数学广角——鸡兔同笼

1、R四年级下册四年级下册数学广角数学广角鸡兔同笼鸡兔同笼鸡兔同笼鸡兔同笼 大约一千五百年前，我国古代数学名著大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算经孙子算经中记载了一道数学趣题中记载了一道数学趣题“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题。问题。今有雉兔同笼，上有三十五头，今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？下有九十四足，问雉兔各几何？ （一）收集信息，明确条件问题（一）收集信息，明确条件问题情境导入情境导入笼子里有若干只鸡和兔。笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有从上面数，有35个头，个头，从下面数，有从下面数，有94只脚。只脚。鸡和兔各有几只？鸡和兔各有几只？问题：说一说这道题的意思是什么

2、。问题：说一说这道题的意思是什么。 （二）理解题意（二）理解题意问题：这道题怎么解决呢？问题：这道题怎么解决呢？画图法画图法枚举法枚举法列表法列表法（一）明确方法（一）明确方法探索新知探索新知（二）独立思考，尝试探究（二）独立思考，尝试探究1. 在解决这个问题时有什么感受呢？在解决这个问题时有什么感受呢？2. 关于要解决的问题数据太大，你有怎样的思考呢？关于要解决的问题数据太大，你有怎样的思考呢？数据太大，画图解决耗费时间；数据太大，画图解决耗费时间；用枚举法解决可以，但感觉麻烦。用枚举法解决可以，但感觉麻烦。 把数据变小一些（化繁为简），用画图或枚举的把数据变小一些（化繁为简），用画图或枚举

3、的方法解决就比较容易了。在解决问题的过程中我们可方法解决就比较容易了。在解决问题的过程中我们可以发现解决这个问题的方法或规律，然后用发现的方以发现解决这个问题的方法或规律，然后用发现的方法或规律来解决古人的法或规律来解决古人的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题。问题。（三）交流研讨，创新方法（三）交流研讨，创新方法化繁为简化繁为简你觉得数据可以改为多少呢？你觉得数据可以改为多少呢？（1）鸡兔同笼，从上面数有）鸡兔同笼，从上面数有5个头，个头， 从下面数，有从下面数，有14只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只？ （2）鸡兔同笼，从上面数有）鸡兔同笼，从上面数有10个头，个头， 从下面数，有从下面数，

4、有24只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只？ （3）鸡兔同笼，从上面数有）鸡兔同笼，从上面数有10个头，个头， 从下面数，有从下面数，有36只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只？ （一）化繁为简，确定问题（一）化繁为简，确定问题 再次探索再次探索鸡兔同笼，从上面数有鸡兔同笼，从上面数有5个头，从下面数，有个头，从下面数，有14只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只？要求：用画图法或列表法独立尝试解决问题。要求：用画图法或列表法独立尝试解决问题。（二）再次探究，积累学习经验（二）再次探究，积累学习经验在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？（三）交流研讨，提升认识

5、（三）交流研讨，提升认识1. 如果是如果是5只兔，就有只兔，就有20条腿。条腿。2. 如果是如果是5只鸡，就有只鸡，就有10条腿。条腿。在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？（三）交流研讨，提升认识（三）交流研讨，提升认识4. 鸡鸡543210兔兔012345脚脚1012141618203. 每多一只鸡，就少两条腿；每多一只兔，每多一只鸡，就少两条腿；每多一只兔，就多两条腿。就多两条腿。在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？（三）交流研讨，提升认识（三）交流研讨，提升认识 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，个头，从下

6、面数，有从下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？只脚。鸡和兔各几只？典例精析典例精析解决这个问题我们可以用怎样的方法呢？解决这个问题我们可以用怎样的方法呢？画图法画图法枚举法枚举法列表法列表法你可以从上面的方法中选择，也可以用自己的方你可以从上面的方法中选择，也可以用自己的方法解决这个问题。法解决这个问题。（一）独立思考，尝试探究（一）独立思考，尝试探究（二）交流研讨，提升认识（二）交流研讨，提升认识在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？1. 如果是如果是8只兔，就有只兔，就有32只脚。只脚。2. 如果是如果是8只鸡，就有只鸡，就有16只脚。只脚。（二）交流研讨，提升认识（二）交

