2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习三十三平面与平面垂直二69

1、-1 - 课时素养评价三十三 平面与平面垂直（二） 基础练 （25 分钟 50 分） 一、选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1. 已知I , m n为两两垂直的三条异面直线，过 I作平面a与 m 垂直，则 n与a的关系是 （ ） A. n / a B. n / a 或 n? a C. n? a或 n与a不平行 D. n ? a 【解析】选 A.因为I , m, n为两两垂直的三条异面直线，过 I作平面a与 m 垂直，所以I ? a ,且I与 n异面，又因为 ml a , n丄 m 所以 n / a . 2. 如图，点 P 为平面 ABCD 外一点，平面 PADL 平面 ABCD PA=P

2、D 点 E 为 AD 的中点，则下列 结论不一定成立的是 （ ） P A. PE 丄 AC B. PE 丄 BC C. 平面 PBE!平面 ABCD D. 平面 PBE!平面 PAD 【解析】选 D.因为 PA=PD 点 E 为 AD 的中点，所以 PE 丄 AD.又平面 PADL 平面 ABCD 平面 PAD 门平面 ABCD=AD 所以 PE 丄平面 ABCD 所以 PEI AC, PE 丄 BC,所以 A, B 成立.又 PE?平面 PBE 所以平面 PBEL 平面 ABCD 所以 C 成立.若平面 PBEL 平面 PAD 贝 U AD 丄平面 PBE 必有 ADl BE 此关系不一定成

3、立. 3. 三棱锥 P-ABC 的高为 PH 若三个侧面两两垂-2 - 直，贝 U H ABC 的 （ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 【解【解析】选 C.如图所示, 三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角， 则 AP 丄平面 PBC 因为 BC?平面 PBC 所以 API BC, 因为 PH 丄平面 ABC BC?面 ABC 所以 PH 丄 BC,又 APA PH=P 所以 BCL 平面 APH 因为 AH?平面 APH 所以 AHL BC,同理可得 CHL AB, 故 H ABC 的垂心. 用 4. 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB= ,平面 PABL平面 ABC PAL P

4、B, AB 丄 BC, / BAC=30 ,贝U PC=( ) AJ B.2 J。 6 【解【解析】选 C.因为 PA=PB= , PAL PB, 所以 AB=2l ,因为 AB 丄 BC, / BAC=30 , 所以 BC=ABtan 30 =2 , 因为平面 PABL 平面 ABC AB 丄 BC,平面 PABA 平面 ABC=AB BC?平面 ABC 所以 BCL平面 PAB 所以 BCL PB, 二、填空题(每小题 4 分，共 8 分) 5. 把 Rt ABC 沿斜边上的高 CD 折起使平面 ADCL 平面 BDC 如图所示，互相垂直的平面有 _ 对. -3 - 【解【解析】 由已知得

5、 CDL AB 所以平面 ADCL平面 ABD 平面 ADBL 平面 BDC-4 - 又因为 ADCL 平面 BDG 所以互相垂直的平面有 3 对. 答案：3 6. 在四面体 ABCD 中, AB 丄 AD AB=AD=BC=CD=1 且平面 ABDL 平面 CM 的长为 _ . 【解析】如图所示，取 BD 的中点 O 连接 OA OC BCD M 为 AB 中点，贝 U 线段 -5 - 因为 AB=AD=BC=CD=1 所以 OAL BD, OCL BD. PABL 平面 ABC PAL PB M -6 - 【证明】 因为 M N 分别为 AB, PA 的中点， 所以 MIN/ PB,又 M

6、N?平面 MNC PEP 平面 MNC 所以 PB/平面 MNC. (2)因为 AC=BCM 为 AB 的中点，所以 CML AB 因为平面 PABL 平面 ABC 平面 PABH 平面 ABC=AB CMP平面 ABC 所以 CML平面 PAB 所以 CML PA 因为 PA丄 PB, PB/ MN所以 PAI MN又 MN ?平面 MNC CM?平面 MNC MNP CM=M 所以 PA 丄平面 MNC 又 PA?平面 PAQ 所以平面 PAC 丄平面 MNC. 8. (14 分)如图甲，在四边形 ABCD 中 , AD=2 , CD=2 ABC 是边长为 4 的正三角形，把厶 ABC沿

7、AC 折起到 PAC 的位置，使得平面 PACL 平面 ACD 如图乙所示，点 O, M, N 分别为棱 AC, PA AD的中点. (1)求证：平面 PADL 平面 PON. 求三棱锥 M-ANO 的体积. 平面 ACD=AC 所以 POL 平面 ACD 又 AD?平面 ACD 所以 POL AD,因为 AD=2 , CD=2 AC=4, 所以AD+CIAC2 ,所以 AD 丄 CD 因为 02 是厶 ACD 的中位线，所以 ON/ CD,所以 AD 丄 ON 又 ONH PO=O 所以 AD 丄平面 PON 又 AD?平面 PAD 所以平面 PAE 丄平面 PON. 因为 PAC 是边长为

8、 4 的等边三角形, B 2 4 所以 P0=2l ，所以 M 到平面 ACD 勺距离 d=PO= ,因为 02 是厶 ACD 勺中位线，所以 S。沪 S 11 护 4 2 T ACE= X X 2 X 2= , 1 1 1 1 【解【解析】 POL AC,又平面 PACL平面 ACD 平面 PACP 图己 -7 - 所以 VM-AN=SA AON，J P0= X X = J . 能力练 （15 分钟 30 分） 1. （4 分）如图，已知平面 a 丄平面 3 , a A 3 =l , A l , B l , AC? a , BD? 3 , AC 丄 I , BD 丄 I，且 AB=4, AC

