ch电路方程的矩阵形式PPT课件

1、1学时：学时： 4circuitCTGU第1页/共43页215.1 15.1 割集割集15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.315.3* * 矩阵矩阵A A、B B、Q Q之间的关系之间的关系15.4 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式15.5 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式15.6 15.6 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式15.715.7* * 列表法列表法15.8 15.8 状态方程状态方程第2页/共43页3q 理解关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵概念；q掌握结点电压方程的矩阵形式；q了解回路

2、电流方程和割集电压方程的矩阵形式； q了解状态变量、状态方程的概念， 会建立简单状态方程。第3页/共43页41 1 割集割集1. 线图：若将电路的每一元件用一线段来代替，线段的端点称为节点，这样就得到由线段与节点组成的图形，这种图形称为网络拓朴图或线图，简称为图。2. 有向图、无向图abcdef若对图中的每条支路规定方向，所得到的图称为有向图；反之称为无向图。3. 平面图、非平面图一个图画在平面上，各支路除了所连接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图，反之称为非平面图。一. .有关图的基本定义与概念第4页/共43页54. 子图：若图G1的每一个节点和支路都是图G的节点与支路，则称G1为G的子图

3、。5. 树、树支、连支：不包含回路但包含图的所有节点的连通的子图称为树。组成树的支路称为树支，其余支路称为连支。一个有n个节点、b条支路的连通图，将有(n-1)条树支，(b-n+1)条连支。6. 回路与基本回路由支路和节点构成的闭合路径，称为回路。只含一个连支的回路称为基本回路或单连支回路。abcdef第5页/共43页67. 割集8. 独立割集一个割集是连通图的一个支路集合；这些支路全部移去时连通图分为两部分；仅留一条支路时图仍是连通的。由于KCL适用于任何一个闭合面，因此属于同一割集的所有支路电流应满足KCL。对于一个连通图，可列出与割集数相等的KCL方程，但并非都是独立的。对应于一组独立的

4、KCL方程的割集称为独立割集。abcdef下图中， adf， aeb， bcf，cde，bdef，aecf，abcd等7种割集， adef、 abcde不是割集。第6页/共43页79. 基本割集只含一个树支的割集称为基本割集，也称为单树支割集。对于一个具有n个结点b条支路的连通图，其树支数为(n-1)，因此将有(n-1)个单树支割集，即(n-1)个基本割集。例如：选定树(cde) 连支(abf) 三个基本割集：adf，aeb，bcf 为一个基本割集组，可以作为一组独立割集。abcdef基本割集组是独立割集组，对于n个结点的连通图，独立割集数为(n-1)。但独立割集不一定是单树支割集。第7页/共

5、43页810. 割集的方向移取一个割集的所有支路时，连通图分为两部分，从其中一部分指向另一部分的方向。每一个割集只有两个可能的方向。abcdef第8页/共43页92 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵对任一具有n个结点、b条支路的有向图，节点与支路的关联性质可用一个(n b)阶的矩阵Aa表示。即一. .关联矩阵A AAa=aijn b节点数支路数它的行对应于节点，列对应于支路。aijaij = 1 有向支路 j与节点 i关联且背离 i 节点aij= -1 有向支路 j与节点 i关联且指向 i 节点aij =0 j 支路与i节点无关1.1.关联矩阵AaAa的含义及列写第

6、9页/共43页10645321Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa的每一列对应于一条支路。由于一条支路连接于两个节点，若离开一个节点，则必须指向另一个节点，因此每一列中只有两个非零元素，即+1和-1。把所有行的元素相加就得一行全为零的元素，所以Aa的行不是彼此独立的，即Aa中的任一行都能从其他(n-1)行导出。因此，若由矩阵Aa中划出任一行，剩下(n-1) b阶矩阵称为降阶关联矩阵，简称为关联矩阵，用A表示。被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。 2.2.降阶关联矩阵A A第

