运筹学第四章

1、页眉第5次课2学时本次课教学重点：建立数学模型本次课教学难点：建立数学模型本次课教学内容：第四章线性规划在工商管理中的应用第一节人力资源分配的问题例 1 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数16：00 10：0060210：0014：0070314：0018：0060418：0022：0050522：00 2：002062： 006： 0030设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解： 设 xi ( i = 1,2, 表示,7)星期一至日开始休息的人数

2、,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx+ x + x + x+ x+ x+ x7123456约束条件： s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x + x+ x+ x+ x6 152345x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x + x+ x+ x+ x1 254567x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x + x+ x+ x+ x3 316712x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x ,x ,x ,x,x ,x ,x 01234567例 2 一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休

3、息，售货人员每周工作 5 天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？1 / 9页眉时间所需售货员人数星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28解： 设 xi ( i = 1,2, ,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1 + x2+ x3+ x4 + x5 + x6 + x7约束条件： s.t. x1 + x2 + x3+ x4+ x5 28x2+ x3 + x4 + x5 + x6 15x3+ x4 + x5 + x6 + x7 24x4+ x5

4、+ x6 + x7 + x1 25x5+ x6 + x7 + x1 + x2 19x6+ x7 + x1 + x2 + x3 31x7+ x1 + x2 + x3 + x4 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0第二节生产计划的问题例 3 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、 乙两种产品的铸造中， 由本公司铸造和由外包协作各应多少件？铸造工时 (小时 /件

5、)机加工工时 (小时/件)装配工时 (小时 /件)自产铸件成本 (元/件)外协铸件成本 (元/件)机加工成本 (元/件)装配成本 (元/件)产品售价 (元/件)甲乙丙资源限制51078000648120003221000035456-213322231816解： 设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求 xi 的利润：利润 = 售价 -各成本之和产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=132 / 9页眉产品乙全部自制的利润

6、=18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9产品丙的利润=16-(4+3+2)=7可得到 xi （ i = 1,2,3,4,5 ） 的利润分别为15、10、 7、 13、 9 元。通过以上分析 ,可建立如下的数学模型:目标函数：Max15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5约束条件：5x1+ 10x2+ 7x3 80006x1+4x2+ 8x3 + 6x4 + 4x5 120003x1+2x+ 2x3+ 3x+ 2x 10000245x1,x2,x3,x4,x5 0例 4 永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。设有

7、两种规格的设备 A 1、A 2 能完成 A 工序；有三种规格的设备B 1、 B2、B 3 能完成 B 工序。可在A 、B的任何规格的设备上加工；可在任意规格的A 设备上加工，但对B 工序，只能在 B1设备上加工；只能在 A 2 与 B2 设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？设备产品单件工时设备的满负荷时的有效台时设备费用A 2791210000321B1684000250B24117000783B374000200原料（元 /件）0.250.350.50售价（元 /件）1.252.002.80解：设 xijk表示第 i 种产品，在第

8、 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型 :s.t. 5x111 + 10x211 6000（设备 A1）7x112+9x+ 12 x 10000（设备A2）2123126x121+8x221 4000（设备B1）4x122+ 11x322 7000（设备B2）7x123 4000（设备B3）x + x112- x- x122- x123= 0(产品在 A 、 B 工序加工的数量相等）111121x211+ x212- x221= 0（产品在 A 、 B 工序加工的数量相等）x- x322= 0（产品在 A 、 B 工序加工的数量相等）312xijk 0,i = 1,2,

9、3; j = 1,2; k = 1,2,3目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润 = （销售单价- 原料单价） * 产品件数 之和 -（每台时的设备费用 * 设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：3 / 9页眉Max(1.25-0.25)(x 111+x 112)+(2-0.35)x 221+(2.80-0.5)x 312 300/6000(5x 111+10x 211)-321/10000(7x 112+9x 212+12x 312)-250/4000(6x 121+8x221)-783/7000(4x 122+11x 322)-200/4000(7x 123).经整理可

10、得：Max0.75 x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312 -0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123第三节套裁下料问题例 5某工厂要做100 套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m 的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列5 种下料方案，见下表方案 1方案 2方案 3方案 4方案 52.9 m120102.1 m002211.5 m31203合计7.47.37.27.16.6剩余料头00.10.20.30.8设 x1,x

11、2,x3,x4,x5 分别为上面5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1 + x2 +x3+x4 +x5约束条件：s.t.x1 + 2x2+x4 1002x3+ 2x4 +x5 1003x1 + x2 +2x3+ 3x5 100x1,x2,x3,x4,x5 0?1 下料 30 根；按方案2 下料 10 根；按方用 “管理运筹学 ”软件计算得出最优下料方案：按方案案4下料 50根。即 x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需 90 根原材料就可制造出100 套钢架。?注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时

