高代题库试题与答案汇编

1、学习-好资料高等代数(下)试题(11)更多精品文档一 填空题(每小题三分共15分)2 A为n阶矩阵,1A =-，贝U (3A) /1 A,B为n阶可逆矩阵，C= O O i，则CA =F3设f是一个n元负定的二次型，则二次型f的秩等于.4 设0( i,O(2,.Gn线性无关，W=L (ot-Sign)，则W的维数为。5 数量矩阵A=aE的特征根为。二单项选择题(每小题三分共15分)1设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则()(A)当m>n时，必有行列式 AB 0(B)当m>n时，必有行列式 ab =0(C)当n>m时，必有行列式|AB|式0(D )当n>m时，必有行列式

2、ab =02设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，贝U()(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。(B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是()A)r=1;(B) r=2;(C) r=m (有限数)；(D)r=1 或：4 数域F上n维向量空间V有( )个基(A) 1;(B)n；(C)n! ;(D)无穷多.5 设向量空间W= (a,2a,3a)a ER,则W的基为：()(A)( 1,2, 3,);(B)(a, a ,a ;(C)( a , 2a 3a);(D)(1 ,0, 0), (

3、0, 2 ,0),(0 ,0, 3)(15 分)学习-好资料(22 3、(7 1-10 |X=-1r1 2 1 丿求X四（15分）把二此型f (,X 2 冷)=X1X2 + Xi,X3+ X2X3通过非退化线性替换化成平方和 五（15分）求由向量:i生成的子空间与由向量'-i生成的子空间 交的基和维数1)： i =(121,0)，: 2 =(1,W)2) 0 1=(2,一1,0,1)，筠十1,-1,3,7)六（10分）求矩阵r5-1 1 'A=60 2的特征值与特征向量<_3-1 1七证明题（15分）1设A为n阶矩阵，A3=2E,证明B=A2-2A+2E可逆，并求 B2

4、设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。证明:3设U是n维向量空间V的非平凡子空间, 存在不止一个V的更多精品文档学习-好资料高等代数(下)试题(9)一 填空题(每小题三分共15分)1 若 A=a,贝U AA/ =.q23 4 )2 A= 12 4 5，则秩 A=。1 10 1 23 t 满足时二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x1x3+6x2x3为正定二次型。4 形如A= 0 a的矩阵(a F)作为M2 (F)的子空间，u 丿其维数为。5设n阶矩阵A满足A2=A，则A的特征根只有.二单项选择题(每小题三分共15分)的1 A,B为n阶矩阵，则下列式子成立的是

5、()(A) A + B = A + B(B) (A+B)=A +B -1(C) AB=BA(d )若 AB=B+E，贝U有 BA=B+E2 A,B，C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A2+B2+C2=()(A) 3E (B) 2E (C) E( D) O 矩阵3设12,S与-1, -2,./Lm均为向量空间V中向量，L (12,.；n)=L (営沖2,.耳)，则下列结论成立的是()(A) S=m;(B) :：七:飞可由r ：2,. *线性表出；(C) 1,2,. 是 L( iT,.、)的一个基(D) m,.S线性相关时，必有-1, -2,. -m也相关+4设W1，W2都是V的子空间

6、，则下列结论成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+ (W1 W2) = W1+W2(C) W1+ (W1 W2) = W1更多精品文档学习-好资料(D ) Wi+(Wi W2) = W25设A= 1 5，则A的特征根为（A）1 （二二重）7（B）5 （二重）（C）-4,6(D) 1, 5三 （15分）q 22、已知A=2 1-2，求A J及（A*）,2 -21J四 （15分）把二此型2 2 2f( x 1 ,x2 ,x3)= x 1 +2 x2 +4x3 +2 x1x2 +4x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）在P4中，求由向量:i（ 1=1,2,

7、3,4）生成的子空间的基与维数更多精品文档：i=（2,0，1,2）：3=（0，2，1, 8）六（10分）求矩阵:2=(-1, 1, 0，3)：4=(5, -1, 2, 1)的特征值与特征向量1-1-83 4fl i I-A七 证明题（15分）1 A,B 为 n 阶方阵，ABA=B '证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.2 证明：若A为正定阶矩阵，则 A，也为正定阶矩阵。3设V1与7 2是V的互不相同的非平凡子空间，且 V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间 W二Vj ,1=1,2,使得V= W. W2。咼等代数(下)试题(8)一 填空题(每小题三分共15分)0 2 12 11

