2020年高考数学(理)必刷综合检测一(标准卷)

1、 综合检测一（标准卷） 考生注意： 1. 本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共 4 页. 2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上. 3. 本次考试时间 120 分钟，满分 150 分. 4. 请在密封线内作答，保持试卷清洁完整. 第I卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 2 1. 已知集合 M = 2,3,4,5 , N = x|x 5x+ 40，贝 V M n N 为（ ） A . 234,5 B. 2,3 C. 3,4,

2、5 D. 2,3,4 答案 B 解析 / N= xX2 5x + 40 = x|1x4 , M = 2,3,4,5, 则 M n N = 2,3. 2 i 2. 复数 z= J 对应的点在复平面内位于 （ ） 1 + i A .第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D .第四象限 答案 D 2 一 i （2 一 i （1 一 i ） 1 一 3i 1 3i 解析 z= ? z= = = 1 3，故 z 在复平面内对应的点位于第四象限. 1 + i （1 +（1 i） 2 2 2 3. 直线 x y+ m = 0 与圆（x 1）2+ y2= 2 有两个不同交点的充要条件是 （ ） A . 3m

3、1 B. 4m2 C. 0m1 D. m1 答案 A 解析 圆（x 1）2+ y2= 2，圆心（1,0）到直线 x y+ m= 0 的距离小于半径.2,1 |1 + m| 由点到直线的距离公式得 厂2, -3 m 0, 4. 若 x, y 满足 x y 1 0, | |水才水才的图象如图所示，为了得到 g(x)= cos 则只要将 f(x)的图象( ) n 故将函数 f(x)的图象向左平移 12 个单位长度可得到 10. 球面上有三点 A, B, C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中 BC = 8, AC= 10,球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为 ( 400

4、n 500 n 600 n A. 3 B . 150 n C.3 D.7 答案 A 解析 / AB2 + BC2= AC2, ABC 为直角三角形，其外接圆半径为 AC = 5,即截面的圆的半径为 r = 5,x的图象, A 向左平移$个单位长度 n B .向右平移 12 个单位长度 c.向左平移n个单位长度 6 n D.向右平移7个单位长度 6 答案 A 解析由函数的图象可得 A= 1 , 则 4=4x牛茅n可得 3= 2, _ n 由图象可得 2 X 3 +(= knk Z Z), 故函数的解析式为 g(x)= cos 3x AB= 6, ) f(x)= sin 2x+ i n f(x)=

5、 sin 2x+ 3 = cos x R 又球心到截面的距离为 d = R, R2-即=r2= 25, R= 3, :. S= 4 TR2 = 4005 11. 抛物线 y2= 2px(p0)的焦点为 F， 已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点. 且满足/ AFB =120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则1的最大值为( ) lAB| 厂 2 寸 3 (3 A. 3 B. 1 C.-3 D3- 答案 D 解析 如图所示，过 A, B 分别作准线的垂线 AQ, BP,垂足分别为 Q, P,设|AF|= a, |BF| =b，由抛物线的定义，得 |AF|= |

6、AQ|, |BF|= |BP|，在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+ |BP|= a + b，由余弦定理得:|AB|2= a2 + b2- 2abcos 120 a2 + b2 + ab,整理得 |AB|2= (a+ b)2- ab, 因为 abw 2,则(a + b)2- ab (a+ b)2- 2 =鲁(a+ b)2,即 |AB|23(a + b)2,所以Nj2 2 2 x In x+ 1 t F (x) = D. 4 a + b 2 4(a + b2 =3,所以 |MN|w . 3 AB| w 3 , 当且仅当 a = b, 即 |AF|= |BF|时取等号，故选 x 解析 对任

7、意的 x 1,2 , f (x)x+ f(x)0 恒成立？对任意的 x 1,2, 2 丿 2x 2tx+ 1 0 恒成立 2 12. 已知函数 f(x)= X + X- , t R R，若对任意的 X x 1,2 , f(x) x (x)恒成立，则实 数 t 的取值范围是( ) B. 3 答案 B D. 9 2 2 + 1 1 2 ?对任意的 x 1,2 , 2x 2tx + 1 0 恒成立？ tv = x+ 云=x+ x 恒成立，令 g(x)= x 1 2 +x， 1 2 3 又 g(x) = X+ &在1,2上单调递增， g(x)min = g(1) = 2 t v |. 第n卷(

8、非选择题共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 ) 13. 已知向量 a a = (1, , 3), b b= (3, m),且 b b 在 a a 上的投影为 3,则 a a 与 b b 的夹角为 答案 “3 / 0w w n 向量 a a 与 b b 的夹角为 6 14.已知(1 + x) = a+ ai(i x) + a2(1 x) + aio(i x)，贝 V a&= 答案 180 解析 / (1 + x)10 = ( 1 x)10 = ( 2) + (1 x)10, (1 + x)10 = ao+ a1(1 x) + a

