数的最小二乘估计是唯一的，由 (1,2,n)=(XTX)-1XTY给出。白噪声方差2的最小二乘估计为 2=1N-pS(1,2,n)BI C定阶准则 BIC(k)=logk2+klnNNBIC中符号的意义与AIC相同。我们将BIC(k)在(0,1,2,p0)中的第一个最小值点p称为AR(n)模型的BIC定阶。但是当N不是很大时，用BIC定阶有时会低估阶数P，造成模型的较大失真

10、。所以在实际问题中，特别当样本量不是很大时，BIC定阶效果并不如AIC。本文将选取BIC定阶准则确定AR模型的阶数。参数估计是在给定阶次的情况下进行的，由于事先无法判断模型的阶次，因此在建模过程中应先给定模型的阶次，然后再按上面所述的最小二乘法估计出AR模型的参数，得到各阶模型，最后取BIC(k)值最小的阶次作为模型的最佳阶次，同时也确定了AR模型参数。人均GDP的AR预测建模(1) 原始数据下面将对我国和美国的人均GDP采用AR模型进行分析与预测。表2-1是1956年-2012年我国人均GDP的原始数据，以年份来统计，一共57个数据，它们是等间距的时间序列，在本文的研究中将数据分为两个部分，

11、第一部分是从1956年-2009年，第二部分是从2009年一2012年。将第一部分的数据作为原始数据，用于对模型进行估计，第二部分的数据则作为实验数据，用以检验预测的正确性，即前54个数据用于估计，后3个数据用于预测。中国1956-2012历年人均GDP单位：元年份人均GDP年份人均GDP年份人均GDP年份人均GDP19561661971290198696320018,6221957168197229419871,11220029,3981958200197331019881,366200310,5421959216197431119891,519200412,3361960218197532

12、919901,644200514,1851961185197631819911,893200616,5001962173197734119922,311200720,1691963181197838119932,998200823,7081964208197941919944,044200925,6051965240198046319955,046201029,7481966255198149219965,846201133,9891967236198252819976,420201238,3541968223198358319986,7961969244198469519997,159197

13、0276198585820007,858美国1956-2012历年人均GDP单位：美元建模和预测分析在对我国人均GDP数据样本建立线性自回归模型，建模之前需要对数掘进行平稳化处理，根据19562012年数据自身特点及建模的需要，对数据进行对数变换和差分运算。即Y=2lnA，其中是差分算子，A表示第年的人均GDP总量，在对我国19562012年人均GDP的数据样本进行对数变换和差分运算进行平稳化处理，处理后的数据序列如图22，并对处理后的数据进行逆序检验，检验处理后的数据是否平稳。设Y为我国人均GDP的数据序列，则样本Y1,Y2,Y54是1956年-2012年的人均GDP数据序列，现采用逆序检验法对其进行平稳性检验：运用上述数据的平稳性检验和平稳化处理方法，我们将对人均GDP数据分成M=7段，得出每段数据的方差序列为： ，且逆序总数A=