7、10页/共43页11645321Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设为参考节点-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称A为降阶关联矩阵 (n-1) b ，表征独立节点与支路的关联性质第11页/共43页12设:645321-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2

8、 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 654321uuuuuuu支路电压 654321iiiiiii支路电流 321nnnnuuuu节点电压3. 3. 矩阵形式的KCLKCL第12页/共43页13故有Ai =0632521641 iiiiiiiii-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321A i = 0-矩阵形式的KCL第13页/共43页14 312133221nnnnnnnnnuuuuuuuuu uuuuuu654321 321101010001100110011nnnuuu6453

9、214. 4. 支路电压与结点电压的关系( (矩阵形式的KVL)KVL)第14页/共43页15二. 基本回路矩阵B2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致-1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反0 支路j 不在回路i中bij=1 1约定： 1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B = b i j l b基本回路数支路数1.1.回路矩阵B B的含义及列写第15页/共43页161 1选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B =4 5 6 1 2 3 支回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1

10、0 1 0= Bt 1l 0 1 -1 0 0 1BtBl231123B =1 2 3 4 5 6 支回1 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 -1 1 0 0 1 0 1 -1BlBt= 1l Bt 第16页/共43页171 1设 2312.2.回路矩阵形式的KVLKVL123B =4 5 6 1 2 3 支回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1BtBl 654321uuuuuuu支路电压u4u5u6u1u2u3 654321iiiiiii支路电流i4i5i6i1i2i3第17页/共43页181 12312.2.回路矩阵形式的KVLKVLB u =1

11、 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1B =1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1u4u5u6u1u2u3=回路1中的 u 回路2中的 u 回路3中的 u故有：B u =0-KVL-KVL的回路矩阵形式第18页/共43页191 12313. 3. 支路电流与独立回路电流的关系( (回路矩阵形式的KCL)KCL)i =BTil1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1B =i4i5i6i1i2i3由于矩阵B B的每一列，也就是B BT T的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以有：

12、1 1 0 -1 -1 1 0 1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1=il1il2il3=il1+il2-il1-il2 +il3il2 il3il1il2il3第19页/共43页20三. 基本割集矩阵Q约定 (1) 割集方向与树支方向相同。 (2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。qij=1 j支路在割集i中且与割集i方向一致-1 j支路在割集i中且与割集i方向相反 0 j 支路不在割集i中 1 1用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q = q i j n-1 b基本割集数支路数1. 1. 基本割集矩阵的含义与列写第20页/共43页21Q=4 5 6 1 2 3 支割集C1

13、C2C31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1图示连通图的基本割集为：1 1 0 0 1 0 -1 1QlQtC1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6基本割集的方向与与树支方向一致.基本割集矩阵为：= 1l Ql第21页/共43页22设 支路电流 Qi=0矩阵形式的KCL。1 1Qi =2. 2. 割集矩阵形式的KCLKCLQ=1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1 654321iiiiiiii4i5i6i1i2i31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1i4i5i6i1i2i3=i4-

14、i1 i2i5+i1 +i2 i3i6-i2 +i3=0第22页/共43页231 1树支电压用列向量表示：QTut=u3. 3. 支路电压与树支电压的关系( (割集矩阵形式的KVL)KVL)-矩阵形式的KVL。u4u5u6ut=由于Q的每一列，也就是QT的每一行，表示一条支路与割集关联情况，则矩阵相乘的规则可得：由于通常选单树支割集(基本割集)为独立割集，因此树支电压又 可视为割集电压，故ut也可称为割集电压列向量。第23页/共43页24 3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuu1 1QTut=u3. 3. 支路电压与树支

