第七章向量代数与空间解析几何PPT课件

1、第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第二节第二节 向量的数量级与向量积向量的数量级与向量积 第三节第三节 平面、空间直线方程平面、空间直线方程 第四节第四节 曲面、空间曲线方程曲面、空间曲线方程 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 一一. .空间直角坐标系空间直角坐标系 二二. .空间两点的距离空间两点

2、的距离 本节主要内容本节主要内容: :三三. .空间向量的概念空间向量的概念 四四. .向量的线性运算向量的线性运算五五. .向量的坐标表示向量的坐标表示 四四. .向量的模与方向余弦的坐标向量的模与方向余弦的坐标表达式表达式第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 3一一. .空间直角坐标系空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系坐标原点：坐标原点： O 点；点；坐标轴：坐标轴：x轴轴, y轴轴, z轴，轴，坐标平面：坐标平面：xOy、yOz、zOx.三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手法则右手法则.xyz o横

3、轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 4xyozxoy面面yoz面面zox面面第一卦限第一卦限第二卦限第二卦限第五卦限第五卦限空间直角坐标系中共有八个卦限空间直角坐标系中共有八个卦限第一卦限第一卦限 x0,y0,z0，第二卦限第二卦限 x0,z0，第三卦限第三卦限 x0,y0，第四卦限第四卦限 x0,y0，第五卦限第五卦限 x0,y0,z0，第六卦限第六卦限 x0,z0，第七卦限第七卦限 x0,y0,z0,y0,z0.第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算

4、向量及其线性运算 5 设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点M分别作垂直于分别作垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴于点轴于点P、Q和和RyxzO 设点设点P、Q和和R在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别是轴上的坐标分别是x，y和和z，那么点，那么点M就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)MRQPxyz第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 6yxzMOMRQP 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组(x，y，

5、z)，我们可以在，我们可以在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴上依次取坐标为x，y和和z的点的点P、Q和和R，分别过，分别过P、Q和和R各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，这三个轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组平面的唯一交点就是有序实数组(x，y，z)确定的点确定的点Mxyz第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 7yxzPMQOMR记作记作M（x，y，z）x叫做点叫做点M的横坐标的横坐标y叫做点叫做点M的纵坐标的纵坐标z叫做点叫做点M的竖坐标的竖坐标空间的点空间的点

6、三元有序数组三元有序数组),(zyx 11第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 8原点原点O坐标为坐标为(0,0,0).zOx面上点的坐标为面上点的坐标为(x,0,z)，yOz面上点的坐标为面上点的坐标为(0,y,z)，xOy面上点的坐标为面上点的坐标为(x,y,0)，z轴上点的坐标为轴上点的坐标为(0,0,z)，y轴上点的坐标为轴上点的坐标为(0,y,0)，x轴上点的坐标为轴上点的坐标为(x,0,0)，),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(

7、zoxC第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 9对称点的表示对称点的表示x0zyM点的对称点点的对称点关于关于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)关于关于x轴轴:(x,y,z) (x,-y,-z)Q0关于原点关于原点:(x,y,z) (-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 10二二. .空间两点的距离空间两点的距离 设设 为空间两点为空间两点),(),(222

8、21111zyxMzyxMxyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在 直 角在 直 角21NMM 及及直角直角PNM1 中，使中，使用勾股定理知用勾股定理知 ,222212NMPNPMd 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 11,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式,222212NMPNPMd 特殊地：点特殊地：点M(x,y,z) 到坐标原点到坐标原点O(0,0,0)的距离为的距离为OMd .222zyx

9、xyzo 1MPNQR 2M第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 12例例1 在在y轴上求与点轴上求与点 A(1,-3,7)和和B(5,7,-5)等距离的点等距离的点.解解因为所求的点在因为所求的点在y轴上，故可设它为轴上，故可设它为M(0,y,0)，依题意有依题意有MAMB 解得解得:y=2因此，所求的点为因此，所求的点为M(0,2,0) 222222(10)( 3)(70)(50)(7)( 50)yy 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 13例例2 设有