12、在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。4 / 9页眉第四节配料问题例 6 某工厂要用三种原料 1、 2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元/kg ）甲原材料1 不少于50% ，原材料2 不超过25%50乙原材料1 不少于25% ，原材料2 不超过50%35丙不限25原材料名称每天最多供应量单价（元/kg ）11006521002536035解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于

13、甲：x11， x12， x13；对于乙：x21， x22， x23；对于丙：x31， x32， x33；对于原料1： x11，x21， x31；对于原料2： x12， x22，x32；对于原料3： x13， x23，x33；目标函数：利润最大，利润 = 收入 - 原料支出约束条件：规格要求4 个；供应量限制3 个。?利润 =总收入 -总成本 =甲乙丙三种产品的销售单价* 产品数量 -甲乙丙使用的原料单价* 原料数量，故有目标函数Max 50 （ x11+x12+x13） +35（ x21+x22+x23） +25 （ x31+x32+x33） -65（x11+x21+x31） -25（ x12

14、+x22+x32）-35（ x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33约束条件：从第 1 个表中有：x110.5(x11+x12+x13)x12 0.25(x11+x12+x13)x21 0.25(x21+x22+x23)x22 0.5(x21+x22+x23)从第 2 个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31) 100(x12+x22+x32) 100(x13+x23+x33) 60通过整理，得到以下模型：目标函数： Max z = -15 x11+25x12+15x13-30x21

15、+10x22-40x31-10x33 约束条件：s.t.0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1 不少于 50%）5 / 9页眉-0.25x11+0.75x12-0.25x13 0（原材料2 不超过 25%）0.75x21-0.25x22-0.25x23 0（原材料1 不少于 25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2 不超过 50%）x +x +x31 100(供应量限制）1121x12+x22 +x32 100(供应量限制 )x +x +x33 60(供应量限制）1323xij 0, i = 1,2,3; j = 1,2,3例 7.汽

16、油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数 ”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4 种标准汽油，其特性和库存量列于表 4-6 中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2 的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7 中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2 号汽油满足需求，并使得1 号汽油产量最高？标准汽油辛烷数蒸汽压力 (g/cm 2)库存量 (L)1107.57.11× 10-2380000293.011.38 × 10-2265200387.05.69

17、5; 10-24081004108.028.45 ×10-2130100表 4-6飞机汽油辛烷数蒸汽压力 (g/cm2)产量需求1不小于 91不大于 9.96 × 10-2越多越好2不小于 100不大于 9.96 × 10-2不少于 250000表 4-7解： 设 xij 为飞机汽油 i 中所用标准汽油 j 的数量 (L) 。x11x12x13x14目标函数为飞机汽油1 的总产量：库存量约束为：x11x21380000x12x22265200x13x23408100x14x24130100产量约束为飞机汽油2 的产量：x21x22x23x24250000n由物理中

18、的分压定律，PVp j v j 可得有关蒸汽压力的约束条件：j 12.85x111.42x124.27x1318.49x1402.85x211.42x224.27x2318.49x2406 / 9页眉同样可得有关辛烷数的约束条件为：16.5x112.0x124.0x1317.0x1407.5x117.0x1213.0x138.0x140综上所述，得该问题的数学模型为：maxx11x12x13x14x21x22x23x24250000x11x21380000x12x22265200x13x23408100x14x241301002.85x111.42 x124.27 x1318.49 x1402

19、.85x211.42 x224.27 x2318.49x24016.5x112x124x1317x1407.5 x21 7x2213 x238x240xij 0,( i1,2; j1,2,3, 4)由管理运筹学软件求解得：max(x11x12x13x14)933399.938x11261966.078x12265200x13315672.219x1490561.688x21118033.906x220x2392427.758x2439538.309第五节投资问题例 8某部门现有资金200 万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利

20、110%；项目 B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125% ，但规定每年最大投资额不能超过30 万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80 万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利 155%，但规定最大投资额不能超过100 万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表：7 / 9页眉项目风险指数（次/万元）A1B3C4D5.5问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330 万元的基础上使得其投资总的风险系数为

21、最小？解： 1）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 1 5， j = 1 4)表示第 i 年初投资于 A(j=1) 、 B(j=2) 、 C(j=3) 、 D(j=4) 项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx242）约束条件：第一年： A 当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是x11+ x12第二年： B 次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24第三年：年初有资金1.1x21+ 1.25x12，于是x31+ x32+ x33 = 1.1 x21+ 1.25x12；第四年：年初有资金1.1x31+ 1.25x22，于是x41+ x42= 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初有资金1.1x41+ 1.25x32，于是x51= 1.1x41+ 1.25x32；B 、 C、 D 的投资限制： xi2 30 ( i =1 、 2、 3、 4 )，x33 80， x24 1003）目标函数及模型：= 200 ；= 1.1 x11；a) Maxz = 1.1x + 1.