多属性决策问题

1、第十章 多属性决策问题（Multi-attribute Decision-making Problem）即：有限方案多目标决策问题主要参考文献：68 , 112 , 152§ 10.1概述MAMC:MO-、决策矩阵（属性矩阵、属性值表）方案集 X = x1,x2,xm方案 冬的属性向量 y = yi1,yin当目标函数为 匚 时，yij = fj（xj各方的属性值可列成表（或称为决策矩阵）:ynX1yny1jy1nXiyi1yjyinXmym1ymjy mn例：学校扩建学校序号费用（万元）平均就读距离km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例:表1

2、0.1研究生院试评估的部分原始数据人均专著（本/人） 出生师比y2科研经费（万元/年）y3逾期毕业率（%）40.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2、数据预处理数据的预处理（又称规范化）主要有如下三种作用。首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是 效益型；有些指标的值越小越好， 称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本 型。例如研究生院的生师比， 一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量，也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质

3、量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。 这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判 断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位（量纲）。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不 同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去（而不是简单删去）量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即 使以万元为单

4、位，其数量级往往在千（103）、万（104）间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位 （10°）或小数（101）之间，为了直观，更为了便于 采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到:0, 1 区间上。此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全 补偿性。常用的数据预处理方法有下列几种。（1）线性变换(10-1)效益型属性：召）=yij / yax变换后的属性值最差不为0,最佳为1成本型属性召=1 -yij / ymax（10-2）0（10-2'）1,且是非线性变换变换后的属性值

5、最佳不为1,最差为min ,或召 =yj /yj变换后的属性值最差不为0,最佳为表10.2 表10.1经线性变换后的属性值乙（y1）z3( Y3)z4 ( y4)z4( y4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000（2）标准0-1变换效益型：乙 = ijmin yj yj(10.3)"maxminyjyj成本型：Z = ijmaxyjyu(10.4)"maxminy

6、jyj特点：每一属性，最佳值为 1,最差值为0，而且变换后的差值是线性的乙（y1）Z3 （3）z4 （ y10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.00001.0000表 10.3表10.1经标准0-1变换后的属性值(3)最优值为给定区间时的变换S10.1最优属性值为区间时的数摄处理设给定的最优属性区间为y0，yjy0 - y0）/（ y0 -力）若 y < y00 *若 yj w yj w yj（10.5）yj-y*）/（j' - y*） 若 y0 &

7、gt; y*X生师比y2Z2151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000其中，力为无法容忍下限，yj”为无法容忍上限。表10.4表10.1之属性2的数据处理(4)向量规范化1;无论成本型或效益型，从属性值的大(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场特点：规范化后，各方案的同一属性值的平方和为 小上无法分辨。常用于计算各方案与某种虚拟方案 合。其中，XZ1 ( y1)Z3 ( y3)Z4 ( y4)Z2 ( Z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.2222

8、40.10390.41740.53780.444450.96950.03980.16550.0000表中最右一列是属性2经式(10.5)变换后的值再向量规范化的结果表10.5 表10.1经向量规范化后的属性值(5)原始数据的统计处理y ymax一yjyj(1.00 - M) + M(10.7)_ 1 myj = -y是各方案属性j的均值，m为方案数，Mm i 1的取值可在0.5-0.75之间.式(10.7)可以有多种变形，例如：Zj' = 01 (yjyj)/ j 0.75(10.7 ')其中j为属性j的均方差，当高端均方差大于2.5 j时变换后的值均为1.00.这种变人均专著

9、(本/人)线性变换用10.7式(M=0.7)用10.7 '式10.10.03570.59500.662520.20.07140.61000.675030.60.21430.67000.725040.30.10710.62500.687552.81.00001.00001.0000换的结果与专家打分的结果比较吻合.表10.6 表10.1之属性1用不同方法处理结果比较三、方案筛选1.优选法(Dominance)淘汰劣解2.满意值法(逻辑乘即与门Conjunctive)规定 y0 j=1,2,n (切除值)当yijy0 j=1且j=2且j=n 均满足时，方案xi被接受主要缺点：目标间不能补偿

