3第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1、第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式教材回顾夯实基础一谣水温故，追根汞捅1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin( a±就=sin acos 6icos osin B;知识梳理cos(«? 8 = cos_ ocos_ B为in_ _ <sin_ tan a立an 3 f . _ 7A一、，. 兀，一 ' tan("±/1? tan痴Bg，曲不为l2, k”J2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 a= 2sinocos a;cos 2 a= cos2 a sin2 a = 2cos2 a 1 = 1 - 2sin2 a；2tant

2、an 2 a= 1 ta.2 a, 2 涸不为 k 计 2, k Z /提醒三角函数公式的变形(1)tan a±tan 3= tan( a±3)(1? tan atan 肌小、21 + cos 2 a c；/(2)cos a= 2，sin a=1 cos 2 a2，2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos a)，1 sin 2 a= (sin a cos a)2, sin a±cos a= #sin a±4j3.三角函数公式关系利用皿俣土q令R= a 4两式相除| 令左aI加两式相除两式相除基础自测，O判断正误(正确的打“，”，错误的打“

3、x”(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a, 3是任意角.(2)两角和与差的正切公式中的角 3是任意角.(3)cos 80° cos 20° - sin 80° sin 20° = cos(80° 20°、1，、)=cos 60 = 2.()tan a(4)公式 tan(a+ 3)= 1 _tantan a + tan 3 = tan( a+ 9(1 tan a tan3 ),且对任意角a, 3都成立.()(5)存在实数 a,使 tan 2 a = 2tan a .()答案：(1)，(2)X (3)X (4)X (5)，0 （教材习

4、题改编）已知cos 55 是第三象限角，则A 二10B.10D.7.23解析：选A.因为cos a=,5“是第三象限的角,所以 sin a= 1 1 - cos. 民=3)245'所以cos（4+力=7171cos 4cos a sin sin a=，3、 ，_、 2 (-5)- 2 (-5) =210.（2017高考江苏卷）若tana 4 J= 6,则 tan a=解析：tan a= tan1 tan 4兀an 4加工15.1 6答案：75Sn sin 15平sin 75的值是解析：sin 15 4 sin 75 = sin 15 4 cos 15 =A/2sin(15。+ 45&#

5、176;) =小sin 60 =乎.答案:-26典例剖析上考点突破名师导悟以例说法考点三角函数公式的直接应用例1典例引领（2017高考全国卷I ）已知 正0, 2 I；, tan a= 2,则cos(2)(2018 广州市综合测试 (一)已知 f(x)=sinx+61,若 sin “= |(【解析】因为代 ”，2),且 tan “=黑；=2,所以 sin a= 2cos % 又 sin2“+ cos2 a= 1,所以sin,5cos a=三，贝 cosa4 f= cos acos 4c + sin osin 4c:3 ：1010，兀,、，、cos（+ 劝为（）4(3)使用公式求值，应注意配方法

6、、因式分解和整体代换思想的应用.通关练习“3 工作1.已知sin a= g,"号tan(危3) = 2,则tan(a 3)的值为().2A.- 1111 C.y-11D.-.一 . 一 ,3解析：选A.因为sin a= _ 52'所以COS a= #1 Sin2a=45'所以- Sin a 3tan a=-cos a 4因为tan(份=1=tan 3,所以 tan 3= -1 2t2'则 tan( atan a tan B 2=1 + tan otan 3112.(2018湖南省东部六校联考)已知角a为锐角，若cos叶6 <= 4,则sin 2计；加值为

7、()八12A.25c 24B.25-24C- -25-12D- -257171解析：选B.因为a为锐角，COS4>0,所以为锐角，Sin ! a+56161'" COS2(+615，所以 sin|2a+31= 2sin Q+6)osQ+3,热£故选B.(2)因为 Sin a= 5 &< 00兀；所以 COS a= 5,所以.2.2Sin a+ 2 COS a= 一 y0.【答案】嗜反思利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反(2)使用公式求值，应注意与

8、同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.考点三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式.高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用;(2)二倍角公式的活用.典例引领I：角度一两角和与差公式的逆用及变形应用例三11. 2 兀 、，(1)已知 sin a+ cos a= 则 sin (4 a)=(c 17B-188C.9(2)在 ABC 中，若 tan Atan B = tan A+tan B+1,则 cos C 的值为()A¥D.C -C.2【

9、解析】(1)由sin a +cos a =1两边平方得1 + sin 2 a =1, 39解得sin 2 a =8- 91 cos ( 2 2 a)所以 sin2(j 4 =21 sin 2 a 1+9 17 =2218.tan A+ tan B一一一 一由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得 i iAtan B= 一,即 tan(A+B) = T，又 A+BC (0,兀)所以 A+B=?则 C = :, cos C =乎.【答案】(1)B (2)B口角度二二倍角公式的活用例2-2cos 15° sin 15°cos 15 sin 15°【解析