8、130-A1B为秩等于2三阶矩阵，则秩AB=ai a22ai 2a?2 A= b b2 J B=gb2,|A=2，则 12A + B|=_；符号差为2 2 23 实二次型 f( x 1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2 x2 -x3 的秩为4 口是向量空设间V中的一个向量，贝U的负向量由 唯一确疋5齐次线性方程组(九E - A) x=0的 R是A的 征向量二单项选择题(每小题三分共15分)1 A ,B, C都是n阶矩阵，且ABC=I，则()成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I2 A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为(A) A+B

9、对称；(B) AB 对称；(C) Am+Bm对称；(D) AB+BA 对称。3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是(A)r=1;(B) r=2;(C) r=m (有限数)；(D)r=1 或：4 数域F上n维向量空间V有( )个基(A) 1;(B) n；(C) n! ;(D)无穷多1 55设A= 5 1，则A的特征根为()(A) 1 (二重);(B) 5 (二重)(C)-4, 6；(D) 1, 5三 (15分)解矩阵方程XA=B+2X，其中*5-10、-231(340 'A八2-16 丿b=1°-12 丿四( 15 分)把二此型学习-好资料高等代数(下)试题f( x

10、 1 ,x2 ,x3)=x1 x2 +4x 1x3-62x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量山生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数% =(3,121)«2 =(0,1,0,2)E =(1,0,1,3) P 2 = (2,-3,1,6)六(10分)求矩阵(-4-100、130A= 361的特征值与特征向量七证明题(15分)1设A为n阶矩阵，A=0,且人"=0, B为n阶可逆矩阵，证明 当AX=XB时，必有 B=02设A实对称矩阵，证明：当t充分大后，t E +A是正定矩阵。3 证明：如果 V=V 1 V2，V1=V11 V12，则 V= V V12

11、 V2.更多精品文档ai a22ai 2a2 I1 人=血 b2j B=Wb2,A=2，则 2A + B=。勺20 )3 122 A= <0 1 1丿,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=。23 二次型 f(x 1 ,x2, x3)= x1 +2x1x2 +2 x2x3 则 f 的秩为。正惯性指标为。2 2 24 t 满足时二次型 2 x1 + x2+5x3+2t x1x2 -2 x1 x3+4x2 x3 为正定二次型。'1aa.a xa1a.a 5 Anelaaa.J 特征值为。单项选择题(每小题三分共15分)的2 2 21 A,B，C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，贝U

12、 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E ( C) E(D) O 矩阵2设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则一定有()11(A)(A*)a= IAA(B) A J= IAA*(C)*iAA = A A ='l(D) (A*)' =1IA (A，)*3设W1，W2都是V的子空间，则不一定 V的子空间的是()(A) W1 W2(B) W1 W2 ( C) W1+W2(D) W1+V4设-0式0是矩阵A的 特征根，并且有1A 式 0，J 则是的特征根()(A)-A(B)A/*(C) A(D) A5设向量空间W= (a,2a,3a)a=R,则W的基为: ()(A)(1,2,

13、3,);(B)(a, a ,a(C)(a , 2a 3a);(D)(1 ,0, 0),(0, 2 ,0),(0 ,0, 3)（15 分）1a12aa1A=an 1四（ 15 分）把二此型2 2f（ x1 ,x2 ,x3 ）= x1 -3 x2 -2 x1 x2 +2 x1 x3 -6x2 x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量山生成的子空间与由向量 生成的子空间 交的基和维数% =(2,5,1,5)«2 =(1,2,2,3)A =(1,2,-1,-2)P 2 =(3,1,-1,1) 氏=(-1,01,-1)?J六(10分)求矩阵z2 -1 0 '-1 2 -1