10、，例研究生录取时教委规定的单科分数线3.逻辑和法(Disjunctive 或门)规定y* j=1,2,n 若y” > y* j=1或2或n时方案xi被接受。往往作为上法的补 充.这些方法用于初始方案过的预选,不能用于方案排序ordering次序，优先序也不能用于方案分等Ranking 量化优先程度.§ 10.2加权和法一、引言多目标决策的特点：目标间的矛盾性，各属性值不可公度.这二难点不可公度虽可通过属性矩阵的规范化得到部分解决，但前述规范化过程不能反映目标的重要性权：目标重要性的度量，即衡量目标重要性的手段.权的三重含义： 决策人对目标的重视程度； 各目标属性值的差异程度；

11、各目标属性值的可靠程度；权应综合反映三种因素的作用.通过权，将多目标决策问题化为单目标求解二、字典序法与一般加权和法1. 字典序法w1w2时的加权和法即某个目标特别重要，实质上是单目标决策,最重要目标的属性值相同时，再比较第二 重要的属性，如此继续.2. 一般加权和法加权和法的求解步骤很简单：属性表规范化，得Zj i=1，m; j=1，,n.确定各指标的权系数 Wjj=1,n.n根据指标Gwj zijj 1的大小排出方案i(i=1,m)的优劣加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了（直观），是人们最经常使用的多目标评价方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标

12、体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体 系和设定权上。加权和法常常被人们不适当地使用，这是因为许多人并不清楚：使用加权和法意味着承认如下假设： 指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联； 每个属性的边际价值是线性的 （优劣与属性值大小成比例），每两个属性都是相互价值独 立的； 属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。事实上，这些假设往往都不成立。首先，指标体系通常是网状的，即至少有一个下级指 标同时与二个或二个以上的上级指标相

13、关联，也就是说某个属性可同时反映两个上级目标达到的程度。其次，属性的边际价值的线性常常是局部的，甚至有最优值为给定区间或点的情况存在；属性间的价值独立性条件也极难满足，至少是极难验证其满足。 至于属性间的可补偿性通常只是部分的、 有条件的。因此，使用加权和法要十分小心。 不过，对网状指标体系， 可以用层次分析法中的权重设定和网状指标的权重递推法设定最低层权重（见下节）。当属性的边际价值函数为非线性时可以用适当的数学方法进行数据预处理；属性间的不完全补偿性也可通过适当处理， 例如用逻辑乘法预先删除具有不可补偿属性的方案等。只要认识到加权和法本身存在的种种局限性并采取相应的补救措施，则加权和法仍不

14、失为一种简明而有效的多目标评价方法。三、确定权的常用方法1.2.最小平方误差法见教材第174页.与主观慨率中的方法类似 本征向量法厂 w1 / w1w2 / w1w1/ w2 w1 / w. w2 / w2 w2 / wwi>w2nI) w = 0(A -如A的估计不够准确Aw = max w 由此可求得w .Wn/ W2 Wn/ 喊,则A中元素的小的摄动意味本征值的摄动，从而四、层次分析法 AHP1. 由决策人利用 P177之表10.2构造矩阵A;2. 用本征向量法求 max w3. 矩阵A的一致性检验：i,一致性指标(Consistenee Index)n345678910RI0.5

15、80.91.121.241.321.411.451.490max3.1164.075.456.627.798.9910.1611.34maxn 1ii,同阶矩阵的随机性指标(Ra ndom In dex)iii, 一致性比率(Con sista nee Rate)CR=CI/RICR> 0.1(即max大于同阶矩阵相应的驚)时不能通过一致性检验，应该重新估计矩阵A.CRC 0.1通过一致性检验，求得的w有效.4.方案排序n(1) .各方案在各目标下属性值已知时，可以根据指标 Ciwjzij的大小排出方案ij 1(i=1,m)的优劣.(2) .各方案在各目标下属性值难以量化时，可以通过在各

16、目标下优劣的两两比较(仍利用表10.2)求得每个目标下各方案的权，再计算各方案的总权重，根据总权重的大小排出 方案的优劣(参见教材之182页例10.5).五、最低层目标权重的设定1.网状结构( 见教材 § 10.5.2, 第 181-182 页)有了最第层目标的权重 Wk 1n设：最第层目标的规范化了的属性值为zij ,则Ciwk 1zij可用作评价方案优劣的j i依据，Ci越大方案i越优2.树状结构：当最低层目标过多，不便直接设定时，可以分组自上而下地逐步设定。§ 10.3 TOPSIS 法理想解X*max xii：min Xjj一 min xij负理想解x°