7、流研讨，提升认识在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？3. 鸡鸡876543210兔兔012345678脚脚161820222426283032问题：通过填表，你发现了什么？问题：通过填表，你发现了什么？每多一只鸡，就少两只脚；每多一只兔，就多两只脚。每多一只鸡，就少两只脚；每多一只兔，就多两只脚。所以有所以有3只鸡，只鸡，5只兔。只兔。（二）交流研讨，提升认识（二）交流研讨，提升认识在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？4. 如果笼子里都是鸡。如果笼子里都是鸡。（1）如果笼子里都是鸡，就有）如果笼子里都是鸡，就有8216只脚，比题目只脚，比题目中少中少26

8、1610只脚。只脚。（2）那么需要用兔换鸡，一只兔比一只鸡多）那么需要用兔换鸡，一只兔比一只鸡多2只脚，只脚，有有1025只兔。只兔。（3）所以有）所以有853只鸡。只鸡。（二）交流研讨，提升认识（二）交流研讨，提升认识在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？5. 如果笼子里都是兔。如果笼子里都是兔。（1）如果笼子里都是兔，就有）如果笼子里都是兔，就有 8432只脚，比题只脚，比题目中多目中多32266只脚。只脚。（2）那么需要用鸡换兔，一只鸡比一只兔少）那么需要用鸡换兔，一只鸡比一只兔少2只脚，只脚，有有623只鸡。只鸡。（3）所以有）所以有835只兔。只兔。（二）交流研讨，

9、提升认识（二）交流研讨，提升认识在解决这个问题时有什么发现？在解决这个问题时有什么发现？鸡鸡876543210兔兔012345678脚脚161820222426283032问题问题：回顾刚才的三种解法，：回顾刚才的三种解法，“如果都是鸡如果都是鸡”“”“如果都如果都是兔是兔”与列表法有什么联系？与列表法有什么联系？“如果都是鸡如果都是鸡”相当于列表中的相当于列表中的“8只鸡，只鸡，0只兔只兔”；“如如果都是兔果都是兔”相当于列表中的相当于列表中的“0只鸡，只鸡，8只兔只兔”。（二）交流研讨，提升认识（二）交流研讨，提升认识（一）介绍（一）介绍孙子算经孙子算经中的算法中的算法（1）假如让鸡抬起一

10、只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数去掉了一半，还有去掉了一半，还有 94247只脚。只脚。（2）这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差这时脚的总数与头的总数之差 473512，就是兔，就是兔子的只数。子的只数。 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下个头，从下面数，有面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？拓展延伸拓展延伸古人的算法

11、是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。（ ）（ ）（ ）（ ）古人的算法可以用下图表示：古人的算法可以用下图表示：头头 35 35 35 23 鸡鸡脚脚 94 47 12 12 兔兔下减上下减上脚减半脚减半 上减下上减下 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下个头，从下面数，有面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？（一）介绍（一）介绍孙子算经孙子算经中的算法中的算法（二）受（二）受孙子算经孙子算经中的算法的启发，关于例中的算法的启发，关于例1，你能想到什么方法呢？你能想到什么方法呢

12、？方法方法1：（1）每只动物都抬起两只脚，一共抬起每只动物都抬起两只脚，一共抬起8216只脚。只脚。（2）那么，）那么，261610只脚，全是兔子的。只脚，全是兔子的。（3）所以有）所以有 1025只兔，有只兔，有 853只鸡。只鸡。方法方法2：（1）把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有）把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有4只脚。只脚。共有共有8432只脚。只脚。（2）那么就多出来）那么就多出来32266只脚，多出来的是鸡的脚。只脚，多出来的是鸡的脚。（3）所以有）所以有623只鸡，有只鸡，有835只兔。只兔。方法方法3：（1）让兔子有两个头，那么一个头就对应两只脚，共有）让兔子有两

