2020版导与练一轮复习文科数学习题：导数与函数零点

1、第四课时导数与函数零点 应用能力提升应用能力提升 【选题明细表】 知识点、方法 题号 利用导数研究函数零点个数 2,5 根据函数零点求参数 3,4 函数零点的综合应用 1,6,7 基础巩固(时间:30 分钟) 1. (2018 河北邢台第二次月考)已知 f(x)=e x-ax2. 命题 p: ? a 1,y=f(x)有三个零点； 命题 q: ? a R,f(x) 0 恒成立. 则下列命题为真命题的是(B ) (A)p Aq (B)( p) A (q) (C)(P) A q (D)p A (q) 解析：对于命题 p:当 a=1 时,f(x)=e x-x2,在同一坐标系中作出 y=ex, y=x2

2、的图象(图略),由图可知 y=ex与 y=x2的图象有 1 个交点，所以 f(x)=e x-x2有 1 个零点，故命题 p 为假命题，因为 f(0)=1,所以命题 q 显 然为假命题.故(p) A (q)为真. 2.(2018 贵阳联考)已知函数 f(x)的定义域为-1,4,部分对应值 如表： x -1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数 y=f (x)的图象如图所示 当 1a2 时，函数 y=f(x)-a 的零点的个数为(D ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：根据导函数图象，知 2 是函数的极小值点，函数 y=f(x)的大致图 象如图所示. y 5

3、 4 3 YA. -5 -4 -S -2 “ -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 由于 f(0)=f(3)=2,1a2, 所以 y=f(x)-a 的零点个数为 4. ax-a 3. 若函数 f(x)= +1(a0)没有零点，则实数 a 的取值范围 1吃一 fdX 61)芒 2) 2 Y V 为 _ .解析:f (x)= = (a0). 当 x2 时，厂(x)2 时，厂(x)0, a 所以当 x=2 时,f(x)有极小值2)= +1, a 若使函数 f(x)没有零点，当且仅当 f(2)= +10, 解之得 a-e2,因此-e2a0,得 x2. 所以函数 f(x)的单调增区间是(-s,-1

4、),(2,+ s). I 1 5 由(1)知 f(x)极大值=f(-1)=- - +2-2=-, 8 16 f(x)极小值=f(2)= -2-4-2=- , 由数形结合，可知要使函数 g(x)=f(x)-2m+3 有三个零点， 16 5 则-2m-3-, 7 L3 解得-m . 7 13 所以 m 的取值范围为(-,). 能力提升(时间:15 分钟) 5. 已知函数 f(x)=e x-1,g(x)= +x,其中 e 是自然对数的底数 2.718 28 (1)证明：函数 h(x)二二 f(x)-g(x) 在区间(1,2)上有零点； 求方程 f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由. (1) 证明

5、:由题意可得 h(x)=f(x)-g(x)=e x-1- -x. 所以 h(1)=e-30, 所以 h(1)h(2)0, ,e= 因此(x)在(0,+ 乂)上单调递增， 易知(x)在(0,+ 乂)内只有一个零点， 则 h(x)在0,+ 乂)上有且只有两个零点， 所以方程 f(x)二二 g(x)的根的个数为 2. 6. 已知函数 f(x)=e x+ax-a(a R 且 0). (1) 若 f(0)=2,求实数 a 的值，并求此时 f(x)在-2,1上的最小值; 若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 f(0)=1-a=2,得 a=-1. 易知 f(x)在-2,0上单调

6、递减，在0,1上单调递增， 所以当 x=0 时,f(x)在-2,1上取得最小值 2. (2) f (x)=e x+a,由于 ex0. 当 a0 时,f (x)0,f(x) 是增函数， 当 x1 时,f(x)=e x+a(x-1)0. I 当 x0 时,取 x=-, i i 则 f(- ;)1+a(- ;-1)=-a0. 所以函数 f(x)存在零点,不满足题意. 当 a0 时,f (x)=e x+a, 令 f (x)=0,得 x=ln(-a), 在(-乂,ln(-a)上,f (x)0,f(x)单调递增， 所以当 x=ln(-a)时,f(x)取得最小值. 函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln

7、(-a)=e ln(-a) +aIn(-a)-a=-2a+aIn(-a)0, 解得-e2a0. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是(-e 2,0). 7. 已知函数 f(x)二二 ax+ln x, 其中 a 为常数. (1) 当 a=-1 时,求 f(x)的单调递增区间； | 当 Ov- ：0, 当 a=-1 时,f(x)=-x+ln x(x0), 1 -X f (x)= (x0); 当 0 x0; 当 x1 时,f (x)0), i 令 f (x)=0,解得 x=- ; i 由 f (x)0,解得 0 x:; i 由 f (x)0,解得-：x 1. Inx 1 1 - 皿 令 g(x)= + ,则 g (x)二二 当 0 x0; 当 xe 时,g (