9、=3 BD=12 贝U CD 等于（ ） A.8 B.10 C.13 C D.16 【解析】 选 C.连接 BC, C _7 因为 ACL I，所以 ACB 为直角三角形， 缶 * A;AB2 + AC2、；9 + 16 所以 BC=l =、 =5, 又因为 BD 丄 I , BD? 3 , a A 3 =l , a 丄 3, 所以 BDL a，所以 BD 丄 BC. 在 Rt DBC 中, JBD2 + BC1 x/144 + 25 CD= = =13. 2. （4 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PAB 与厶 PBC 是正三角形，平面 PABL 平面 PBC AC丄 BD,则下列结

10、论不成立的是 （ ）-8 - A. PB 丄 AC B. PD 丄平面 ABCD C. AC 丄 PD D. 平面 PBDL 平面 ABCD 【解【解析】选 B.在 A 中，取 PB 中点 O 连接 AO CO 因为四棱锥 P-ABCD 中， PAB与厶PBC 是正三角形，平面 PABL 平面 PBC AC 丄 BD 所以 AC 丄 PB, COL PB, 因为 A6 CO=O 所以 PB 丄平面 AOC 因为 AC?平面 AOC 所以 PB 丄 AC,故 A 成立. 在 B 中，因为 PAB 与厶 PBC 是正三角形， 所以 PA=PC AB=AC 设 ACH BD=M 连接 PM,贝 U

11、PML AC,所以 PD 与 AC 不垂直， 所以 PD 与平面 ABCD 不垂直，故 B 不成立. 在 C 中，因为 PB 丄平面 AOC AC?平面 AOC 所以 ACL PB,因为 AC! BD PBH BD=B 所以 ACL 平面 PBD 因为 PD?平面 PBD 所以 AC 丄 PD,故 C 成立. 在 D 中，因为 ACL 平面 PBD AC?平面 ABCD 所以平面 PBDL 平面 ABCD 故 D 成立. 3. （4 分）边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的长为 _ 【解析】如图所示,取 BD 的中点 O 连接 A O, CQA D -

12、9 - 则/ A 0C 是二面角 A -BD-C 的平面角 即/ A OC=90 , 又 A 0=2 a, 即折叠后 AC 的长（A C）为 a. 答案：a 4. （4 分）如图，在空间四边形 ABCD 中，平面 ABDL 平面 BCD / BAD=90，且 AB=AD 贝 U AD 与平面 BCD 所成的角是 _ . 匚| 【解【解析】过 A 作 AO BD 于 O 点, 因为平面 ABDL 平面 BCD 所以 AO1 平面 BCD 则/ ADO 即为 AD 与平面 BCD 所成的角 因为/ BAD=90 , AB=AD 所以/ ADO=45 . 答案：45 5. （14 分）（2019 大

13、兴高一检测）如图，四棱锥 P-ABCD 平面 PABL 平面 ABCD PAL AB, AB/ 所以 A 、 -10 - CD / DAB=90 , PA=AD DC=2AB E 为 PC 中点. （1）求证：PAL BC. 求证：平面 PBCL平面 PDC.-11 - 【证明】 因为平面 PABL 平面 ABCD 平面 PABA 平面 ABCD=AB PAI AB, PA?平面 PAB 所以 PA!平面 ABCD. 又因为 BC?平面 ABCD 所以 PA! BC. 因为 AP=AD 设 F 为 PD 的中点， 连接，AF, EF,则 EF _CD. 1 经过证明知 AF 丄平面 PCD.

14、所以 BE!平面 PBC. 又因为 BE?平面 PBC 所以平面 PBC!平面 PDC. 培优练 1.如图，在梯形 ABCD 中, AD/ BC, / ABC=90 , AD： BC： AB=2： 3 : 4 , E, F 分别是 AB, CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出四个结论：DF! BC;BDL FC;平面 DBFL 平面 BFC;平面 DC!平面 BFC. 则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为 （ ） 【解【解析】选 B.如图,A.1 B.2 C.3 D.4 E 所以四边形 ABEF 为平行四边形，所以 BE/ AF. -12 - 因为 BC/ AD,

15、AD 与 DF 相交不垂直， 所以 BC 与 DF 不垂直，则错误； 设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P, 当 BP 丄 CF 时就有 BD 丄 FC,而 AD： BC： AB=2 ： 3 : 4，可使条件满足，所以正确； 当点 P 落在 BF 上时，DP?平面 BDF 从而平面 BDFL 平面 BCF,所以正确； 因为点 D 的投影不可能在 FC 上, 所以平面 DCFL 平面 BFC 不成立，即错误. 2.（2019 泉州高一检测）在我国古代数学名著九章算术中将由四个直角三角形组成的四 面体称为“鳖臑”. 如图，已知 AD PB.垂足为 D, AE 丄 PC,垂足为 E,Z ABC=90 . 证明：平面 ADEL 平面 PAC. 【解析】 在三棱锥 P-ABC 中，BCL AB, BCL PA ABA PA=A 所以 BC 丄平面 PAB 又 AD?平面 PAB 所以 BCL AD, 又 ADL PB, PBA BC=B 所以 AD 丄平面 PBC 又 PC?平面 PBC 所以 PCL AD,因为 AEL PC 且 AEA AD=A 所以 PC 丄平面 ADE 因为 PC?平 面 PAC 所以平面 ADEL 平面 PAC.作出平面 ADE 与平面 ABC 的交线 l，并证明/ EAC