卡普课件- 《信号与系统》-第2章 连续时间系统的时域分析

1、信信 号号 与与 系系 统统第第2 2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析第第2章章 主要内容主要内容 LTI连续系统的响应连续系统的响应 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 从从 0- 到到 0+ 状态的变化状态的变化 零输入响应和零状态响零输入响应和零状态响应应 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应冲激响应 阶跃响应阶跃响应 卷积积分卷积积分 信号的时域分解和卷积信号的时域分解和卷积 卷积的图解卷积的图解 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积代数卷积代数 奇异信号的卷积特性奇异信号的卷积特性 卷积的微积分性质卷积的微积分性质 卷积的时移特性卷积的时移特性 (t)

2、函数性质归纳函数性质归纳1. 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方建立并求解线性微分方程程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为，故称为时域时域分析法分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。域分析法的基础。1.1 建立微分方程建立微分方程 对具体的物理系统，要按照对具体的物理系统，要按照元件的约束特性元件的约束特性和和系统结构的约系统结构的约束特性束特性来建立对应的微分方程。来建

3、立对应的微分方程。一、一、LTI连续系统的响应连续系统的响应例例1：如图所示为：如图所示为RLC并联电路，求并联电路的端电压并联电路，求并联电路的端电压 与激励源与激励源 之间的关系。之间的关系。( )v t( )si t解解 根据元件的电路电压关系有：根据元件的电路电压关系有：1( )( )Ritv tR1( )( )tLi tvdL( )( )CditCv tdt根据基尔霍夫电流定律有根据基尔霍夫电流定律有( )( )( )( )RLCsiti titi t整理得到整理得到11( )( )( )( )sdCv tv tv ti tRLdt1.2 微分方程的经典解微分方程的经典解 如果构成系

4、统的元件都是如果构成系统的元件都是参数恒定的线性元件参数恒定的线性元件（无储能无储能），），则构成线性时不变系统，对应的方程形式为则构成线性时不变系统，对应的方程形式为线性常系数常微分线性常系数常微分方程方程。 方程的解由方程的解由齐次解齐次解和和特解特解组成。组成。例例2：求微分方程：求微分方程( )7( ) 16 ( ) 12 ( )13sin2rtr tr tr tt解解 特征方程为特征方程为32716120aaa特征根为特征根为1,2323aa 齐次解为齐次解为23123( )()tthr tAtA eA e根据方程，试选特解函数式根据方程，试选特解函数式( )cos2sin2pr t

5、AtBt代入原方程，可得代入原方程，可得32AB 所以，特解为所以，特解为原方程的解为原方程的解为( )3cos22sinpr ttst 23123( )()3cos22sin2ttr tAtA eA ett 齐次解表示的是系统的齐次解表示的是系统的自由响应自由响应，特征根称为系统的，特征根称为系统的“固有固有频率频率”，它决定了自由响应的形式。特解称为系统的，它决定了自由响应的形式。特解称为系统的强迫响应强迫响应，只与激励函数有关。整个系统的只与激励函数有关。整个系统的完全响应完全响应是由系统自身特性决是由系统自身特性决定的自由响应和与外部激励信号有关的强迫响应两部分组成。定的自由响应和与外

6、部激励信号有关的强迫响应两部分组成。 给定微分方程和激励信号，方程有给定微分方程和激励信号，方程有惟一解惟一解还必须给出一组求还必须给出一组求解区间的解区间的边界条件边界条件。 对对n阶阶微分方程，若微分方程，若 是是 时刻加入，则把求解区间定时刻加入，则把求解区间定为为 ，一组边界条件，一组边界条件(n个个)可以给定为此区间任一时刻可以给定为此区间任一时刻 ，要求满足要求满足 的各值。通常取的各值。通常取 ，这时对应，这时对应的一组边界条件称为的一组边界条件称为初始条件初始条件。( )e t0t 0t101( ),( ),( )nnddr tr tr tdtdt00t0t 若例若例2的方程给

7、定下列初始条件：的方程给定下列初始条件：则可以求出惟一解：则可以求出惟一解：(0)1, (0)1,(0)0rrr23( )(3)73cos22sin2ttr tteett( )( )( )hpr tr tr t2. 从从 0- 到到 0+ 状态的变化状态的变化 激励在激励在t = 0时刻加入，激励加入之前瞬间系统的状态，这时刻加入，激励加入之前瞬间系统的状态，这组状态组状态 反映了系统的历史情况而与激励反映了系统的历史情况而与激励无关，无关， 称为系统的称为系统的起始状态起始状态（0-状态）。状态）。 在激励加入之后，确定待定系数在激励加入之后，确定待定系数 需要用需要用 t =0+时刻的初时

