第三讲__排序不等式

1、全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组及则（同序和）（乱序和）（逆序和）其中是1，2，n的任一排列.当且仅当或时等号（对任一排列）成立.证明：不妨设在乱序和S中时（若，则考虑），且在和S中含有项则 事实上，左右=由此可知，当时，调换（）中与位置（其余不动），所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又得如此至多经次调整得顺序和 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当或时中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在及k，使这时中不等号成立.因而对这个排列中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序

2、和”.II应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是 此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到，和平方平均（在统计学及误差分析中用到） 这四个平均值有以下关系. 其中等号成立的充分必要条件都是.下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：记；由于数组和数组中对应的数互为倒数，由排序不等式得 （逆序和），即 从而等号当且仅当或时成立，而这两者都可得到.下面证明对个正数应用得即（符号成立的条件是显然的）.最后证明它等价于而上式左边=，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，对一切成立.III应用算术平均数几何平均数不等式，可用来证明下述重要不

3、等式.柯西（Cavchy）不等式：设、，是任意实数，则等号当且仅当为常数，时成立.证明：不妨设不全为0，也不全为0（因为或全为0时，不等式显然成立）. 记A=，B=.且令则于是原不等式成为即.它等价于其中等号成立的充要条件是从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是IV利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若， ，则证明：由题设和排序不等式，有=，将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式.赛题精讲I排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.例1：对，比较的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上

4、去分析.【略解】 取两组数不管的大小顺序如何，故.【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2：，求证【思路分析】 应先将、三个不失一般性地规定为【略解】由于不等式关于、对称，可设于是.由排序不等式，得（乱序和）.及以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成.【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.例3：在ABC中，试证：【思路分析】 可构造ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设，于是由排序不等式，得相加，得，

5、得 又由有得 由、得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.例4：设是互不相同的自然数，试证【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1，2，n的一个排列，则于是由排序不等式，得例5：设是正数的一个排列，求证【思路分析】 应注意到【略证】不妨设，因为都大于0. 所以有，又的任意一个排列，于是得到【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设正数的乘积，试证：【略解】设，这里都是正数，则原需证明的不等式化为中最多只有一个非负数.若中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若均为正数，则是某三角形的三边长.容易验证故得【评述】

6、利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数、的乘积证明证明：设，且所需证明的不等式可化为 ，现不妨设，则，据排序不等式得及两式相加并化简可得例7：设实数是的一个置换，证明：【略解】 显然所需证不等式等价于这由排序不等式可直接得到.【评述】 应用此例的证法可立证下题：设是两两互异的正整数（，证明对任意正整数，均有证明：设是的一个排列，使，则从条件知对每个，于是由排序不等式可知II柯西不等式的应用应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式.例8：设，求证：【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ，故由柯西不等式，得 ，【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.