14、0 _1 2 A= I7的特征值与特征向量七 证明题(15分)22A B1 设A,B为n阶矩阵，A =B =1且A + B =0，证明 (A+B )不可逆。2为m n阶实矩阵，B= ' E+ AA ,证明：当0时，B为正定阶矩阵/人03 A为n阶实反对称矩阵，即A = - A，证明：若是矩阵A的特征根，0则-也是矩阵A的特征根学习-好资料咼等代数(下)试题(6)一 填空题(每小题三分共15分)1 A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，贝U AA*=。(123 4、1-2452 人=J 1012丿，则秩A=。2 2 23 实二次型 f( x1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2

15、x2 -x3 的秩为;符号差为。4 数域F上任意n维向量空间V都可表为 一维子空间的直和25 设n阶矩阵A满足A =A，则A的特征根只有。二单项选择题(每小题三分共15分)1设A是3矩阵，则2A等于()(A) -2 A (B) 2 A (C)-8 A (D) 8 A2 A ,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则()成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I3 设宀，2，心与%：2，：m均为向量空间V中向量，L (宀匸2,)=L (力：2，：S )， 则下列结论成立的是()(A) S=m; (B) '1,2,.；s可由 5 -2,*线性表出；(C)

16、 九2，是l(，：2，：m)的一个基(D) 冷，2，线性相关时，必有一1，-2，*也相关a右R4设向量空间 W= (a,2a,3a) a R,则W的基为：()(A)(C)1,2, 3,)a , 2a 3a)(B)(a, a ,a ;A=0 0 132 2 0 01OOO则A的特征根是()(D) (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0,0, 3)(A) 1 (四重) ;(B) 1 (二重),2 (二重)(C) 2 (二重)，3 (二重);(D) 1 (二重),2, 3三(15分)设A*是A的伴随矩阵，X满足A*X= A+2X，求矩阵X，其中A=(1-1111-1-111四(15分)把二

17、此型f (,x 2 ,x3)= 2x1 x2 +2x 1,x3-6 x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量：i( 1=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数8 =(2,1,3,1)«2 =(1,2,0,1)a 3=(-H3,0)j =(1,1,1,1)六(15分)求矩阵122、3-11A= 221的特征值与特征向量七证明题(15分)1设A为n阶反对称矩阵，(即AT = -A)，E-A，E+A皆可逆, 2如果A1A “是n阶正定矩阵，k1 -km是正数,证明：k1 A1+ km Am也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和更多

18、精品文档（A）当m>n时，必有行列式=0（B）当m>n时，必有行列式AB=0（C）当n>m时，必有行列式AB=0（D）当n>m时，必有行列式AB=0高等代数（下）试题（5）一 填空题（每小题三分共15分）En O1 A=lEn En丿，En为n阶单位矩阵，则A，=。22 A为n阶矩阵，A=，则（3A）-A =o3正定二次型的特征根都是o4设鼻1,</2,.亠线性无关，W=L （僅12,.n ）,则W的维数为5 齐次线性方程组（丸E - A）x=o的 $是a的特征向量。二单项选择题（每小题三分共15分）1设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则ABy3),A-B =A,

19、B 为 3 阶矩阵，A=( 一，2 2, 3 3)B=( 1=2,，2，3三维列向量，A=18,设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是 A）r=1;（B） r=2;（C） r=m（有限数）；（D）r=1 或：4设'1,：'aB B B2S与 1, 2,m均为向量空间V 中向量，L C' 1<'2,.；n )=L (：1厂2，S ）， 则下列结论成立的是( )(A)S=m;，、ol丄 P”Pc(B)1, 2,S可由 1, 2,.'m线性表出；(C)：'1<'2,aB BB- s是l( 1, 2,m)的一个基(D)：

20、9;1/'2,心线性相关时，必有'1, n一m也相关5设向量空间W= （a,2a,3a） a=R,则W的基为:（A）（ 1,2, 3,）；（C）（ a , 2a 3a）；三 （15分）解矩阵方程XA=B+2X，其中<5 -1 0、-2 3 1（3A=l2 -1 & 丿B= V0四（15分）把二此型(B)(a, a ,a ；(D)(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0,0, 3)0 214 -2 2 2f（ x 1,x2 ,x3）= x1 +2 x2 +4x3 +2 x1x2 +4x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。：1=（2, 0，1, 2）3= (