13、个头，那么一个头就对应两只脚，共有26213个头。个头。（2）那么就多出来）那么就多出来1385个头，也就是兔子的数量。个头，也就是兔子的数量。（3）所以有）所以有853只鸡。只鸡。你能试着解决前面你能试着解决前面孙子算经孙子算经中的问题吗？中的问题吗？（二）受（二）受孙子算经孙子算经中的算法的启发，关于例中的算法的启发，关于例1，你能想到什么方法呢？你能想到什么方法呢？问题：（问题：（1）这道题是）这道题是“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一类的问题吗？这一类的问题吗？ （2）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国

14、的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各条。龟、鹤各有几只？有几只？预设：（预设：（1）如果都是鹤。）如果都是鹤。 如果都是鹤，就有如果都是鹤，就有 40280条腿，比题目中少条腿，比题目中少 1128032条腿。条腿。 那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多 2条，有条，有32216只龟。只龟。 所以有所以有401624只鹤。只鹤。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各条。龟、鹤各有几只？有几

15、只？ 如果都是龟，就有如果都是龟，就有404160条腿，比题目中多条腿，比题目中多 16011248条腿。条腿。 那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少 2条，有条，有48224只鹤。只鹤。 所以有所以有402416只龟。只龟。预设：（预设：（2）如果都是龟。）如果都是龟。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各条。龟、鹤各有几只？有几只？ 假如让鹤抬起一条腿，龟抬起两条腿，还有假如让鹤抬起一条腿，龟抬起两条腿，还有112256条腿。条腿。 这时，这时，只要有一只龟，则腿的总数就比头的总数多只要有

16、一只龟，则腿的总数就比头的总数多1。 这时腿这时腿的总数与头的总数之差的总数与头的总数之差564016，就是龟的，就是龟的只只 数，所以有数，所以有401624只鹤。只鹤。预设：（预设：（3）抬腿法。）抬腿法。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各条。龟、鹤各有几只？有几只？问题：（问题：（1）这道题是）这道题是“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一类的问题吗？这一类的问题吗？ （2）题目中哪个数量相当于）题目中哪个数量相当于“头数头数”？哪个数量？哪个数量相当于相当于“脚数脚数” ？ 2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树

17、活动。男人参加植树活动。男生每人栽了生每人栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵棵树。男、女生各有几人？树。男、女生各有几人？预设：（预设：（1）如果都是男生栽树。）如果都是男生栽树。 如果都是男生栽树，就栽了如果都是男生栽树，就栽了12336棵棵树，比题目中多树，比题目中多36324棵树。棵树。 那么需要用女生换男生，一名女生比一名那么需要用女生换男生，一名女生比一名男生少栽男生少栽1棵树，有棵树，有414名女生。名女生。 所以有所以有1248名男生。名男生。2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男人参加植树活动。男

18、生每人栽了生每人栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵棵树。男、女生各有几人？树。男、女生各有几人？预设：（预设：（2）如果都是女生栽树。）如果都是女生栽树。 如果都是女生栽树，就栽了如果都是女生栽树，就栽了12224棵树，棵树，比题目中少比题目中少32248棵树。棵树。 那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生多栽多栽1棵树，有棵树，有818名男生。名男生。 所以有所以有1284名女生。名女生。2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男人参加植树活动。男生每人栽了生每人栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵棵树。男、女生各有几人？树。男、女生各有几人？ 假如每人都少栽两棵树，则一共少栽假如每人都少栽两棵树，则一共少栽12224棵树。棵树。 这时，女这时，女生生没栽树没栽树 ，男，男生生每人栽每人栽1棵树，剩棵树，剩下下32248棵树，这就是男棵树，这就是男生生的人数。