15、电压的关系( (割集矩阵形式的KVL)KVL)矩阵形式的KVL：对图示的有向图，有第24页/共43页25QQi=0QTut=u小结：ABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=0第25页/共43页261.1.方程的两种约束1) 1) 支路约束-支路方程2) 2) 支路间约束-支路间KCL、KVL约束（用回路矩阵表示）4 4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式第26页/共43页272.2.支路模式由于支路的复杂多样性，为了列矩阵方程方便，需要定义支路的模式。设标准支路为： kUSkISkUkIekI kZ条支路电压条支路电压第第条支路电流条支路电流第第kUkIkk独立电流源独

16、立电流源独立电压源独立电压源SkSkIU规定每个支路必须有一个阻抗k支路抽象为：kkkZY1 第27页/共43页283.3.矩阵形式的支路约束k支路电压、电流关系：SkkSkkkUIIZU )(设 T21bIIII Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb SkkSkkkIUUYI )( T21bUUUU T21SbSSSUUUU T21SbSSSIIII Z=Y -1 kUSkISkUkIekI kZ第28页/共43页29即对整个电路有： bUUU21 bZZZ0021 SbbSSIIIIII2211 SbSSUUU21Z为支路的阻抗矩阵，是一个对角阵。 kUSkISkUk

17、IekI kZ第29页/共43页304.4.矩阵形式的回路电流方程 kUSkISkUkIekI kZ0BBZBZB SSUIIUSSlIUIBZBBZB T zLZL-回路阻抗矩阵，是一个l 阶方阵，主对角元素为自阻抗，非主对角为互阻抗。设回路电流为未知量支路方程：KVL：KCL：将支路方程代入KVL：将KCL代入上式得：回路方程矩阵形式第30页/共43页311.1.支路约束 kUSkISkUkIekI kY SbSkSSbbSkkSbkbkIIIUUUUUUYYYIII1111100000000000000000000SkkSkkkIUUYI )(5 5 节点电压方程的矩阵形式节点电压方程的

18、矩阵形式k支路电压、电流关系：SkkSkkkUIIZU )(第31页/共43页32支路方程的矩阵方程 SbSkSSbbSkkSbkbkIIIUUUUUUYYYIII1111100000000000000000000Y称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。第32页/共43页332.2.矩阵形式的节点电压方程设节点电压为未知量支路方程： kUSkISkUkIekI kY由KCL A i =0由KVL u=ATun0AAAA SSIUYUYI0AAAAT SSnIUYUY节点导纳阵TnYYAA 令令则由此求得支路电压和电流nUUnUTAISSIUYUYI 节点电压方程矩阵形式第33页/共43页34例5V

19、5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A1 12 23 34 45 56 61. 画有向图2. 110100001110100011A3. 110.220.52diagY kUSkISkUkIekI kY123456第34页/共43页355V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A1 12 23 34 45 56 64. T000005 SU5. T031000 SI6. 311042127 . 25 . 015 . 05 . 3321nnnUUU得 kUSISkUkIekI kY第35页/共43页36 k

20、USkISkUkIekI kY6 6 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式支路方程的矩阵方程取割集（树支）电压为未知量0QQYQYQ SSIUUISStUIUQYQQYQ T Yt割集导纳阵KCLKVL割集方程矩阵形式第36页/共43页378 8 状态方程状态方程1.1.状态：在电路理论中，状态是指在某给定时刻电路必须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的状态。2.2.状态变量：是电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成该时刻的状态。例如，动态电路中电容电压u uC C和电感电流i iL L就是电路的状态变量。3.3.状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程。一一. .基本概念基本概念第37页/共43页38以电容电压u uC C和电感电流i iL L作为变量列上述电路的方程，则：二二.RLC.RLC串联电路的状态方程串联电路的状态方程LCidtduC CLSLuRiudtdiL 010 LCiCdtduSLCLuLiLRuLdtdi11 用矩阵形式表示： SLCLCuLiuLRLCdtdidtdu 10110经调整有：+_SRL iLuS第38页/共43页39若令dtdix,dtdux,ix,uxLCLC 2121 SLCLCuLiuLRLCdtdidtdu 10110则