21、0, 2, 1, 8)-2=(-1, 1, 0, 3)：'4=(5, -1, 2, 1)五（15分） 在P4中，求由向量：i （ I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数的特征值与特征向量七证明题（15分）1设A为n阶反对称矩阵，（即AT = -A）, E-A , E+A皆可逆,2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间， 证明：存在不止一个 V的子空间W，使得V=U二W。学习-好资料高等代数(下)试题(4)一 填空题(每小题三分共15分)1 若 A = A*,则 | A=.2设A为n阶矩阵，秩A=n-1,B非零，n阶矩阵，AB=0

22、,则秩B=。2 2 23 t 满足时二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x 1x3 +6x2x3为正定二次型。(0 a 4 形如A= ra 0丿的矩阵(a*)作为M2(F)的子空间，其维数为 <5 数量矩阵 A=aE 的 特征根 为 。二单项选择题(每小题三分共15分)的1 A,B为n阶矩阵，则下列式子成立的是()/匚、A + BA B(E) =+(F) (A+B)=A +B(G) AB=BA(h) 若 AB=B+E，贝U有 BA=B+E2 2 22 A,B，C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E ( C) E(

23、D) O 矩阵3设U '2,与:1, 2,F均为向量空间 V中向量，L (1,2,n )=L (兀卩2,Ps )，则下列结论成立的是()(A) S=m;(B)"厂2,.-飞可由5 PF线性表出；(C) r厂2,飞是l( 11 '2,- ' m)的一个基(D) r2,线性相关时，必有 f：2，：m也相关+4设W1，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+ (W1 W2) = W1+W2(C) W1+(W1 W2) = W1(D ) W1+(W1 W2) = W2更多精品文档学习-好资料(B) 5 (二重

24、)(D) 1, 5a2 aA=an 1an°求A1 55设A= 5 1，则A的特征根为(A) 1 (二重)(C)-4, 6三( 15 分)四（ 15 分）把二此型2 2f（ x 1 ,x2 ,x3）= x1 -3 x 2-2 x1x2 +2 x1x3-6x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）求由向量山生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数门 =(1,2,1,0)，«2 =(-1,W)2)3 l(2,-1,0,1)，P2=(1,-137)六（10分）求矩阵-122 '3-11A=<22-1丿的特征值与特征向量七 证明题（15分）32-1设A为

25、n阶矩阵，A =2E,证明B=A -2A+2E可逆，并求 B2设A是实对称矩阵，证明：当t充分大后，t E +A是正定矩阵3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且 V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间 Wi Vi，1=1,2,使得V= W1二W2更多精品文档学习-好资料高等代数(下)试题(3)一 填空题(每小题三分共15分)12 21设A为n阶矩阵，A=2(B+E),且A =A,则B =。ai a22ai 2a?2 A=曲 b2 J B=gb2,|A=2，则 2A + B|=。2 23 二次型 f( x1 ,x2,x3)= x1 -2 x1x2 + x2+3 x1x3的矩阵是。4

26、 口是向量空设间V中的一个向量，贝U a的负向量由 唯一确定。5 设是F4的两个线性变换,-=(x1, x2 , x3 , X4),0仲)=(0, x1 , X2 , x3 )则0 2。)=。二单项选择题(每小题三分共15分)2 2 21 A,B , C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E ( C) E(D) O 矩阵2 A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为()(A) A+B 对称；(B) AB 对称；mm r 一r 一(C) A +B 对称；(D) AB+BA 对称。3 复数域C对于数的乘法与加法可以构成()上的向量空间。(A) 复数

27、域C;(B)实数域C;(C)有理数域Q;( D)任意数域F4 数域F上n维向量空间V有( )个基(A)1;(B) n；(C)n! ;(D)无穷多5 数域F上n维向量空间 的维数为r, '1,'2,.；n v,且任意V中向量可由12,.几 线性表出，则下列结论成立的是()(D) r >n(A)r=n；(B) r-n ;(C)r <n；(15 分)(22a '(71-1-1<-121丿V “丿四(15分)更多精品文档学习-好资料把二此型f( x 1,x2 ,x3)= x1 x2 + x 1x3 +x2 x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量

