函数的单调性与PPT课件

1、第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB单单调调减减小小。在在，则则内内如如果果在在,)(0)(),()2(baxfxfba abBA.,),()(连续连续在在可导可导在在定理：设函数定理：设函数babaxfy 单单调调增增加加；在在，则则内内如如果果在在,)(0)(),()1(baxfxfba 所以可通过所以可通过判断函数导数的符号来判断函数导数的符号来判断函数的判断函数的单调性单调性. .证证(1):,21baxx ,2

2、1xx 且且)()(12xfxf 0 ).()(21xfxf .,)(单单调调增增加加在在baxfy 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理得得)(12xxf )(21xx 例例1 1解解:.3的的单单调调性性讨讨论论函函数数xy 23xy , 0 x当当. 0 y.), 0()0 ,(3都都是是单单调调增增加加和和在在 xyyox3xy .03连续连续在在又又 xxy.)(3单单调调增增加加在在 xy.)()(（或或减减小小）在在整整个个区区间间上上单单调调增增加加那那么么），处处的的导导数数均均为为正正（或或负负个个点点以以外外，在在其其余余各各点点在在某某区区间间内内除除了了有有限限一一般

3、般的的，如如果果连连续续函函数数xfxf例例2.2.确定函数确定函数31292)(23 xxxxf的单调区间的单调区间. .解解: :12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)( xf令令2,1 xx得得x)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21)(xf的的单调增单调增区间为区间为, 1,(),2 )(xf的的单调减单调减区间为区间为.2,1 例例3 3解解:.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 3313232)(xxxf .0时时，导导数数不不存存在在当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0)(xf时，时，当

4、当 x0, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在0 ,()( xf32xy )0( x函数单调区间的分界点必是导数等于零或函数单调区间的分界点必是导数等于零或导数不存在的点导数不存在的点求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间的步骤: :);()1(xf 求求导导数数;)(0)()2(不不存存在在的的点点和和求求xfxf .,)()(0)()3(号号个个部部份份区区间间内内导导数数的的符符然然后后判判断断各各的的定定义义域域来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的点点和和用用xfxfxf 例例4 4证：证：.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()( xxxf 令令xx

5、f 111)(则则上单调增加；上单调增加；在在), 0)(xf)0()( , 0fxfx 当当).1ln(xx 即即利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式 0) ( 0 x当当.0)( 连续连续在在又又 xxf, 0 xx 1例例5 5. . 证明证明, )2,0( x当当0 , 0 20 x时时, , 成立不等式成立不等式.2sin xx证证: : ,2sin)( xxxf令令2sincos)(xxxxxf )tan(cos2xxxx 0 ,tan)(xxx 令令xx2sec1)( 则则x2tan ,)2,0)(上递减上递减在在 x)0()( x,2,0()(单单调调递递减减在

6、在因因此此 xf2,0(,2sin xxx即即)2()( fxf 0 )2,0( x二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性曲线的凹凸性是反映函数形状的另一个指标。曲线的凹凸性是反映函数形状的另一个指标。单调性仍不够。单调性仍不够。如何区分？如何区分？如何区分？如何区分？递增递增递减递减;)(,2)()()2(,)( 212121的的凹凹上上的的图图形形是是在在那那末末称称恒恒有有意意两两点点上上任任如如果果对对上上连连续续在在区区间间定定义义：设设IxfxfxfxxfxxIIxf xyo1x2x)(xfy 任意弧段位于所张弦的上方任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy 任意弧段位于所张弦的下方任意

7、弧段位于所张弦的下方1x2x221xx 的的凸凸上上的的图图形形是是在在那那末末称称如如果果恒恒有有Ixfxfxfxxf)(,2)()()2(2121 221xx 曲线凹凸性的判定曲线凹凸性的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA.,)(, 0)(),()2(;,)(, 0)(),()1(.,),()( 是凸的是凸的在在则则内内如果在如果在是凹的是凹的在在则则内内如果在如果在连续连续在在具有二阶导数具有二阶导数在在定理：设定理：设baxfxfbabaxfxfbababaxf 所以可通过所以可通过判断函数的二阶导数的符号来判断函数的二阶导数的符号来判断判断函数曲线的凹凸性。函数

8、曲线的凹凸性。证证(1):, 21baxx 任取任取,21xx 且且. 0 )2(2)()(2121xxfxfxf )()2()2()(121212xfxxfxxfxf 2)(122xxf 2)()(1212xxff ,2)()()2(2121xfxfxxf .)( 的的图图形形是是凹凹的的即即xf1x2x221xx 1 2 2)()(1212xxf 2)(121xxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解:,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y.), 0为凹的为凹的在在曲线曲线,0 y令令0 x得

9、得.)0 , 0(是是曲曲线线凹凹凸凸的的分分界界点点注注意意到到点点解解: :,3231 xy3592 xyoxy.0不不存存在在时时，当当yx . 231的的凹凹凸凸性性讨讨论论曲曲线线例例xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y.), 0为凸的为凸的在在曲线曲线.)0 , 0(是是曲曲线线凹凹凸凸的的分分界界点点注注意意到到点点连续曲线上凹与凸的分界点称为连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。曲线的拐点。xyo但反之不真。但反之不真。.0 4点点在在例例 xxy拐点的候选点拐点的候选点0)( xf不存在不存在)(xf 如果一个如

10、果一个连续连续点左右两侧的点左右两侧的二阶二阶导数异号，导数异号，则此点必是则此点必是拐拐点。点。问题问题：如何判断候选点是否真的是拐点？：如何判断候选点是否真的是拐点？ABC确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: :);()1(xf 求二阶导数求二阶导数;)( 0)( )2(不不存存在在的的点点和和求求xfxf .,)()(0)( )3(符符号号部部份份区区间间内内二二阶阶导导数数的的然然后后判判断断各各个个的的定定义义域域来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的点点和和用用xfxfxf 例例3 3.14334的的凹凹凸凸区区间间及及拐拐点点求求曲曲线线 xxy解

11、：解：,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹凹 凸凸 凹凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32( 要点要点:判断函数的单调性判断函数的单调性： 通过通过判断判断函数函数导数的符号导数的符号. .利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式.通过通过判断函数的二阶导数判断函数的二阶导数的符号的符号. .判断函数曲线的凹凸性判断函数曲线的凹凸性：连续曲线上凹与凸的分界点连续曲线上凹与凸的分界点. .曲线的拐点曲线的拐点:确定曲线的凹凸区间和拐点：确定曲线的凹凸区间和拐点：单调区间的求法单调区间的求法:.)()(0)( 间间内内导导数