2020年高考文数(人教版)教学案第41讲不等关系与不等式的性质_第1页
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文档简介

1、1. 不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2. 一元二次不等式(1) 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2) 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3) 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.3. 二元一次不等式组与简单线性规划问题(1) 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.(2) 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.(3) 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决._ a | b4.基本不等式:.abw0, b0)(1) 了解基本

2、不等式的证明过程.(2) 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.5. 合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发 现中的作用.(2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的“三段论”,并能运用它们进行一些简单 的推理.(3) 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异.6. 直接证明与间接证明(1) 了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.(2) 了解间接证明的一种基本方法一一反证法;了解反证法的思考过程和特点.忌|试题分布“1 . 20142018 年全国卷I的考查情况年份考查内容分值2014第 11

3、 题 线性规划,由最小值求参数的值5 分第 14 题演绎推理5 分2015第 15 题 线性规划,求最大值5 分2016第 16 题 线性规划的实际应用5 分2017第 7 题线性规划,求最大值5 分2018第 14 题 线性规划,求最大值5 分2.20142018 年全国卷H的考查情况第七单元不等式与推理证明直接考查不等式的试题,主要是线性规划,2014 年至 2018 年全国卷I和卷H考查线性规划的试题每年 1 道,占 5 分主要考查线性目标函数的最值或范围,且线性目标函数一般 是具体系数的函数,只有2014 年全国卷I目标函数中含有一个参数,由最值确定其参数值难度一般是中等难度,2016

4、 年全国卷I考查了线性规划的实际应用问题.直接考查推理与证明的试题只有2014 年全国卷I的第 14 题和 2016 年全国卷H的第 16题及 2017 年全国卷H的第 9 题,都是考查演绎推理,难度中等.$.|备考建_1 不等式与高中数学其他内容联系密切,在数学各分支中都有很广泛的应用从近几 年全国全国卷高考试题来看,纯粹考查不等式这一章的试题每年的分值占全卷的比例并不 高,但从整套试卷来看,却处处分布着不等式的知识、方法和技巧因此,在不等式的复习 过程中,要重视不等式的“工具”作用,提高应用意识,会用不等式的知识和方法解决有关 问题.在不等式这一部分的复习过程中,要注意以下问题:(1) 复

5、习不等式的性质时,注意培养严格的逻辑思维,分清一类性质是条件与结论的等 价关系,另一类性质仅是由条件推导出结论.(2) 对均值不等式常有求最值或证明不等式中结合其他知识进行考查,注意解题过程中 对代数式进行适当的变形及化简,以达到利用均值不等式的三个条件即“一正、二定、三相 等”.(3) 不等式的解法以一元二次不等式的解法作为重点, 要求掌握含参数一元二次不等式 或可化为含参数的二次不等式的求解问题,同时注意三个二次间的联系.(4) 线性规划是高考的热点内容,在高考中频繁出现,对线性规划的考查仍以线性目标 函数的最值为重点,还可能以考查线性规划思想方法的形式出现,适当注意利用代数式的几 何意义

6、(距离、斜率、面积等)求最值及线性规划的实际应用.(5) 应用问题与不等式结合考查,需要根据题意建立不等式,设法求解或利用均值不等 式或函数的单调性求最值.(6) 重视不等式的应用, 注意不等式作为“工具性”知识在其他分支的应用, 如求函数 定义域、 值域、单调性及不等式恒成立或有解等问题.2 在高考中,直接考查推理与证明的试题不多,但推理与证明贯穿于高中数学各章 节,因此,本部分内容在高考中单独命题的可能性不大,仍然是以其他知识为载体,作为一 种方法和思路考查有关内容在备考时要注意:(1) 高考对推理的考查以考查演绎推理为主,主要是在其他章节中结合具体的知识进行 考查,如在立体几何中结合位置