10、三点设有三点M1(2,1,-1) 、M2(5,-1,0) 、M3(3,0,1) ， 求证求证 M1M2M3是等腰三角形是等腰三角形.证明证明222212(52)( 11)(01)14M M 222223(35)(01)(10)6M M222231(23)(10)( 11)6M M 由于由于|M2M3|=|M3M1|所以所以 M1M2M3是等腰三角形是等腰三角形第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 14三三. .空间向量的概念空间向量的概念 向量向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.1M2M 向量表示向量表示：a或或1

11、2M M以以M1为起点为起点, M2为终点的有向线段为终点的有向线段|a向量的模向量的模：向量的大小向量的大小.或或12|M M模长为模长为1的向量的向量.单位向量单位向量：记作：记作：e 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 15负向量负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a a a零向量零向量：模长为模长为0的向量的向量.0 零向量零向量实质上是起点与终点重合的向量，它的方向是不实质上是起点与终点重合的向量，它的方向是不确定的，也可以说它的方向是任意的，可根据需要来选取确定的，也可以说它的方向是任意的，

12、可根据需要来选取它的方向它的方向. 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 16向量平行向量平行： 两个非零向量如果它们的方向相同或相两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行反，就称这两个向量平行.记作记作 例如：在平行四边形例如：在平行四边形ABCD中，中，ABCD/ /,/ /ADBC ABDC / /ab零向量认为是与任何向量都平行零向量认为是与任何向量都平行.相等向量相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.自由向量自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.因此它可以平行移动因

13、此它可以平行移动.第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 17空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向量向量a与与b正向之间正向之间的夹角的夹角 ),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 当当 时，就称向量时，就称向量 与与 垂直，记作垂直，记作 .( , )2a b a b ab

14、 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 18四四. .向量的线性运算向量的线性运算 1.向量加减运算定义及性质向量加减运算定义及性质cba abc平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则加法：加法：减法：减法：)( baba abb b c三角形法则三角形法则ba ba ab平行四边形法则平行四边形法则abc第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 19向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：）交换律：.abba （2）结合律

15、：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aan个向量个向量 的和的和可以简记为可以简记为 。12,na aa 12naaa 例如例如12345saaaaa 2a 4a s 3a 1a 5a 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 202.向量与数的乘法向量与数的乘法设设 是一个数，向量是一个数，向量a与与 的乘积的乘积a 规定为规定为 , 0)1( a 与与a同向同向， |aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向， |aa aa2a21 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空

16、间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 21数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )( 定理定理7.1.1 设向量设向量 ，那么向量，那么向量 平行于向量平行于向量 的充分必要条件是存在唯一的实数的充分必要条件是存在唯一的实数 ，使，使 | 0a a b ba ae |aaae 与与 同向的单位向量同向的单位向量: 记作记作a对非零向量对非零向量 ，a第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运

17、算 22五五. .向量的坐标表示向量的坐标表示 1.向量在轴上的投影向量在轴上的投影.uABu设有一轴 ，是轴上的有向线段uAB.ABABuABuuABABAB 如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那末数叫做轴上有向线段的值，记作，即第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 23空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 24 性质性质7.1.1

18、（投影定理）（投影定理） 向量向量 在轴在轴u上的投影等于上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：的余弦： AB PrjcosuABAB uABA B B u ABju Pr cos| AB ABjuPrPr juAB.BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 25性质性质7.1.2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和.即：即： Prj ()PrjPrjuuuababAA

19、 BB CC ua b 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 26性质性质7.1.3 向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在该轴上的投影与数的乘积该轴上的投影与数的乘积.即即Prj ()Prjuuaa 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 272. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标以以 分别表示沿分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量轴正向的单位向量, 称称为为基本单位向量基本单位向量.,