28、二生成的子空间与由向量 生成的子空间 交的基和维数8 =(3,121) «2 =(0,1,0,2)£ =(1,0,1,3) P 2 = (2,3,1,6)六(10分)求矩阵；2 -1 -0、-1 2 -1_0 _1 2A=，7的特征值与特征向量七证明题(15分)1设A为n阶矩阵，A =0,且人"=0, B为n阶可逆矩阵，证明 当AX=XB时，必有 B=02 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A 也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和更多精品文档学习-好资料更多精品文档一 填空题（每小题三分共15分）12 21 设 A 为 n 阶矩阵，

29、A= 2 （B+I）,且 A =A，贝U B =。12 0）3 122 A= 1° 1 1丿,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=。23 二次型 f（x 1 ,x2, x3）= x1 +2x1x2 +2 x2x3 则 f 的秩为。正惯性指标为。Q 0 -1、1 t 34 A= 2 4丿的一个特征值为2,贝U t=。'1aa.a 'a1a.a 5 An=laaa.1丿特征值为二单项选择题（每小题三分共15分）的1设A, B分别是m n, n p矩阵，则BA，是（）（A）m p矩阵（B） p m矩阵（C） n n矩阵（D） n m矩阵2设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则

30、一定有(A)(C)* AAA = A A = I1(A *) 4 = A A1(D) (A*) 4= lA A3 W1, W2都是线性空间V的子空间，则下列关系式不一定成立的是（）（A） W1 W 2 W1 , W1W2W2(B)WW1+W2 ,W2-W1+W2(C)W1+W W1<JW2,(D) W1 - W2W1+W2X4设0 是矩阵A的特征根，并且有A 乂，则° 4是（)特征根(A)-A( B)A/* 1(C)A( D)A -5B为m n矩阵，则方程组BX=0只有零解是B B=O为正定矩阵的()(A)充分条件(B )必要条件(C)充分必要条件(D非充分条件也非必要条件三(

31、15分)设A*是A的伴随矩阵,X满足A*X= A+2X，求矩阵X，其中A=5-11-111-11四( 15 分)把二此型f( x 1 ,x2 ,x3)=x1 x2 +4x 1x3-62x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量二生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数% =(2,5,1,5)«2 =(1,2,2,3)E =(1,2,-1,-2)P 2 =(3,1,-1,1) 九=(-1,01,-1)?J六(10分)求矩阵_4-100、130A= 361的特征值与特征向量七 证明题(15分)1设A,B为n阶矩阵，A2=B2=I,且A+ B =0,证明(A+B)不可逆。

32、2 设A为m n阶实矩阵，B= ' E+ AA ,证明： 当0时，B为 正定矩阵。扎03 A为n阶实反对称矩阵，即A/= - A，证明：若 是矩阵A的特征根,0则-也是矩阵A的特征根学习-好资料高等代数(下)试题(1)一 填空题(每小题三分共15分)1设A是一个n阶方阵，且Am=0,则(E-A) (E+A+A心)=2设A为n阶矩阵，且秩A=r, P,Q为n阶可逆矩阵，则秩(AQ) =秩(APQ) =3 二次型 f(x 1 ,x2, x3)=-6 x1 x2 的矩阵是4设 W1, W2是有限维线性空间V的子空间，W1, W2 ,W1 W2W1 + W2之间的维数公式为。5设 是矩阵A的一

33、个特征根，且式0，则九0是 的一个特征根二 单项选择题(每小题三分共15分)1设A，B，C均为n阶矩阵，则下列论断正确的有()若AB=BA ，则(A) 若 AB=AC，贝U B=C(B) A (B+C) = (B+C) Am nm旳(C) A A =A2 2(D) (A+B) (A-B ) =A -B2 设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，贝U()(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。(B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3设W1，W2都是V的子空间，则不一定 V的子空间的是()(A) W1 W2(B) W1 W2 (

34、C) W1+W2(D) W1+V 4 设 W1="a°0)aEF W2 = q0，b,c)b,cE F ，、W3j(a,b,0)a, F ，则下列结论不成立的是(A) dimW1+W2=F3(B) W2 +W3是直和3(C) W1+W2 + W3= F( D) W1 +W2是直和4设二是向量空间V的一个线性变换，则下列结论成立的是(A) 二一定有特征根，从而有特征向量。(B) 二有特征根，但无有特征向量。(C) 若二有特征根，则一定有特征向量。学习-好资料(D) 二不一定有特征根，但一定有特征向量。三 (15分)q22、2 1 -22 21i* i已知A= F1丿，求A及(