8、刻的初始值，即始值，即iA11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt 通常，对于具体的系统，初始状态（通常，对于具体的系统，初始状态（0-状态）一般容易状态）一般容易求得。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态求得。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 设法求得设法求得 。11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt11(0 ),(0 ),(0 )nnddrrrdtdt0 0：冲激函数匹配法：冲激函数匹配法原理：原理：根据根据t = 0时刻微分方程左右两端时刻微分方程左右两端 及其各阶导数应该及其各阶导数应该平衡相等

9、。平衡相等。例例3：描述某系统的方程为：描述某系统的方程为 已知已知 ， ， ，求，求 和和(0 )2r(0 )0r( )( )e tu t(0 )r(0 )r( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr te te t解解 将将 代入方程得代入方程得 设设 则则 而而 在在t = 0处连续处连续 代入上面方程，得代入上面方程，得 所以所以( )( )e tu t( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr ttu t( ) t( )( )( )r tatbu t( )( )r tau t20ab( )r t(0 )(0 )2rr(0 )(0 )2rr当微分方程

10、等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应r(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。如果右端不含时，则不会跃变。练习练习：用冲激函数匹配法求解：用冲激函数匹配法求解 在在 时的变化时的变化( )i t0t( )7 ( ) 10 ( )( )6 ( )4 ( )i ti ti te te te t25128( )5tti tAeA e求解线性、常系数微分方程流程图见书求解线性、常系数微分方程流程图见书P52，图，图25(0 )0.8iA(0 )0/iA s(0 )2(0 )2.8iiA(0 )(0 )22/iiA s ( )7 ( ) 10 ( )2( ) 12 ( )8 ( )i t

11、i ti tttu t25428( )03155tti teet信信 号号 与与 系系 统统第第2 2章章 连续时间系统的时域分析（续）连续时间系统的时域分析（续）第第2章章 主要内容主要内容 LTI连续系统的响应连续系统的响应 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 从从 0- 到到 0+ 状态的变化状态的变化 零输入响应和零状态响零输入响应和零状态响应应 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应冲激响应 阶跃响应阶跃响应 卷积积分卷积积分 信号的时域分解和卷积信号的时域分解和卷积 卷积的图解卷积的图解 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积代数卷积代数 奇异信号的卷积特性奇异信号的卷积

12、特性 卷积的微积分性质卷积的微积分性质 卷积的时移特性卷积的时移特性 (t)函数性质归纳函数性质归纳3. 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 线性时不变系统的响应还可以分解为线性时不变系统的响应还可以分解为零输入响应零输入响应和和零状态零状态响应响应的叠加。的叠加。零输入响应零输入响应没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应，它没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应，它满足的方程为满足的方程为( )zir t1011( )( )( )0nnzizin zinnddCr tCr tC r tdtdt零输入响应的形式零输入响应的形式其中的常数可以由其中的常数可以由 确定

13、。确定。1( )kntzizikkr tA e( )(0 )(0,1,1)krkn零状态响应零状态响应不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应，它满足的方程为统的外加激励信号所产生的响应，它满足的方程为( )zsrt10111011( )( )( )( )( )( )nnzszsn zsnnmmmmmddCrtCrtC rtdtdtddEe tEe tE e tdtdt零输入响应的形式零输入响应的形式其中其中 是特解，起始状态是特解，起始状态 。1( )( )kntzszskkrtA eB t( )(0

14、 )0kr( )B t例例1：描述某系统的方程为：描述某系统的方程为 已知已知 ， ， ，求零输入响应和零状，求零输入响应和零状态响应。态响应。(0 )2r(0 )0r( )( )e tu t( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr te te t解解 1)零输入响应零输入响应 的激励为的激励为0，故，故 满足满足( )zir t( )zir t( )3( )2( )0zizizir tr tr t(0 )(0 )(0 )2zizirrr(0 )(0 )(0 )0zizirrr该齐次方程的特征根为该齐次方程的特征根为 -1，-2，所以，所以代入初始值得代入初始值得212(