20、 ,i j k xyozi j k zijkMoxyCABzyxN(x,y,z)r = OM = OA + AN +NM= OA + OB + OCxiyjzk以原点为起点的向量以原点为起点的向量 r第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 28zijkMoxyCABzyxN(x,y,z)简记为简记为 r =(x, y, z), 此称为向量此称为向量r = OM的的坐标坐标表达表达式式.称称 x i , y j , z k 分别是分别是OM 在在 x 轴轴, y 轴轴, z 轴上的轴上的分向量分向量x, y, z,分别是分别是OM

21、 在三坐标轴上的投影在三坐标轴上的投影, 称为称为 OM 的的坐标坐标.r =OM=xi+ yj+zk , 此称为向量此称为向量r = OM的的坐标分解式坐标分解式.第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 29 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影影(即向量的坐标即向量的坐标)有本质的区别有本质的区别: 向量向量OM在坐标轴上的分向量是在坐标轴上的分向量是三个向量三个向量：x i = (x,0,0) , y j = (0,y,0), z k= (0,0,z ).注注 意意第七章第

22、七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 30已知起点和终点的向量已知起点和终点的向量以以M1(x1,y1,z1)为起点，为起点，M2(x2,y2,z2)为终点的向量为终点的向量M1M2xyoz 1M 2Mijk212121()()()xx iyyjzz k M1M2=OM2-OM1， OM2=(x2,y2,z2),OM1=(x1,y1,z1)， M1M2 =(x2,y2,z2)- (x1,y1,z1)212121(,)xx yy zz 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运

23、算 31设设a = M1M2 ,记记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1向量向量a 的的坐标分解式坐标分解式：xyzaa ia ja k 在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：，xyza ia ja k 向量的向量的坐标表达式坐标表达式：(,)xyzaaa a 向量的向量的横坐标、纵坐标、竖坐标横坐标、纵坐标、竖坐标分别为分别为:,xyzaaa第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 32向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式(,),x

24、yzaaaa(,),xyzbbbb(,)xxyyzzabababab(,)xxyyzzabababab(,)xyzaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 33两向量平行的充要条件两向量平行的充要条件设设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且且 为常数为常数 a / b a = b(,)(,)xyzxyzaa ab b b yzxxyzaaabbb 即向量即

25、向量 a 与与 b 对应的坐标成比例对应的坐标成比例第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 34yzxxyzaaabbb 注注: 在上式中在上式中, 规定若某个分母为零相应的规定若某个分母为零相应的分子也为零分子也为零.0 xxab yzyzaabb 如如 ax=0 , ay , az 时时,平行应理解为：平行应理解为： 0 xxab 0yyab 如如 ax=ay=0, 时，时，za 平行应理解为：平行应理解为：第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 35解解例例

26、3 已知向量已知向量 ，始点，始点A的坐标为的坐标为 (-3,1,4)， 求终点求终点B的坐标的坐标.( 3,0,1)aAB (3,1,4)( 3,0,1)ABxyz 设设B=(x,y,z)，则，则所以所以x=-6,y=1,z=5，即，即B=(-6,1,5)第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 36OAOB 23OAOB 例例4 设有点设有点A(3,-1,2) 和和B(2,4,0) ，求向量，求向量 和和解解(3, 1,2)(2,4,0)(5,3,2)OAOB 232(3, 1,2)3(2,4,0)(6, 2,4)(6,12,

27、0)(0, 14,4)OAOB 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 37/ /ab210,1 21,01 10,.22,aijk bjk a b 例例5 设向量设向量 问数问数 , 为何值为何值 时，时， 与与 平行平行.解解第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 38xyzo 1M 2MPQR222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 设设 a =M1M2=(ax , ay , az), 六六. .向量的

28、模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 39(2)方向方向余弦余弦: 方向角的余弦方向角的余弦cos , cos , cos , 称为方向余弦称为方向余弦.xyzo 1M 2M PQR(1)方向角方向角: 向量向量 a 与与x, y, z 轴轴正向正向夹角夹角 , , , 称为称为 a 的方向角的方向角.,0 ,0 .0 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 40 xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.PQR第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 410222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 42