9、2(1 x)2 + + a1o(1 x) , - a8= C10 ( 2) = 180. 15.已知圆 O: x2 + y2= 1 与 x 轴负半轴的交点为 A, P 为直线 3x+ 4y a = 0 上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 T,若|PA|= 2|PT|,则 a 的最大值为 _ . 易知 A( 1,0),设 P(x, y)，由 |FA|= 2|PT|,可得(x+ 1)2+ y2 = 4(x2 + y2 1),化简得 x g 乎，可转化为直线 3x+ 4y a= 0 与圆 x 3 2+ y2=晋有公共点，所以 d0)，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 a 的取值范围 a

10、 答案 o, 2 U 1 ,+s) 3 1 解析 f (x)= -一 4x+ -， a x， 若函数 f(x)在1,2上为单调函数， 3 1 3 1 解析 b在a上的投影为3, - |b|cos 答案 23 3 解析 16 即 f (x)= 一一一 4x+ 0 或 f (x) = 4x+ -w 0 a x a x 在1,2上恒成立， 3 1 3 1 即-4x-或-w 4x -在1,2上恒成立. a x a x 1 令 h(x) = 4x -，贝U h(x)在1,2上单调递增， 入 3 3 所以 h(2)或 w h(1), a a 即- 15 或 3 w 3, a 2 a 2 又 a0，所以 0

11、v aw 或 a 1. 5 三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. (12 分)在锐角 ABC 中，a, b, c 为内角 A, B, C 的对边，且满足(2c a)cos B bcos A =0. (1) 求角 B 的大小； 已知 c= 2, AC 边上的高 BD = 3，求厶 ABC 的面积 S 的值. 解 (1) / (2c a)cos B bcos A= 0, 由正弦定理得(2sin C sin A)cos B sin Bcos A = 0, / (2si n C sin A)cos B = sin Bcos A, 2sin Cco

12、s B si n(A+ B) = 0, 厂 1 / A + B= n C 且 sin C 丰 0, cos B= p n - B (0, n, B= 3. 1 1 (2) / SABC= gacsin B= ?BD b, 代入 c= 2, BD = 3-z21, sin B 二于，得 b = 37a, 由余弦定理得 b2= a2 + c2 2accos B = a2+ 4 2a, 代入 b=fa，得 a2 9a+ 18= 0, a = 3, | a= 6, 解得 或 b = .7 b= 2-7, 又三角形为锐角三角形， avj + b,二 a = 3, b= “ J7. 二 SAABC= *a

13、csin B = 1 x 2X 3X 中= 18. （12 分）在创建“全国文明卫生城市”过程中， 某市“创城办”为了调查市民对创城工作 的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查 （一位市民只能参加一次）.通过随机抽样，得到 参加问卷调查的 100 人的得分（满分 100 分）统计结果如下表所示： 组别 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 2 15 20 25 24 10 4 （1） 由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（y，198），近似为 这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中

14、点值作代表 ），利用该正态分布，求 P（37Z 79）; （2） 在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于 卩的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 卩的可以获赠 1 次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单位：元） 20 40 概率 3 4 4 现有市民甲参加此次问卷调查，记 E（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 E 的 分布列与均值. 附：参考数据与公式：,198- 14. 若 XN（比 2），贝y p（厂 oXW 叶扌=0.682 6, P（厂 2 oX 叶 2 0 = 0.954 4, P（ 3 齐 XW

15、卩 + 3 0= 0.997 4. 解 (1)E(Z) = 35 X 0.02 + 45 X 0.15 + 55X 0.2 + 65 X 0.25 + 75 X 0.24 + 85 X 0.1 + 95X 0.04 = 65，故尸 65, 尸 19814, P(65 14ZW65+ 14) = P(51Z 79)= 0.682 6, P(65 2X 14ZW 65 + 2X 14) = P(37ZW 93) = 0.954 4. Pf37ZW 93 Pf51ZW 79 P(37Z W 51) = 2 = 0.135 9. 综上,P(37ZW 79) = P(37Z W 51) + P(51Z

16、W 79) =0.135 9 + 0.682 6 = 0.818 5. (2)易知 P(Z 2, 获赠话费E的可能取值为 20,40,60,80. 1 加 3 p(E=20)= 2X 4 = 8 ； P(E= 40) = 3 4X 1 + 1X 5X 丿 2 4 2 4 4 60) = lx 3X 1 +X !X 3 = 2. P(E 60) 2 4 4+ 2 4 4 16； p( E= 80)=2x 4X 4=1 E的分布列为： E 20 40 60 80 P 3 13 _3_ 丄 8 32 16 32 3 判断两直线 EC1与 AD 的位置关系，并给予证明： 4 当长方体 ABCD A1B