17、= max %max xij效益型属性成本型属性效益型属性成本型属性步骤一.用向量规法求得规范决策矩阵z'ijm=yjl1yij步骤二.构成加权规范阵Xxij=W j Zij步骤三.确定理想和负理想解Z步骤四.计算各方案到理想解与负理想解的距离到理想解的距离 d：*Xj).0到负理想解的距离di0、Xj)步骤五.计算各方案与理想解的接近程度*Ci*di )第六步.按C；由大到小排列方案的优劣次序§ 10.4基于相对位置的方案排对法优点：需要的信息少，不必事先给出决策矩阵只需给出各目标下方案间的优先序（0-1矩阵或指向图）第一步：确定各方案两两间的总体优先关系1.设定各目标的权

18、wj j=1,2,n且令 Wj 12.对每一目标j，进行方案的成对比较，给出优先关系矩阵或指向图xi的第j个属性值优于xk的第j个属性值 记作（xi xk） jXk的第j个属性值优于Xi的第j个属性值 记作（XiXk） jXi与Xk的第j个属性值无差异或不可比记作（XjXk） j3.把XiXk的各目标的权相加，记作w( XiXk)把XiXk的各目标的权相加，记作w（ xXk）把XiXk的各目标的权相加，记作w（ xXk）4.计算方案的优劣指示值A (Xi,Xk) =w(Xiw(XiXk)Xk)w(Xi Xk)w(Xi Xk)b值的大小反映Xi与Xk无差异的目标的重要性5.选定阀值A> 1

19、,判定方案总体优劣> A 则 xXkA （XiXk） V <1/AXiXkL其它XXk第二步计算排队指标值比Xi优的方案个数记为qi比Xj差的方案个数记为pi的排队指标值：vi = pi - qi第三步 按Vj的大小排定方案的优劣次序缺点：因无决策矩阵，不能反映优先程度例：y1y2X11001X211.01设 w1 =0.4 W2 =0.6 A=1.2 b =0A （X2Xi） =1.5 > A所以X2X1 ,这与加权和法的结果大相径庭凡是属性值均能定量来表示的，不宜用此法§ 10.5 ELECTRE法国人：B.Roy提出的-、级别高于关系(Outra nki ng

20、 Relatio n)1. 定义给定决策人的偏好次序和属性矩阵 yij 当人们有理由相信 x'优于x”，称x'的级别高于x” ,记作x' Sx”Notes:i, 决策人愿望承担x'x”所产生的风险；ii, 理由：同基于相对位置的方案排队法2. 定义：(P193 定义 10.2 )给定方案集 X , x ' , x ” X ,当且仅当X中存在u, , U2,Uj ; V1, V2 , - , Vk ; j >1, k > 1,使x'Sx”(或者x'Su,U,S U2 ,，Uj Sx”)且 x”Sx'(或者x”S V, ,

21、 V, sv2 ,vk Sx')则称x”与x'级别无差异，记作 x' S X”。二、级别高于关系的性质:1.弱传递性：x's x0且 y( x0)> y (x”)x' sx”?或 y(x ' ) > y (x0)且 x0 Sx”x' Sx?2.自反性XSXXS x3. S是对称的4. 允许不可比性三.级别高于关系的构造以决策矩阵为基础(不作规范化) 第一步：设定各属性的权w第二步：进行和谐性检验(Concordanee Test)1.构造指示集(属性序号分类)不失一般性，假设各属性值愈大愈优.2.(Xj , xQ = j |

22、1(xj , x k ) = j | 1(Xj , Xk) = j | 1计算和谐性指数wj w n, yj ( x j )> yj (wj w n, yj ( x j )=(w j w n,yj ( Xj ) v yj (xQxk )xk )1 ik = (Wj +lik =Wj / Wjj Jj J3.选定 0.5 VaW 1,若 | ik > 1, I ika,则通过和谐性检验a愈大，级别高于的关系要求越高第三步进行非不和谐性检验(non-discorda nee test)对各属性间的补偿加以限制规定dj j=1,n若对任一 jyj ( xk) - yj ( xi ) > dj则不承认 x i Sxk第四步确定级别高于关系若 I ik > 1, I ik >a 且对所有 j yj ( Xk) - y ( xj ) w dj则 xiSxk四、级别高于关系的使用1. 通过方案成对比较确定级别高于关系后，找出最小优势子集。定义i, X1 X若对每个x ' X1存在x* X1使x*S x '则称X1为最小优势子集。 ii,各方案间不存在级别高于关系的最小优势子集称为核2. 若X