15、)ttzir tC eC e1242CC 2( )420ttzir teet例例2：描述某系统的方程为：描述某系统的方程为 已知已知 ， ， ，求零输入响应和零状，求零输入响应和零状态响应。态响应。(0 )2r(0 )0r( )( )e tu t( )3 ( )2 ( )2 ( )6 ( )r tr tr te te t续续 2)零状态响应零状态响应 满足满足( )zsrt( )3( )2( )2 ( )6 ( )zszszsrtrtrttu t(0 )(0 )0zszsrr上式右端包含上式右端包含 函数，设函数，设代入方程可得代入方程可得( ) t( )( )( )zsrtatbu t( )

16、( )zsrtau t20ab(0 )(0 )0zszsrr(0 )(0 )22zszsrr所以有所以有对对t 0有有( )3( )2( )6zszszsrtrtrt不难求得齐次解为不难求得齐次解为 特解为特解为 3212ttAeA e代入初始值可得代入初始值可得2( )430ttzsrteet 所以所以212( )30ttzsrtAeA et“自由响应自由响应”与与“强迫响应强迫响应”V.S.“零输入响应零输入响应”与与“零状态响应零状态响应”二、冲激响应和阶跃响应二、冲激响应和阶跃响应1. 冲激响应冲激响应由单位冲激信号由单位冲激信号 引起的零状态响应称为冲激响应，记引起的零状态响应称为冲

17、激响应，记为为 。( ) t( )h t例例3：描述某系统的方程为：描述某系统的方程为 求其冲激求其冲激 响应。响应。解解 根据根据 的定义，有的定义，有( )5 ( )6 ( )( )r tr tr te t( )h t( )5 ( )6 ( )( )h th th tt(0 )(0 )0hh利用冲激函数匹配法，有利用冲激函数匹配法，有(0 )(0 )0hh(0 )(0 ) 11hh 对对t 0有有方程的特征根为方程的特征根为2和和3，故系统的冲激响应为，故系统的冲激响应为代入初始值可得代入初始值可得所以所以2312( )()0tth tAeA et( )5 ( )6 ( )0h th th

18、 t23( )0tth teet2. 阶跃响应阶跃响应由单位阶跃信号由单位阶跃信号 引起的零状态响应称为阶跃响应，记引起的零状态响应称为阶跃响应，记为为 。例例4：描述某系统的方程为：描述某系统的方程为 求其阶跃响应。求其阶跃响应。解解 系统的阶跃响应系统的阶跃响应 满足方程满足方程( )7 ( ) 10 ( )( )6 ( )4 ( )r tr tr te te te t( )g t( )7( ) 10 ( )( )6 ( )4 ( )g tg tg tttu t(0 )(0 )0gg( )u t( )g t利用冲激函数匹配法，有利用冲激函数匹配法，有(0 )(0 ) 11gg (0 )(0

19、 ) 11gg 对对t 0有有方程的特征根为方程的特征根为-2和和-3，特解为，特解为 2/5 故系统的阶跃响应为故系统的阶跃响应为代入初始值可得代入初始值可得25122( )05ttg tAeA et( )7( ) 10 ( )4g tg tg t25212( )03155ttg teet( )( )( )( )tdh tg tdtg thd 由于由于 和和 为微积分关系，则阶跃响应为微积分关系，则阶跃响应 和冲激响应和冲激响应 也满足：也满足：( ) t( )u t( )g t( )h t例例4也可以先求出系统的冲激响应，再通过积分，求出也可以先求出系统的冲激响应，再通过积分，求出系统的阶

20、跃响应。系统的阶跃响应。三、卷积积分三、卷积积分知识回顾：知识回顾：w 信号分解成冲激函数的组合：信号分解成冲激函数的组合：111111111011110111 ()()( )lim( )lim( ) ()( ) ()( )* ( )ttttu ttu tttf tf tttf ttttf ttt dtf tt w 任意信号作用下的零状态响应：任意信号作用下的零状态响应：LTI系统零状态系统零状态( )e t( )r t( )( )th t()()th t( ) ()( ) ()eteh t ( ) ()( ) ()etdeh td (定义定义)(时不变性时不变性)(齐次性齐次性)(叠加性叠加

21、性)( )( ) ()r teh td(卷积积分卷积积分)1. 卷积的定义卷积的定义定义在定义在 上的两个函数上的两个函数 和和 ，则定义积分，则定义积分 为为 和和 的卷积积分，简称卷积，的卷积积分，简称卷积，记为记为1( )f t(,) 2( )f t1( )f t2( )f t12( )( )()f tff td12( )( )( )f tf tf t注意注意为积分变量，为积分变量，t t为参变量，结果是为参变量，结果是t t的函数的函数例例5：已知：已知 求求2( )(61) ( )th teu t( )()te tet 解解( )r t当当 t t tt）时，）时，2()( )61t