17、1C1D1体积最大时，求直线 BA1与平面 A1CD 所成角0. 解(1)EC1与 AD 是相交直线. 5 13 3 1 - E( E = 20 x 8+ 40 X 32+ 60 X 16 + 80X 32 = 37.5. 19. (12 分)如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中，AA1 = 1，底面 ABCD 的周长为 4, E 为 B 的中点. 13. 32； 证明如下：连接 ABi, C1D，则 ABiCiD 是平行四边形, E 也是 ABi 的中点, AECiD 为梯形，A, E, Ci, D 四点共面, 当且仅当 b= 2- b,即卩 b= i 时取等号, 方法一 连接 BD，

18、设点 B 到平面 AiCD 的距离为 h,则根据等体积法 i i i 其中 SA Ai CD= CD X AiD = p, VA-BCD = 3SMCD x AAi = , h = h i 则直线 BAi与平面 AiCD 所成角0满足 sin 0=臥=勺, 方法二 分别以边 AB,AD, AAi所在直线为 x,y,z 轴，建立如图所示直角坐标系， 则 B(i,0,0), Ai(O,O,i), C(i,i,O), D(O,i,O), BAi= (- i,0,i), CD = (- i,0,0), CAi = (- i, - i,i), 设平面 AiCD 的法向量为 n n = (x, y, z)

19、, 1 AE / CiD, AE = CiD, ECi与 AD 为梯形两腰，故 ECi与 AD 相交. (2)设 AB = b, AD = 2 - b, VABCD-AiB1CiDi =b(2- b)x AAi= b(2- b) _ Pl / 贺 T * * 1 l/A / 20. (i2)2 x_ a 1)在椭圆 Ci 上. 求椭圆 Ci的方程； 设 P 为椭圆 C2上一点，过点 P 作直线交椭圆 Ci于 A, C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点， 则当点 P变化时，试问 AOC 的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明 理由. 解(1)由题知，3 + 占=1, 且 C=，即

20、即 a6 7= 4, b2= 2, a b a 2 2 2 椭圆 Ci的方程为* + y2 = i. (2)是.当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P( 2, 0)，此时|AC|= 2, &AOC= 2. 当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k,点 P(xo, yo)，则 AC : y yo = k(x xo)，直线 AC 2 2 2 与椭圆 Ci 联立，得(i + 2k )x + 4k(yo kxo)x+ 2(yo kxo) 4= 0,设 A(xi, yi), C(x2 , y2). Xi + X2 贝 y xo = 2 = 2k yo kxo 2 ， 即卩 Xo = 2kyo,

21、 i + 2k 6 + 2k2 7 i + 2k2 |yo| 2 i + 2k2 i + 2k2 运 =2|yoi + 2k2= . 2. 综上， AOC 的面积为常数2 2i. (i2 分)已知函数 f(x)= In x+ ax, a R R. (i)讨论函数 f(x)的单调性； X2 2 6 若函数 f(X)的两个零点为 xi, X2, (Xi X2)f (xi + X2) . i (i)解 函数 f(x)= In x+ ax, a R R 的定义域为x|xo , f (x)= - + a, X o o 又 Xo+ 2yo= 2, 2_ i 70 i + 2k2 & AOC = 2

22、 X |yokx| X A h + k2 ：i6k2 yo kxo 2 4 i + 2k2 2 yo kxo 2 4 i + 2k2 2 2 + 2k yo kxoi + 2k2 当 a 0 时，f (x)0,. f(x)在(0,+)上单调递增; 请在第 2223 题中任选一题作答. 22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标 r 4cos 0 X = 2 + tcos a, 系，已知曲线 C 的极坐标方程为 尸4cos 0，直线 I的参数方程是 f (t 为参 1 cos 0 |y= 2 + tsin a 数，0w a n. (1)

23、求曲线 C 的直角坐标方程； 设直线 I与曲线 C 交于两点 A, B，且线段 AB 的中点为 M(2,2)，求a 解 曲线 C: p= 4cos -，即 pin2 0= 4cos 0, 1 cos 0 于是有 psin2 0= 4 pcos 0, 化为直角坐标方程为 y2 = 4x. f y2= 4x, (2) 方法一 x= 2+ tcos a, ? (2 + tsin ”2= 4(2 + tcos a, 当 a0,0 x-, x a f(x)在 0, -1 上单调递增; 1 (x)= X + a e2)，令(j0, X1 1 +1 1 +1 t O(t)在e?, + g)上单调递增, O(t) O(e2)= 1+产1 +乎一 e + 1 3 + 1 6 5. y= 2+ tsin a 2 2 即 t sin a+ (4sin a 4cos t 4 = 0. 由 AB 的中点为