10、】 法1 tan 15°1 + tan 15°tan 45° tan 15°1 + tan 45° tan 15°= tan 30。法二:原式=善篝Fcos 15° cos 45° sin 15° )cos 15° + cos 45 sin 15° )1sin 30 ° _ 2 变sin 60°33 ."2"、4一1'cos 15 - sin 152 1 - sin 30法二：因为；=；Qos 15 + sin 15 ) 1 + sin

11、3013.p cos 15° sin 15°。又cos 150 + sin 15° >0,所以cos 15° sin 15°cos 15° + sin 15,33 .规律方法三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan a + tan 3 = tan( a+ 3) (1 tana tan B）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.通关练习1. (

12、1tan215° )cos215° 的值等于(B. 1A 137taA.2解析：选 C.(1-tan1 215° )cos215° = cos：,215° - sin215=cos 30°2.（2018河北衡水中学三调考试）若代吟，叼：且3cos 271a= sin 二一%；则sin 2 a的值为（）. 工A. 181B.18c 17C, 1817D.18解析：选 C.由 3cos 2a= sin a.得 3(cos2a sin2o) =乎(cos a- sin o),又由 呈知 cos a sin aWQ 于是 3(cos a+ s

13、in 4 =坐，所以 1+ 2sin a cos a= J, 故 sin 2 a= 17.故21818选C.角的变换典例引领1tan(a-四=2，则 tan( a+ 3)等于例3（2018四川成都摸底）已知sin 2k 3 < 2 a< 6,()B. 1A. 2C.211D.-211(2)(2018 六盘水质检)已知 cos a= 1, cos(a+ 份=1,且 a、33S' 2i 则 COS(“ 9 的值等.1A. - 21B.223D.27【解析】(1)因为 sin 2 a= 5, 2a g,兀)4所以 cos 2 a=-, 5tan 2 a= - 7，4tan( a+

14、 =tan2 a ( a 3)=tan 2 a tan ( a一廿 0 2.1 + tan 2 atan ( a份（2）因为代加2 l所以2代（0,兀因为 cos a= 1,所以 cos 2 a= 2cos2 a- 1 = - 7, 39所以 sin 2 a= 1 cos22 & = 42, 9而 a,跃o, 2 ,所以 a+ 3 (0,兀)所以 sin( a+ -=M1 一 cos2 ( a+ 02,23所以 cos( a 3=cos2a ( a+ 即=cos 2 ocos( a+ 就+ sin 2 «sin( a+ 份【答案】(1)A (2)D若本例(2)条件不变，求co

15、s 2 3的值.解： 因为 COS a= 1, COS( a+ 份=1,且33代,，2 所以a+ 3 (0,兀所以 sinsin( a+ 9 = ",33COS 3= COS( a+ 9 耳=cos( a+ 份COS a+ Sin( a+ 就Sin a1 1 2.2 2.2 7 一3寸3得=9.所以 Cos 2 3= 2Cos2 3- 1 = 2；-1=81.角的变换技巧当“已知角”有两个时，一般把 “所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把变成“已知角”(3)常用拆分方法:2 a=

16、( a+3 + ( a就，a= ( a+四一氏片； a+ 3 民3 民3-21通关练习1.已知 tan(a+3)=1, tana-31= : 则 tanB.22 A3C.4解析：选B.tanW，一, ，小3 尸 tan ( “+ 3 tan ( a+ 3)-tan S3)1 + tan ( a+ tan-511 2.1 + 1与2.(2018湖南郴州模拟)已知厌?，n:sina+4j= 45,则 tan a=解析：因为a 0, 4 .4 sin " 4 厂 5,所以cos回一4厂sin2! a+工134厂5'所以tan "413,所以 tan a= tan17.答案

17、：7课堂小结K运用三角函数公式时，不但要熟悉公式的直接应用，还要熟悉公式的逆用及变形，如tana+ tan 3= tan( a+ 3) (1 - tan otan和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.易错防范(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.(2)在(0,兀范围内，sin(“+3 =乎所对应的角3不是唯一的.分层演练直击高考基础达标尸1.计算一sin 133° cos 197° cos 47° cos 73° 的结果为()1A.b.TC.D.解析：选 A. sin 133

18、° cos 197° cos 47° cos 73=sin 47° ( cos 17° ) cos 47° sin 17°。 一 1= sin(47 17 )=sin 30 =5.2.已知 sin 16c a' cos * + “j,则 tan a=()A. - 11C.解析：选 A.因为 sin 6- a 尸 cos6+ ay,所以 Los a当sin a=*cos a Lin a, 2222'所以 g-¥n a=偿-2)os a,B. 0D. 1所以 sin a= cos a,所以 tan a=