35、A )四( 15 分)把二次型f (x 1 ,x 2 ,x3 )=2 x1 x2 +2 x1 ,x3 -6 x2 x3通过非退化线性替换化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量：i (I=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数% =(2,1,3,1) a 2 =(1,2,0,1)a 3=(1,1,3,0)a4 =(1,1,1,1)六(15分)求矩阵'5-11"602<_3-11 J的特征值与特征向量A=七证明题(15分)1设A,B为n阶矩阵，且ABA=B ，证明 秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2如果A1A m是n阶正定矩阵，k1 -km是正数，证明：k1 A1+

36、km Am也是正定矩阵。3 证明：如果 V=V 1 V2，V1=V11 V12，则 V= V11 V12V2.更多精品文档学习-好资料-30高等代数（下）答案4, dimW 1 + dimW 2 =dim（W 严 W 2 ）+dim（W 1 W2）5 A1, C 2, A 3, A 4, B5, C（15 分）广12已知A= 21<2 -2122100、122100、21-2010T0-3-6-210<2-21000-92-2-2，求A及（A*）1解：（AE） rA四（ 15 分）把二次型29-221-2-2 ，A=27（A ）12721-22-21丿f（X 1,x 2 ,X 3

37、）= 2x1X2+2 X 1 ,x 3-6X 2 X 3通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f （X 1,x 2 ,x 3 ）的矩阵A=01110-31-301000102：1-211<01-20-3-30001001更多精品文档学习-好资料更多精品文档00010e02-22100、200、-20-200T00-6111-101-101<001丿2 2 2f(X 1，X 2 ,X3 )=2w 1 -2w 2 -6w 3r X1=W1w2-W3X21=W1-2X3W3五（10分）在P4中，求由向量i （|=1,2,3,4 ）生成的子空间的基与维数。：3 = (_，11 -3,0)

38、，:-4）的一组基>1=(2,131)，：(1,2,0,1)1-11 )广21-11 '12210000T30-3130-310111丿<-1020广010 0、000 0T003 1C102 °解:：4 =(1,1,1,1)是 L( >1>2' 3维数为3六（15分）51A=60L31丸51-1-6人_2=31丸一1求矩阵121解:3('一2) =0的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 = 2= ' 3=2|3Xr X2 _ X3 = 0解方程组6捲+2x2 2x3 =03分3Xi x2 X3 = 0'-A 的特征

39、向量为 ki (1,3, 0 ) + k 2(0, 1, 1 )七 证明题(15分)1设A,B为n阶矩阵，且ABA=B亠，证明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n证明：因为 ABA=B，所以ABAB=E（E-AB）（ E+AB）=0秩(E-AB)+ 秩(E+AB) _=n2分秩(E-AB)+ 秩(E+AB) _ 秩(E-AB+ E+AB)=n2分所以，秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n1分2如果A1 -A m是n阶正定矩阵，k.k m是正数，证明：k1 A 1 + k m A m也是正定矩阵。证明：A1 -A m是n阶正定矩阵，所以XA 1X - 0XA mX 02分X(k 1 A1+ + k

40、m Am)X 02分所以，k 1 A 1 + k m A m也是正定矩阵。1分3 证明：如果 V=V 1 V2，V1=V 11 V12，则 V= V 11 V 12 V2 . 证明：显然有 V= V 11 V12 +V2 . 设 112 +2=0因为(1112)+2=0 , V=V 1 V 2所以11 12=0，:- 2 =0有因为，VV V12，所以-：“V 12 =0从而，V= V 11 V12 V2 .高等代数（下）答案 （2）一 I2 , 2 3,3 2 4, 6二 1 B, 2, A 3, C 4, D 5,三（15分）设A*是A的伴随矩阵，X满足1-1、-111A=-11丿1 01