7、关系的证明,在导数中结合单调性的证明等进行考查归 纳、类比不仅是新课标创新要求的体现,同时也是复习的有效方法,如等差数列与等比数列 之间的类比,圆锥曲线之间的类比等.(2) 在直接证明和间接证明中,其主要有综合法、分析法、反证法等在应用这些证明 方法时,要注意过程的严谨、格式的规范综合法是高考中考查最多的一种证明方法,它是从已知条件推导出结论,一般按照演绎推理进行,分析法是由结论追溯到条件的证明方 法反证法是从结年份考查内容分值2014第 9 题线性规划,求最大值5 分2015第 14 题 线性规则,求最大值5 分2016第 14 题 线性规则,求最小值 第 16 题演绎推理5 分5 分201

8、7第 7 题线性规则,求最小值 第 9 题演绎推理5 分5 分2018第 14 题 线性规划,求最大值5 分I试题分析论的反面成立出发,推出矛盾的一种间接证明方法,单独要求用反证法证 明或举反例的题目不会很多,但是反证法作为一种数学思维模式在解决数学问题中却常常见 到第 41 讲不等关系与不等式的性质|复习目_ .1了解不等式的概念,理解不等式的性质.2.会比较两个代数式的大小.3 会利用不等式的性质解决有关问题._ .知识梳理1.不等式的定义用不等号“ 、0? ab ; a b0? a0, b0,则 1? ab ; -= 1? a = b ; -1? ab? bb, bc? ac ;3可加性

9、:ab? a + cb+ c ;4不等式加法:ab, cd? a + cb + d ;5可乘性:ab, c0? acbc ; ab, c0? acb0, cd0acbd ;7不等式乘方:ab0?anbn(n N , n1);8不等式开方:ab0?需*b (n N , n1).1 .倒数性质(1)ab, ab 玮;1 1a0b -b0, m0,则(1)真分数性质:b b+ m b b m(b m0);a a+ m a a m(2)假分数性质:a a+ m a a m;.0) b b+ m b b m热身练习1 某地规定本地最低生活保障金不低于300 元,若最低保障金用W 表示,则上述关系可以表示

10、为(B)A W300 B W 300CWg(x) B f(x)= g(x)C f(x)0,所以 f(x)g(x) 3“ a + cb + d” 是ab 且 cd”的(A)A 必要而不充分条件B 充分而不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件GE) ab 且 cd? a+ cb + d.当取 a= 1, b = 2, c= 5, d = 3 时,满足 a+ cb + d,但不能推出 ab 且 cd,故选 A.4 若ab0,cd0 ,则一定有(D)Aa bA.:c d1 1由 cd0, cd丄0,又 ab0,d c所以a -b,所以d c d c5 (2017 北京卷)能够说明“设 a,

11、 b, c 是任意实数.若 a bc,贝 U a + bc”是假命题的一组整数 a, b, c 的值依次为 一 1, 2, 3(答案不唯一).B.ab cd只要取一组满足条件的整数即可如 1, 2, 3; 3, 4, 6; 4,7, 10 等高频_芦厂比较大小0E3WB2222设 xy0,试比较(x + y)(x y)与(x - y )(x+ y)的大小.2 2 2 2因为(x + y )(x y) (x y )(x + y)2 2 2=(x y)x + y (x+ y) = 2xy(x y),2922因为 xy0, x y0.所以(x + y )(x y)(x y )(x +1. (2017

12、 全国卷I理)设 x, y, z 为正数,且 2x= 3y= 5z,则(D)A. 2x3y5z B . 5z2x3yC. 3y5z2x D. 3y2x 1.则x=log2t=琵,同理,y=髓,z=器.所以 2x- 3y=翥-粘監严lg t lg 9 lg 8lg 2X|g 3 ,所以“ 眇又因为 2x- 5z=爲-幣普焉严y).比较大小的方法有作差法和作商法.作差T变形T判断符号T结论.其中关键是变形,变形的方法有分解因式、配方、通分等.作商法:作商T变形T判断与 1 的大小关系T结论.Ig t lg 25lg 32lg 2xlg 5所以 3yv2xv5z.*判断或证明大小关系下列命题:1若

