平面向量的实际背景及基本概念PPT学习教案

1、会计学1平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念问题1:一千吨的大米和一千吨的铁谁更重?问题提出速度是既有大小又有方向的量.问题2:老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由A向东南方向每秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠?质量是只有大小没有方向的量.第1页/共31页OBA湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.1.在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？1.向量的物理背景与概念2.物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力, 被拉长或压缩的弹簧的弹力力是常见的物理量，也是既有大小又有方向的量.GFF第2页/共31页（

2、1）向量与数量 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小. 练习 下列物理量不是向量的是（ ） 质量 速度 位移 力 加速度 路程 密度 功辨析：温度含零上和零下温度，所以温度是向量.（ ） 直角坐标平面内的x轴，y轴是向量. （ ）第3页/共31页一个实数，可用数轴上的点表示；一个二次函数，可用一条抛物线表示；一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线(有向线段)表示数学中有许多量都可以用几何方式

3、表示.2.向量的几何表示由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-10123-1（1）数量的表示而且不同的点表示不同的数量.第4页/共31页有向线段定义在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.A（起点）B（终点）如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 .A Buuu r线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 .A Buuu r|A Buuu r思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？箭头所指的方向表示有向线段的方向.有向线段的三个要素：起点、方向、长度.有向线段使向量的“方向”得到

4、了表示，而线段的长度可表示向量的大小，这样我们就可用有向线段表示向量.第5页/共31页（2）向量的几何表示（3）向量的表示方法：AB一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如,A B C Duuu r uuu rK若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，（书写时用注意用 表示），如上图.,abcrrrLar用有向线段表示.画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.在建立了坐标系后，还可以用坐标表示向量（以后将学到）.第6页/共31页向量 的大小，就是向量 的长度（或

5、模）,记作 ，A Buuu rA Buuu r|A Buuu r| |ar或者记作 .（4）向量的模思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？零向量：长度为0的向量，记作 .单位向量：长度等于1个单位的向量.0说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向. 故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.00a|a|（）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.ba|ba有意义没有意义第7页/共31页比例 1：800000解：ACAB.AB表示A地至B地的位移；AC表示A地至C地的位移.例1 如图，试根据图中比例尺以及三地的位置，在图中分别

6、用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出实际距离（精确到1km）.例题分析第8页/共31页第9页/共31页练习 已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地.(1)画图表示向量 ；(2)求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.,A Buuu r,B Cuuu rC Duuu r2BA东北CD第10页/共31页模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种

7、可能情形？ a,b 3.相等向量与共线向量 第11页/共31页（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量 与 相等，记作 . abab（1）两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别.ABCDABCD注意：（2）零向量与零向量相等；（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的.因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点的选取无关；第12页/共31页ABCDABCDABCD. 有向线段和是不同的；而向量和是同一个向量即向量和有向线段是两个不同的概念.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但不能

8、说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系.第13页/共31页DCBABA思考2：如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？ A Buuu rC Duuu r（2）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量 相反的向量记作 .aaaa零向量的相反向量仍是零向量.aa )（规定:第14页/共31页辨析：1)如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量是平行向量.规定：零向量与任一向量平行（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量. 向量 与 平行，记作 a / bab2)平行向量所在的直线一定互相平行.0,/ a a 即（ 任意)（平行或者重合

9、）第15页/共31页ABCOlabc思考3：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设 是一组平行向量，任作一条与向量 所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作 ，那么点A、B、C的位置关系如何？a,b,c aOAa, OBb, OCc任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.（即二者是同一个概念！）第16页/共31页不是. 向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.思考4：如果非零向量 与 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？A Buuu rC Duuu r平行（共线）向量与平行

10、线段、共线线段的区别：平行向量可以在同一直线上，但两平行线肯定不在同一直线上；共线向量可以相互平行，在同一直线上的线段肯定不相互平行.第17页/共31页思考5：若向量 与 平行（或共线），则向量 与 相等或相反吗？反之，若向量 与 相等或相反，则向量 与 平行（或共线）吗？abababab向量相等或相反 向量平行注意：相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.第18页/共31页结论：平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.思考7：对于向量 ，若 ， ，那么 吗？a,b,c a / bb/ ca / c0b 当时,成

11、立.思考6：对于向量 ，若 ， ，那么 吗？ a,b,c abbcac注意：规定零向量与任一向量平行（共线），故在向量问题中， 注意考虑零向量的特殊性！成立.小结第19页/共31页不一定不一定不一定零向量零向量平行向量长度相等且方向相同第20页/共31页例3 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与 相等的向量.O AC BD O=uuu ruuu ruuu rO BD CEO=uuu ruuu ruuu r,O A O Buuu r uuu r11个变式一：与向量 长度相等的向量有多少个？O Auuu r变式二：是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量？O Auuu rFEuuu

12、rBAFEDCO变式三：与向量 共线的向量有哪些？O Auuu r， ，C B D O FEuuu ruuu ruuu r例题分析第21页/共31页练习 如图，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点,写出：ABCDEA Buuu r与向量 模相等的向量：与向量 共线的向量：与向量 相等的向量：与向量 相等的向量：A Buuu rA Buuu rECuuu r第22页/共31页AB相等的有7个长度相等的有15个练习 在45排列方格中有一个向量 以图中的格点为起点和终点，其中与 相等的向量有多少个？与 长度相等的共线向量有多少个？A Buuu rA Buuu rA

13、Buuu r第23页/共31页练习 如图，在ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知 求证： . ,A DD B=uuu ruuu r,D FB E=uuu ruuu rD EA F=uuu ruuu rABCDEF第24页/共31页例4 判断下列结论是否正确. （5）任一向量与它的相反向量不相等 （2）不相等的向量一定不平行 （1）单位向量都相等 （3）若非零向量 ,则 /ABCD /ABCD （4）四边形ABCD中 ,四边形ABCD是平行四边形 ABDC 第25页/共31页下面几个命题： （2）若|a|=0，则a = 0（5）若a = b，b = c，则a = c. A0B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是( )B（1）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；（4）若 ,则四边形ABCD是平行四边形； ABDC （6）若a / b，b / c，则a / c.（3）若|a|=|b|，则a = b 或a = -b ；第26页/共31页例5 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(2)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；(1)把平行于直线L的所有单位向量的起点平移到L上的点P;解: (1)是直线L上与点P的距离为1的两个点；(2)是以P点为圆心，以1个单位长为半径