41、、11 10解：A.A =2<0 1bZ101、1110*A=21bX=A *(AA-2E)1q 10 y0 1X= 4J 01丿5,' 1=1- (n-1) a, 2=.= n =i-aCA X= A J+2X，求矩阵X，其中4分3分3分5分四（ 15 分）把二此型f（ x 1,x 2 ,x 3）=x 1 x 2 +4x 1 x 3-6 2 x3通过非退化线性替换化成平方和。解A=012210<0120-30102-30001学习-好资料0f1014011212000246-41110P=l12120-41丿，X=PY ,更多精品文档1 22 ； % 2f( x 1 ,x

42、 2 ,x3)=y 1 - 4+24y 3五（15分）求由向量生成的子空间与由向量r生成的子空间 交的基和维数% =(2,5,1,5)«2 =(1,2,2,3)氏=(1,2,-1,-2)駡=(3,1,1,1)氏=(-1,01,-1),解：=x 1 1 +x2 2= -y 1 _1-y 2 '2-y 3 '34 分解方组组的秩为46分所以 dim(W 1 W2)=1，2 分(53，119，-19，-134)是 W1 W2 的一组基。3 分六（10分）求矩阵-10i-41的特征值与特征向量A= <3解: ： : 410-1 -3-6矩阵的特征值与特征向量/-12=1

43、/'3=-2学习-好资料解方程组5% +10x2 =0-%2x2 二 03捲 - 6x2= 02% +10x2 =0一 _5x2 =03捲6x2 3x3 =0更多精品文档TT得 A 的征向量为 k1(-2, 1,0 ) +k2(0, 0, 1 )2 分七 证明题（15分）设A,B为n阶矩阵,2 2A =B =1 且+ B =0，证明（A+B ）不可逆。证明:AE+EB = ABB + AAB = A B A + B(lA+B)2=0 所以 IA B=-1, |A + B= -A + B所以（A+B）=0，（ A+B ）不可逆。2设A为m n阶实矩阵,I./B= ' E+ A A

44、 ,证明：当0时，B为正定矩阵证明:a/XBX=X ( ' E+ A A)XX EX _ 0 X A /AX - 0XBX=X ( E+ A /A)X ' 0所以，当'0时，B为正定矩阵/ ' 0 ' 03 A为n阶实反对称矩阵，即A = - A，证明：若是矩阵A的特征根，则- 也是矩阵A的特征根 证明:(-1)-0 ' 0若 是矩阵A的特征根，则- 也是矩阵A的特征根1分学习-好资料高等代数（下）答案 更多精品文档1 , E 2,123,-132-13)5,(0, 0, X1 , X2 )二 1,B, 2,A 3,A,4,B,5,A(2237、

45、1-10-1-1214IX=< J求X223100、1-10010-121001:（AE）>J(15 分)10010解-2-3-3-1-3-2-3z-3-1-3-32-3-1<324)7re013AX= A-1.4丿=（15 分）把二此型f（ X 1 ,X 2 ,X 3）=X 1X 2 + X 1X 3+x 2X 3通过非退化线性替换化成平方和。X1 二 y1 yX3 = y3f( X 1 ,x 2 ,x 3)=( y1 y3) 2 -y 2 -y学习-好资料2 2 2f( x 1 ,x 2 ,x 3)= z 1 -z 2 -z34 分非退化线性替换为|x 1 =乙一 z2

46、'z3 Xi 二乙 Z2 Z3X3 二Z3'i生成的子空间 交的基和维数五（15分）求由向量'i生成的子空间与由向量8 =(3,1,2,1)a 2 =(0,102)A =(1,0,1,3) 駡=(2,-3,1,6)4分4分2分3分2分解：=X 1 ： 1 +X 2 2= -y 1 1 -y 2 '2解方组组的秩为3所以 dim(W 1 W2 )=1，_1+ '2 = J -22 w1 W2，：1+ ：2 是W1 W2的一组基。六(10 分)求矩阵2-10、-12-1A=3-12的特征值与特征向量k -2101k-21解:01九-2=(扎2）（丸一2 - V2）（丸一2 + V2） =05分nnfnf-矩阵的特征值 、=2，2=2+ 2， ' 3 =2- 2，解方程组得特征向量为叽（1，0，-1），° 2=（ 1,-血,1） " 3=（ 1，逅，1）dlCiCLA的特征向量为k 1 +k2 ' 2+k 3 ' 3 七证明题（15分）m1设A为n阶矩阵，