13、ab,则 a2b2;已知 a, b,m 都是正数,并且 aa;b + m b若 ab,则 a3b3.其中,真命题的序号是_堪 3 对于,令 a = 1, b= 2 有 ab,但 a2b2不成立.故为假命题.1 1 1对于,因为 cdo, cd0,所以 1c,a b又 ab0,所以 dc0,a+ mamfb a 对于,因为石b =市a+ ma所以葛江,即为真命题.3对于,因为 y=x 在(8,+g)上是增函数,所以当 ab 时,a3b3.所以为真命题.(1)要判断一个不等式不成立,只需举出一个反例即可而要判断一个不等式成立,一般需要证明.y 0,所以 2xv5z,若 ab0,cdo,则 d: c

14、;所以(2)判断大小关系,常用的方法有:1利用不等式的性质;2利用比较法(如作差法或作商法);3利用函数的单调性或借助函数的图象.2.设 ab1, cb: aCloga(b c).其中正确结论的序号是.(方法一:利用不等式性质),1e1 1由ab1, ab0,得 ba,c c又 c,故正确.(方法二:利用作差比较法)因为|c= c:b a 0,所以:故正确.2(方法一:利用作商比较法)因为 ab1,所以a1, c0,c所以 a=(a)ci,所以 acbc.所以正确.(方法二:利用函数的性质)cc c由幕函数 y=x (cb1 时,a b1,又 cb c,由对数函数的性质得:logb(a c)l

15、oga(a c)loga(b c),故正确.兰厂不等式性质的应用故正确.y 的范围已经给出,若能将 x + 2y 用 2x+ y, x y 表示,则可利用 2x+ y 与 x y 的范围求出 x+ 2y 的范围,利用不等式的性质进行求解,可化繁为简,迅速得到结果.因为 x+ 2y= (2x+ y) + y x,而 3w2x+yw9,9wyxw 6,所以一 6wx+ 2yw3,2x+ y= 3,当$即 x= 4, y= 5 时取到左边等号,yx = 9,所以 z 的最小值为一 6.dS 6(1)不等式的性质中,同向不等式可以作加法运算,正的同向不等式可以作乘法运算但如果涉及等号,能否取到最值,则

16、要同时满足各个取等号的条件,这一点要特别注意.本题中,2x+ y 与 x y 中的 x, y 不是独立的,而是相互制约的,因此,可把2x+ y与 x y 看作一个整体,把 x+ 2y 用 2x+ y, x y 表示,再求出 x+ 2y 的取值范围.即先建 立待求整体与已知范围的整体的关系,最后通过“一次性”使用不等式的运算,求得整体的范围.(2)将 x+ 2y 用 2x+ y, x y 表示时,若不能直接观察得到,可采用待定系数法,设x +若变量 x, y 满足约束条件分析.3w2x+yw9,6wxyw9,则 z= x+ 2y 的最小值为_本题般采用线性规划知识进行求解,也可用不等式的性质求解

17、因为2x+ y, x2y= m(2x+ y) + n(x y),再比较得到 m= 1, n = 1.变式採究2xyw0,3. (2016 北京卷)若 x, y 满足 x+ y 0,A. 0 B. 3C. 4 D. 514142x+y=3(2xy)+(x+y)w3X0+3=4.2x y= 0,当且仅当x+ y= 3,x=1,即时取等号,满足 x 0,y=2所以(2x+ y)max= 4. |堤0犁 _,1.比较数(式)的大小,常采用:(1)作差法,具体步骤:作差T变形T判断(与 0 比较)7结论;(2)作商法,具体步骤:作商T变形T判断(与 1 比较)T结论,必须注意分母的符旦号.题,明,果.2运用不等式的基本性质解决不等式问题,要注意不等式成立的条件

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