19、 1.3.若tan I a+y H1,则 sin a 等于(473A.54B.5C.D.解析:选A.因为tantan a+ 1所以 tan a= = sncos a所以cos a= - 3sin 以又因为sin2a+cos a= 1 ,所以2 且 sin a= 25.sin3a= 一5.4.已知 cos 6一sin 66 2 a 的值为(1 A3B.2 C.3D.=cos-2 a i= 2cos26- a：T = 2X3313.5.(2018 24_ 兀兰州市头战考试）sin 2 k 25, 0嗔,则2B.5C.7D.5解析:选 D. ,2cos2 cos a+ 2 sinaj= sin a+

20、 cos a,又因为(sin a+ cos a)2= 1+ 2sin ocos a= 1 + sin 2 a= 29， 0< a<2,所以 sin a+ cos a= 7 故选 D.6. （2018贵州省适应性考试）已知4 a是第二象PM角，且 cos（ "+兀）=«,则5tan 2 a=解析:由 cos( T& o) = cos得cos a= - 4,又a是第三象限角，所以 sin a= tan 553 ”一4,2tan a故 tan 2 a= >2 ：1 tan a247 .答案:2477 .已知 sin( a份cos a cos( 3- a)

21、sin a= 5，3是第三象限角，则sin 时学j=解析：依题意可将已知条件变形为sin( a- 3)- a = - sin 3=1, sin 3= 55又3是第三象限角，因此有 cos 3= L.5., 5 兀'i / c ,%.c 兀兀 7>/2sin 计 了 厂一sin(汁 4)=sin /os 4 cos 出in 4=0".答案:看解析：由 sin a sin 3=1一,得(sin a- sin 2= - 1 8 . (2018 兰州市高考实战模拟)若 sin a- sin 3= 1专,cos a- cos 3= 2，则 cos(“一 3 =即 sin2 a+

22、sin2 3 2sin osin 3= 724一事,由 cos a得 cos2 a + cos2 3 2cosc 1c cos B = 一，4+得，2sin a sin3 + 2cos a cos3 =淄,即 cos(a- 3 =坐.9.已知 tan a =2.sin 2 a"/上(2)求sin2in a cos -cos 2 - 1 的值解：(1)tan兀兀.tan n 72+1a + - 1= 3.4 J工 1-2X11 tan a tan )4sin 2 a化)sin2 a + sin a cos a cos 2 a 12sin a cos asin2 a + sin a co

23、s a - 2cos2 a2tan a2X 2tan2 a + tan a -2- 4+2-2=1.10.已知函数 f(x)=Asin x+3 <,"且好乎.(1)求A的值;(2)若 f( 0 f( = V3,!o,2),求cos。的值.解：噫1Asin净3 .卜a而务当a=乎,所以A=3.(2)f(0)-f(- = 3sin3.1=3. 一兀，八.Sin ecos 3+cos Osinf 公 兀1 sin 9cos 3+ cos Osin= 6sin (cos 3- = 3sin 0= yf3,所以sin 0=等.又因为0 ；0,能力提升所以 cos 0=寸1 sin2。=1

24、. （2018山西太原五中模拟）已知角“为锐角，若sina-6 = 3,则 cosa-3¥ ()2 '6+ 1 a.-632B. 82 .反1D. 6解析：选A.由于角a为锐角，且sina6J= 3,则cos222 mtta- g 尸 3，则 cos广3=cosacos Ls 6 + sinin 6=平坐+3步平. 兀 i.冗 _ I2. （2018河南百校联盟联考）已知a为第二象限角，且tan a+ tan - =2tan龙an工一2,则B3B. 103 ,：10 DFAT3 ,10C10兀2,因为atan a+ tan 12解析： 选 C.tan a+ tan 12

25、9;= 2tan 龙an 6一2?= - 2? tan a+1 tan dan 12为第二象限角，所以sin C+ 12 ''厂 255, cos C+ 12 "=弋,则 sin "涔sin C-6 ；=.r兀、兀- r,兀、.兀./，兀、兀3/10 Sin g 区L 4 1 cos卜+ - sin 4-sin卜+ 12 cos 4 一卷.3. (2018安徽重点中学联考)若 代改, 2: cos5“尸242cos 2%则sin 2 a=.2一 一斛析：由已知得 2 (cos a+ sin a)= 2/2(cos a sin o) (cos a+ sin a

26、),1所以 cos a+ sin a= 0 或 cos a sin a=二 4.由 cos a+ sin a= 0 得 tan a= 1,因为氐i0, 2j,所以tan a>0,所以cos a+ sin a= 0不满足条件;由cos a sin a=。两边平方得 1 一 sin 2 a= 工, 416 ,15所以 sin 2 a=.15答案：16aj3cos A+ sin A4. （2018郑州第一次质量预测 ）AABC的三个内角为 A、B、C,若毛tan寸 3sin A cos A7吟 121则 tan A=后r/l/3cos A+ sin A解析：+2sinA+3i；2sin A6sinH + 3)cos A+ 3.=-tan a+ 3 i= tan AV3sin A cos A= tan7 C也 |、. Tt .7 Tt7 71Tt., 3 TtI,兀p12 所以A 3= k 兀i