22、r teed()0u t2()23232323( )61(6)(6)()2|2ttttttttttttttr teedeee deede deeeeeee2. 卷积的图解法卷积的图解法卷积过程可分为四步：卷积过程可分为四步：1. 换元：换元：t t换为换为2. 反褶平移：反褶平移：由由 反转反转 ，右移，右移t t 3. 乘积：乘积：4. 积分：积分：从从-到到对乘积项积分对乘积项积分1212( )( )( )()f tf tff td12( ),( )ff2( )f2()f2()f t12( )()ff t例例6：已知：已知 如图所示，求如图所示，求( )e t解解 图形比较复杂，进行换元图

23、形比较复杂，进行换元 换元换元 ， 反褶平移反褶平移 ( )( )( )r te th t( )h t( )h t( )e t( )h( )e()e t t0,( )( )0e th t 0t1,2011( )24tr tdt 1t2，1111( )224ttr tdt0123h()2tt-1e(t-)0.50123 2t3，2211113( )2424tr tdtt t3，( )0r t 图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。较方便的。确定积分的上下限是关键确定积分的上下限是关键。补充作业：补充作业： 已知已知 f1(t

24、)和和 f2(t)，f(t)= f1(t)*f2(t)，求，求f(2)（图解法）（图解法）信信 号号 与与 系系 统统第第2 2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析( (续续) )第第2章章 主要内容主要内容 LTI连续系统的响应连续系统的响应 微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解 从从 0- 到到 0+ 状态的变化状态的变化 零输入响应和零状态响零输入响应和零状态响应应 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应冲激响应 阶跃响应阶跃响应 卷积积分卷积积分 信号的时域分解和卷积信号的时域分解和卷积 卷积的图解卷积的图解 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积代数卷积代数 奇

25、异信号的卷积特性奇异信号的卷积特性 卷积的微积分性质卷积的微积分性质 卷积的时移特性卷积的时移特性 (t)函数性质归纳函数性质归纳四、卷积积分的性质四、卷积积分的性质1. 卷积代数卷积代数满足乘法三定律：满足乘法三定律：交换律交换律：分配律分配律：1221( )*( )( )*( )f tf tf tf t1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf tf tf t123123( )*( )*( )( )*( )*( )f tf tf tf tf tf t结合律结合律：h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)( )e t( )e t12( )( )*

26、 ( )( )r te th th t12( )( )* ( )*( )r te th th t2. 奇异信号的卷积特性奇异信号的卷积特性( )* ( )( )f ttf t00( )* ()()f tttf tt( )*( )( )f ttf t( )* ( )( )tf tu tfd( )( )00( )*()()kkf tttftt1.2.3.推广：推广：k取正整数表示导数阶数，取正整数表示导数阶数，k取负整数表示重积分次数取负整数表示重积分次数3. 卷积的微积分性质卷积的微积分性质211212( )( )( )*( )( )*( )df tdf tdf tf tf tf tdtdtdt

27、121212( )*( )( )*( )( )*( )tttffdf tfdfdf t12( )( )*( )S tf tf t( )( )()12( )( )*( )ijijStftft1.2.推广：推广：设设则有则有i，j取正整数时为导数的阶次，取负整数数时为重积分的次数。取正整数时为导数的阶次，取负整数数时为重积分的次数。如：如：121212( )*( )( )*( )( )*( )ttdf tf tf tfddtdfdf tdt1()0)f 2()0)f 4. 卷积的时移特性卷积的时移特性若若12( )( )*( )f tf tf t11221122121212()*()()*( )(

28、 )*()()f ttf ttf tttf tf tf tttf ttt则则例：例：f1(t)如图，如图，求求2( )( )tf te u t12( )*( )f tf t解：解：1( )( )(2)f tu tu t12221122( )*( )( )*( )(2)*( )( )(2)f tf tu tf tu tf tftft(2)12( )*( )(1) ( )1 (2)ttf tf teu teu t例：例：f1(t)和和f2(t)如图，求如图，求12( )*( )f tf t解：解：1( )2 ( )2 (1)f tu tu t12( )*( )2 ( )* (1)2 ( )* (1)2 (1)* (1)2 (1)* (1)f tf tu tu tu tu tu tu tu tu t( )* ( )( )u tu tt u t2( )(1)(1)f tu tu t因为因为根据时移特性根据时移特性12( )*( )2(1