概率论第二版第3章习题答案

1、习 题3.11 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品从这10件产品中任意抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数，求的分布列解 X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3，因此的可能取值为，且有， ， 由此，的分布列可以由下表给出Y X 0 1 2 3012 0 0 21/120 35/120 0 14/120 42/120 0 1/120 7/120 0 04 设的密度函数为，求解 5 设的密度函数为，求：(1)常数A；(2)解 （1）由联合密度函数的性质，有，得 （2）10 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只 定义下列随机变量： 分别就

2、有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) 的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得的联合分布列为， ， 如下表X Y 0 1019/25 6/256/25 4/25两次摸到同样颜色球的概率为（2）无放回抽样：由乘法定理得的联合分布列为， ， X Y 0 1010.3 0.30.3 0.1如下表两次摸到同样颜色球的概率为习 题3.22 已知的联合分布函数为，求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断与的独立性解 （1） 即有 ， （2）故 ， （3）由于 ，所以相互独立3 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋

3、中有放回的任取两次，每次取一只，以X，Y分别表示第一次、第二次取到球的颜色求：（1）X和Y的联合分布列；（2）X和Y的边缘分布列；（3）判断X和Y的独立性解 定义下列随机变量： （1）在有放回取球条件下， ， Y X.1 2 121/9 2/9 2/9 4/9 （2）边缘分布列X 1 2 P 1/3 2/3 Y 1 2 P 1/3 2/3 （3）由于，所以相互独立5 随机变量在区域上服从均匀分布，求的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量是否独立解 区域的面积为，所以的联合密度函数X和Y的边缘密度函数故 ， 由于 ，所以独立8 甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为0.2，0.5，求甲

4、、乙命中次数X与Y的联合概率分布解 依题意，据公式可算得X和Y的概率分布分别为，由X和Y的独立性可得X和Y的联合概率分布为 Y X.0 1 20120.16 0.32 0.160.08 0.16 0.080.01 0.02 0.01习 题3.31. （1）；（2）.5. 设随机变量（X,Y）的密度函数为求（修改后的题）解 6. 设随机变量X与Y独立，它们的概率密度分别为 求（修改后的题）解 因为X与Y独立，所以（X,Y）的密度函数为习 题3.42 设与的联合密度为， 求及解 （1）设D为所围区域，则（2）4 设且，求：（1）与的联合概率分布；（2）解 （1） ，有四个可能取值：，且由题意，有，

5、与的联合概率分布为X2 X1 0 101 0 （2）的概率分布为 故 5 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，求随机变量的方差 解 方法1X和Y的联合密度函数为 ，从而 同理，方法2，习 题3.52 在n次独立试验中，事件A在第i次试验中发生的概率为，证明：事件A发生的频率依概率收敛于A发生概率的平均值证明 设X表示在n次试验中事件A发生的次数，若引入随机变量，则且服从01分布，故由于 ，故 ，即方差有公共的上界. 因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的，有，即 可见，事件A发生的频率依概率收敛于A发生概率的平均值5 一生产线生产

6、的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977 解 设n为所求的箱数，且设为第i箱的重量 由题意，知且将视为独立同分布的随机变量又n箱的重量，易算得根据林德贝格莱维中心极限定理，近似服从正态分布依题意n需满足，即有由此得，即 设，则有，解得（舍去负的下界）因此，即最多可以装98箱可保证不超载的概率大于0.9776 已知相互独立的随机变量,都服从泊松分布，记，求 解 因为,独立同分布，且根据林德贝格莱维中心极限定理，X近似服从正态分布7 某保险公司经多年的资料统计

7、表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量（1）写出的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值解 设抽查到被盗索赔户，则 依题意，因此分布律为（2），根据棣莫佛拉普拉斯定理，8 在n次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.740.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验? 解 设表示n次重复独立试验的各次试验中事件成功的次数，则 且在n次试验中事件成功发生的频率满足利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，知，所以故要“试验成功的频率在0.740.76之间”

8、的概率不小于0.90， 即，只需，查表知，因此只需，或9 设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦)因检修等原因，每台机床平均只有60%的时间在运转问配电室至少要供给这个车间多少电才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响机床工作 解 设X表示150台机床中同时运转的机床台数，则设配电室需供应k千瓦电，能以99.9%的概率保证车间正常工作由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有解得 .故至少供应540.5千瓦电力才能以99.9%的概率保证车间正常工作10 某公司电话总机有200台分机，每台分机有6 %的时间用于外线通话，假定每台分机用于外线是相互独立的，问该总机至少应装多少条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候解 设X表示200分机同时使用外线的数目，则设总机至少应装k条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有 而，从而解得 .故至少应装18条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候11 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取1 000件，求不合格的件数在40到60之间的概率解 设X表示1 000件零件中不合